—- Le Lundi 12 octobre 2015 Correction du DM : no I Exercice 1 Étude du déficit d’une multinationale Le déficit d’une multinationale a été de 15 millions d’euros en 2014. Devant l’ampleur de ce déficit, l’équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel à moins de 5 millions d’euros. Jusqu’à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s’engage à ce que le déficit baisse de 8,6 % tous les ans. On définit la suite (un ) de la manière suivante : on note un le déficit en million d’euros de cette multinationale lors de l’année 2014 + n. Ainsi u0 = 15. Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à 10−3 . 1 a. Montrer que u1 = 0, 914u0 . En 2015 le montant du déficit baisse de 8,6 % soit u1 = u0 − 8, 6 %u0 = u0 (1 − 0, 086) = 0, 914u0 Ainsi u1 = 0, 914u1 b. Si l’équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ? Après deux baisses successives de 8,6 %, en 2016 le montant du déficit serait de : u2 = 15 × 0, 914 × 0, 914 ≈ 12, 531 En 2016, le déficit serait d’environ 12,531 millions d’euros. b. Pour c. Démontrer que la suite (un ) est géométrique, puis exprimer un en fonction de n. Pour tout entier n on a : un+1 = un × 0, 914 donc (un ) est une suite géométrique de raison 0,914. (un ) est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme u0 = 15 donc : pour tout entier n, un = 15 × 0, 914n . En effet d’après le cours un = qn × u0 . 2 a. Résoudre l’inéquation suivante d’inconnue l’entier naturel n : 0, 914n 6 1 3 On programme la suite de terme général 0, 914n à l’aide d’une calculatrice : les solutions entières de l’inéquation 0, 914n 6 1 sont les entiers n ≥ 13. 3 1 b. Quand l’engagement de l’équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous des 5 millions d’euros, sera-t-il atteint ? 1 15 × 0, 914 ≤ 5 ⇐⇒ 0, 914 6 soit n ≥ 13. 3 Le déficit de la multinationale sera inférieur à 5 millions d’euros à partir de 2027. 3 On considère l’algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente. a. Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l’algorithme renvoie l’année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de 5 millions d’euros. Variables N un entier naturel Q et U deux nombres réels. Début N prend la valeur 0 Q prend la valeur 0,914 U prend la valeur 15 Tant que U > 5 faire N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 0, 914 × U Fin Tant que Afficher 2014 + N Fin b. On suppose l’algorithme complété. Proposer une modification de l’algorithme afin que celui-ci affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu’à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de 5 millions d’euros. Variables N un entier naturel Q et U deux nombres réels. Début N prend la valeur 0 Q prend la valeur 0,914 U prend la valeur 15 Tant que U > 5 faire N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 0, 914 × U Afficher « Déficit en 2014+ »N « = »U Fin Tant que Afficher 2014 + N Fin 4 a. Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l’année 2014 comprise, c’est-à-dire : u0 + u1 + u2 + · · · + u10 (un ) est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme u0 = 15 donc la somme des 11 premiers (1 − q10+1 ) (1 − 0, 91411 ) termes de cette suite est : u0 + u1 + u2 + . . . + u10 = u0 = × 15 ≈ 109, 555 1−q 1 − 0, 914 On rappelle le résultat du cours : Somme S de N termes successifs si q , 1 sinon S = N P : S= (1 − qN ) P 1−q N = nombre de termes de la somme P = premier terme de la somme ; 2 q = raison En 11 ans, le déficit cumulé est d’environ 109,555 millions d’euros. b. Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie. Variables N un entier naturel S et U deux nombres réels. Début N prend la valeur 0 U prend la valeur 15 S prend la valeur 15 Pour N allant de 1 à 10 faire U prend la valeur 0, 914 × U S prend la valeur S + U Fin Pour Afficher S Fin 3