Révisions mathématiques : - Poly

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) -
MATHEMATIQUES 14
NOMBRES COMPLEXES I :
REGLES DE CALCUL DANS ℂ
- COURS + ENONCE EXERCICE -
Olivier CAUDRELIER
[email protected]
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1. Notion de nombre complexe :
a) Introduction :
L’équation :
= 2 n’a pas de solutions dans ℕ, ,
ℚ ; il a fallu créer l’ensemble des irrationnels
(ou nombres réels) : ℝ pour pouvoir la résoudre : = −√2
= +√2
De la même façon, l’équation :
= − 2 n’a pas de solutions dans ℕ, , ℚ,
ℝ ; pour pouvoir
continuer à avoir des solutions, on crée un nouvel ensemble de nombres : l’ensemble des nombres
complexes : ℂ ; nous verrons que l’équation
= − 2 y possède alors deux solutions : =
− √2
= + √2
b) L’ensemble des nombres complexes : ℂ
·
·
·
ℂ contient l’ensemble des nombres réels (ou ℝ ⊂ ℂ)
Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans ℝ
=−
Il existe un nombre complexe noté tel que
·
Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique :
=
+
, avec
et
réels
Autrement dit : si un nombre n’est pas écrit sous cette forme-ci, il faudra essayer de s’y
ramener (par des développements et/ou méthode du conjugué (voir plus bas))
ex : = (1 − 2 ). (3 − 1) = 3 − 1 − 6 ² + 2 = 5 − 1 − 6. (−1) = 5 − 1 + 6 = +
·
La forme
·
Conjugué d’un nombre complexe :
= + est la forme algébrique du nombre complexe z
( )=
est la Partie Réelle de , et l’on note :
( )=
est la Partie Imaginaire de , et l’on note :
=
−
En pratique, lorsqu’un nombre complexe est écrit sous forme d’un quotient, on peut se
ramener à sa forme algébrique en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du
dénominateur
ex :
=
(
=(
).(
).(
)
)
=
( )
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( )²
²
=
²²
=
=
−
c) Représentation géométrique :
Les nombres réels, sont des nombres à une dimension et se situent tous sur un même axe : la droite des
réels.
Or, on a vu qu’un nombre complexe possède deux dimensions : réelle et complexe. La droite ne
suffira donc pas pour le représenter, il faut passer à une représentation à deux dimensions : le plan.
Les nombres complexes sont donc en quelque sorte des « nombres plans » ou : des nombres dans le
plan. (Remarque : on pourra donc noter que la notion d’ordre (inférieur, supérieur) n’a pas forcément
de sens dans l’ensemble ℂ)
Le plan peut donc être vu comme l’ensemble des nombres complexes (plan d’Argand) et on peut le
munir le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( ; ⃗, ⃗) , ; dès lors, on peut associer à tout
nombre complexe = + , le point M de coordonnées ( ; ). On dit que est l’affixe du point
M.
d) Equations complexes du 1er , 2nd , 3e degré…
Règles de base :
· un complexe est égal à un autre complexe si et seulement si leurs parties réelles sont égales, et
leurs parties imaginaires sont égales
ainsi, si
= +
et
= +
:
= ′
= ′⟺
= ′
·
Un complexe est nul si set seulement si sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire est
nulle.
