Chapitre 2
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Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle UNIVERSITE DE TOULON IUT DE TOULON DEPARTEMENT GEII Cours de Mathématiques Chapitre 2 : Mémento de l’étude d’une fonction numérique à variable réelle. Quelques signaux et fonctions du GEII. Différentielle et calcul d’incertitude. Le cosinus hyperbolique La chaînette ou la courbe funiculaire Enseignante : Sylvia Le Beux [email protected] Bureau A042 - 04 94 14 21 15 http://moodle.univ-tln.fr/course/view.php?id=527 IUT de Toulon – Département GEII – Première année 1 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle IUT de Toulon – Département GEII – Première année 2 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction Partie A : Mémento de l’étude d’une fonction I. Notions de base 1) Définitions et notations Une fonction f, est définie sur D, un sous-ensemble de R I , si à tout x de D on peut associer un unique nombre noté f(x), et appelé image de x par f. On écrit f: D x R I f(x) D est appelé l'ensemble de définition de f, on le note aussi Df. y On munit le plan d'un repère ( O, , ). La courbe C représentant f est l'ensemble des points M de coordonnées M (x , f(x)). C M f(x) = + f(x) O y = f(x) est l'équation cartésienne de f. x x Une fonction peut-être obtenue à partir d'une formule (signal déterministe), d'un tableau de valeurs relevé d'expériences physiques (signal numérique), ou bien d'une courbe. 2) Croissance comparée et fonctions usuelles Pour des grandes valeurs positives de x : ln(x) < √ < √ < x < x2 < x3 < … < xn < ex y = e y = x y = x 4 y=x 3.5 3 ln( x) 3 x 2.5 x x y =√x 2 y = √x 2 x 3 x 1.5 y = ln(x) x e 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x IUT de Toulon – Département GEII – Première année 3 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Echelon-unité : (Heaviside Φ) U : RI x [0 ; 1] U(x) 1[ 0 Δ (x) 1 − |x|si − 1 ≤ x ≤ 1 0sinon RI f (x) = x2n+1 lim→&' Ux = 0 lim→&( Ux = 1 x Ensemble de définition : R I Ensemble image : [0 ; 1] On dit que la fonction triangle est continue sur RI . 1 -1 Puissance impaire : n ∈ ℕ f : RI x [ ∆(x) Triangle : (notée aussi tri) Δx = Ensemble de définition : R I Ensemble image : U(RI ) = 0, 1" On dit que la fonction U est continue sur RI , sauf en 0. U(x) 1six ≥ 0 avec Ux = 0six < 0 Δ: R I x Mémento de l'étude d'une fonction 0 1 x 8(x) Ensemble de définition : R I Ensemble image : R I x 3 On dit que la fonction f est continue sur RI . x lim→12 fx = −∞ 5 x Puissance paire : n ∈ ℕ f : RI x RI + f (x) = x2n lim→52 fx = +∞ Ensemble de définition : R I Ensemble image : RI + = [0 ;+∞[ On dit que la fonction f est continue sur RI . lim→12 fx = +∞ 2 x 4 x 6 x x x 8(x) Racine carrée : f : RI + x R I + f (x) = √x Ensemble de définition : R I + Ensemble image : R I + On dit que la fonction f est continue sur RI + x x IUT de Toulon – Département GEII – Première année lim→52 fx = +∞ x lim→52 fx = +∞ 4 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. 8(x) Racine cubique : RI f (x) = √x f : RI x Mémento de l'étude d'une fonction 3 x x lim→52 fx = +∞ Inverse : f : RI * x RI * f (x) = 1/x x 8(x) Valeur absolue : x 8(x) Exponentielle : ] 0 ;+∞[ f (x) = e <& = 1 < =5> = < = × < > ; < = @ = < =.@ < =1> = B D ; < 1> = B D BC E Logarithme népérien : f :] 0 ;+∞[ x RI f (x) = ln(x) ln(1) = 0 ; ln(e) = 1 ln(a.b) = ln(a) + ln(b) a ln I L = lna − lnb b lnaM = n. lna < NM= = O∀O > 0 10 f est continue sur RI . 5 2 lim→12 fx = +∞ lim→52 fx = +∞ Ensemble de définition : R I Ensemble image : ∗ ] 0 ;+∞[ = RI5 15 f : RI x Ensemble de définition : R I * Ensemble image : R I * f est continue sur ] 0 ;+∞[ f est continue sur ] −∞; 0[ lim→±2 fx = 0 lim→12 fx = 0 lim→&' Ux = -∞ lim→&( Ux = +∞ Ensemble de définition : R I Ensemble image : R I + f est continue sur RI . RI + f (x) = |x| f : RI x Ensemble de définition : R I Ensemble image : R I On dit que la fonction f est continue sur RI . lim→12 fx = −∞ 0 2 x 4 lim→12 fx = 0 lim→52 fx = +∞ ∗ Ensemble de définition : RI5 Ensemble image : R I 8(x) x 1 lneR = a∀a ∈RI IUT de Toulon – Département GEII – Première année ∗ f est continue sur RI5 lim→& fx = −∞ lim→52 fx = +∞ 5 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction 3) Opérations Opérations algébriques f et g sont deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg. Pour tout ∈ S8 ∩ SU on définit : 8 8 8 + VU = 8 + VU ; 8U = 8U ; I L = , WXU ≠ Z U U Composition des fonctions Soit f, une fonction définie sur Df et f (Df) l'ensemble image : 8S8 = 8; ∈ S8 " Soit g, une fonction définie sur Dg tel que f (S8 )⊂Dg. On définit la fonction h, composée de f par g et notée U ∘ 8, par : ] = U ∘ 8 = U8, ∈ Sf On a donc le schéma : f g Df f(Df) RI x f(x) g(f(x)) = U ∘ 8 U ∘ 8 On vérifie que : ] ∘ U ∘ 8 = ] ∘ U ∘ 8 et U ∘ 8 ≠ 8 ∘ U Exemples Soit f : R I x Soit h = g ∘ f Soit k = f ∘ g RI f(x) = x2 RI gx = √x et g : RI + x hx = g`fxa = gx = bx = |x|∀x ∈ RI kx = f`gxa = f`√xa = `√xa = x∀x ∈RI + II. Ensemble de définition et ensemble d’étude d'une fonction 1) Ensemble de définition Exemples Soit fx = e de 'f d( , déterminer l'ensemble de définition de f IUT de Toulon – Département GEII – Première année 6 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction La fonction exponentielle est définie sur R I , et la fonction g ⟼ Donc, l’ensemble de définition de f est : Dk =RI − −3". Soit gx = ln I 5 est définie sur R I − −3" L, déterminer l'ensemble de définition de g e 1E 5 e 1E ∗ La fonction logarithme est définie sur RI5 . G(x) existe si et seulement si strictement positif. A l’aide du tableau de signe ci-dessous : −∞ x Signe de g − 1 Signe de g + 3 Signe de e 1E 5 -3 + - -1 0 + + + 0 0 e 1E 5 existe et est 1 0 + - +∞ + + + 0 L’ensemble de définition de g est donc : Dl = m−3;−1[ ∪ m1;+∞[ Soit hx = o 5 , déterminer l'ensemble de définition de h e 1E La racine carrée est définie sur RI +, donc Dp = m−3;−1m ∪ [1;+∞[ 2) Parité (voir aussi chap.1) Une fonction f, définie sur D, un sous-ensemble de R I centré en 0, est dite paire lorsque : ∀ ∈ S8− = 8. Sa représentation graphique est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. On étudie alors f sur D∩ ℝ5 Une fonction f, définie sur D, un sous-ensemble de R I centré en 0, est dite impaire lorsque : ∀ ∈ S8− = −8. Sa représentation graphique est alors symétrique par rapport à l'origine du repère. On étudie alors f sur D∩ ℝ5 f est paire : M y f est impaire : C f(-x) = f(x) y C M M f(x) -x O -x x x O x x f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x) M IUT de Toulon – Département GEII – Première année 7 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction I , les fonctions Exemples Les fonctions cosinus et cosinus hyperbolique sont paires sur R sinus, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont impaires sur RI . La fonction tangente r est impaire sur RI \ + kπ; kϵℤv. Opérations Si f et g sont paires sur D, alors 8 × U (et f/g g≠ Zest paire sur D Si f et g sont impaires sur D, alors 8 × U (et f/g g≠ Zest paire sur D Si f est impaire et g est paire sur D, alors 8 × U (et f/g g≠ Zest impaire sur D Si f est paire sur D, alors U ∘ 8 est paire sur D Si f est impaire sur D, alors U ∘ 8 est paire si g est paire et U ∘ 8 est impaire si g est impaire. Exemple Soit f, la fonction, définie par : fx = .wxMe yzw sur D = RI \ + kπ; kϵℤv est centré en 0. r La fonction g ↦ g est impaire et les fonctions g ↦ |}~ g<g ↦ cosg sont paires, leur produit est donc impair. La fonction f est donc impaire. 