=
⟺
97
=
=
Equations du 1er degré :
Ø Si l’équation ne contient que des , on raisonne comme pour les réels : les
« chiffres » de l’autre (voir exercices corrigés)
d’un côté, les
Ø Si l’on a une équation avec d’autres formes que , par exemple des équations avec ̅ ou | |, il
faut poser :
=
+
(voir exercices corrigés)
Equations du 2nd degré :
Ø Si l’équation ne contient que des , on raisonne comme pour les réels : discriminant, puis
l’obtention des racines : à ceci près que dans ℂ , la racine carré&e d’un nombre négatif
existe (ex : √−16 = (4 )² = 4
Donc, dans ℂ, le cas Δ < 0 a deux solutions complexes
Ex : é
²+ +1 = 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
"
=
∆= − = ( √ )²
=
−1 − √3
1
√3
=− −
2
2
2
1
−1 + √3
√3
=− +
2
2
2
∶ ℎé
ô
(é
è
,
é
é ,
). "
è
:
Ø Si l’on a une équation avec d’autres formes que , par exemple des équations avec ̅ ou | |, il
faut poser :
=
+
Equations du 3e, 4e … degré :
Rappel : on appelle racine d’un polynôme un nombre qui annule ce polynôme
Ex : si ( ) = ² + 1 , ( ) est une racine de P puisque ( ) = ² + 1 = −1 + 1 = 0
Théorème : si est une racine d’un polynôme de degré n, alors P est factorisable par ( − ) et un
( )( )
polynôme de degré ( − 1) :
= ( − ). ( ) ( )
⟹ Ainsi, si l’on a une racine d’un polynôme de degré 3, on pourra se ramener à l’étude d’un
polynôme de degré 2.
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Méthode-type de résolution d’une équation du 3e degré :
3
+ (1 + 6 )
( )= 3
+ 2(8 + ) + 32 = 0
+ (1 + 6 )
+ 2(8 + ) + 32
Soit on nous demande de prouver que telle valeur est une racine de , soit –le cas échéant- on cherche
une racine évidente (1; −1; ; − ; 2 ; −2 ; 2 ; −2 ; … )
Ici, on demande de prouver que (−2 ) est une racine de
(−2 ) = 3(−2 ) + (1 + 6 )(−2 ) + 2(8 + )(−2 ) + 32 = ⋯ = 0
Donc (−2 ) est bien une racine de , et l’on peut factoriser
de forme générale (
+
+ ):
( ) = ( + 2 ). (
( )=
+
( )=
²+
+2
par ( + 2 ) et un polynôme de degré 2,
+ + )
²+2
+2
+( +2 ) ²+( +2 ) +2
( )= 3
+ (1 + 6 )
+ 2(8 + ) + 32
Donc, par identification des coefficients :
⎧
⎪
⎪
+2
=3
= 1+6
⎨( + 2 ) = 2(8 + )
⎪
⎪
⎩
2 = 32
D’où :
( ) = ( + 2 ). (3
Il ne reste plus qu’à déterminer les racines de ( ) = (3
z =
z =
⟺
⎧
⎪
=3
=1
⎨
⎪
⎩ = 16
+ + 16)
+ + 16)
∆= −191 = 191 ²
−1 − i√191
1
√191
= − −i
6
6
6
−1 + i√191
1
√191
= − +i
6
6
6
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Enoncé des exercices sur :
LES NOMBRES COMPLEXES I
exercice 1 :
Calculer les nombres complexes suivants :
a)
b)
= (1 + ). (1 − 2 ). (1 + 3 )
=
(
(
)(
)
)
=
c)
= √2 + − (√2 + 3 )²
d)
exercice 2 :
Soit la fonction complexe suivante : ( ) = (1 − )
Calculer :
( ),
,
exercice 3 :
Résoudre les équations suivantes :
a) 3 − 2 = 4 − 3
=
b)
c) 2 − ̅ = 3 − 6
exercice 4 :
Résoudre les équations suivantes :
a)
b)
² + 2√3. + 4 = 0
² − 1 + √3
+ √3 = 0
100
− (1 − 3 ) + 4
exercice 5 :
a) Développer : (
b) Résoudre :
+ 3 + 1). (
+2
+4
− + 6)
+ 17 + 6 =0
exercice 6 :
1. Soit la fonction définie dans le corps des complexes par :
( )=
− 2 √3 +
² + 4 1 + √3 − 8
a) Calculer (2 )
b) Résoudre : ( ) = 0
2. Résoudre dans ℂ : ² + ̅ + = 0
exercice 7 :
Soit ( ) =
−4 ²+ −4
a) Calculer ( ) et (− )
b) Résoudre dans ℂ : ( ) = 0
−4
c) Résoudre alors dans ℂ l’équation :
101
+
−4=0