3) Périodicité (voir aussi chap.1) Une fonction f, définie sur D, un sous-ensemble de R I , est dite périodique lorsqu'il existe un nombre réel positif, T, le plus petit possible tel que : ∀ ∈ S8 + = 8. On dit aussi que f est T-périodique. 8WX[ Z , Z + [ Soit f0, la fonction définie par : 8Z = . f0 est appelée le ZWX motif de la fonction f. La représentation graphique de f est obtenue en appliquant sur la courbe représentant f0, les translation de vecteur . où k est un entier relatif. On étudie alors la fonction f sur l'intervalle [ Z , Z + [. y C f(x+T) = f(x) M ȷ O ı x0-T T. M' x0 x0+T T Remarque On peut alors écrire : f(t) = … + f& t + 2T + f& t + T + f& t + f& t − T + f& t − 2T + ⋯ = ∑2 12 f& t − kT Exemples Les fonctions t ↦ cosωt + φ et t ↦ sinωt + φ sont fonction t ↦ tanωt + φ est – périodique (voir chap.I) r IUT de Toulon – Département GEII – Première année – périodique. La 8 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction II. Continuité 1) Définitions et opérations Soit f, une fonction définie en a, on dit que f est continue en a lorsque : lim f ( x ) = f (a ) x →a Soit f, une fonction définie sur I un intervalle de R I , on dit que f est continue sur I, lorsque f est continue en tout point a de I. On dit que f est de classe C0 et on note : 8 ∈ Z Si f et g sont continues sur I, alors : 8,f+g, 8 × U et f/g (avec g≠ Zsont continues sur I. (Wé Si f est continue sur I et g est continue sur f(I), alors U ∘ 8 est continue sur I. 2) Exemple |x| gx = x six ≠ 0 1sinon g est continue sur RI \{0}, car c’est le quotient de deux fonctions continues sur R I \{0} : |x|, et x x. x Continuité en 0 : ………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... g(x) x On dit que g est continue à droite de 0, car lim+ g ( x ) = g (0) . x →0 IUT de Toulon – Département GEII – Première année 9 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction III. Dérivabilité 1) Définitions et opérations suivante X→ existe et est finie. On la note alors 8 ¡ et on l’appelle 1 nombre dérivé de f en a. 818 Soit f, une fonction définie en a, on dit que f est dérivable en a lorsque : la limite Soit f, une fonction définie sur I un intervalle de R I , on dit que f est dérivable sur I, lorsque f est dérivable en tout point a de I. On appelle alors fonction dérivée de f et on note f ’, la fonction qui à tout élément a de I, associe son nombre dérivé 8 ¡ . Si f et g sont dérivables sur I, alors : 8,f+g, 8 × U et f/g (avec g≠ Zsont dérivables sur I. (Wé et 8¡ = 8′ , 8 + U¡ = 8 ¡ + U′ , 8U¡ = 8 ¡ U + 8U′ et 8/U¡ = 8 ¤ U18U¡ U¥ . Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur f(I), alors U ∘ 8 est dérivable sur I et : U ∘ 8¡ = U ¡ ∘ 8 × 8′ Exemples Soit f, la fonction définie par : fx = √x. Dérivabilité de f en 1 : ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Dérivabilité de f en 0 : ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Dérivabilité de f en a> 0 : ……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 10 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction 2) Formulaire U est une fonction dérivable sur I. x M ¡ = n. x M1E ∀x ∈ … … … … ∀n ∈ … … `√xa′= I L ′ =− E ∀x ∈ … … … … … … … … … …. E √ ∀x ∈ … … … … … … … … … …. E e e ¡ = e ∀x ∈ … … … … … … … … … …. lnx¡ = E ∀x ∈ … … … … … … … … … …. sinx¡ = cosx ∀x ∈ … … … … … … … … cosx¡ = − sinx ∀x ∈ … … … … … … tanx¡ 1 = = 1 + tan x cos x ∀x ∈ … … … … … … … … … …. ¨ ¡ = . ¨¡ . ¨1© , ¨ ⊆ … … … … `√¨a′=¥√¨ , ¨ ⊆ … … … … ¨¡ I L′ = © ¨ , ¨ ⊆ … … … … 1¨¡ ¨¥ ¨ ′ = ¨′ . ¨ , ¨ ⊆ … … … … ¨¡ = ¨¡ ¨ , ¨ ⊆ … … … … WX¨¡ = ¨¡ . «W¨ , ¨ ⊆ … … … «W¨¡ = −¨¡ . WX¨ , ¨ ⊆ … … ¨¡ ¨¡ = = I© + ¥ ¨L . ¨¡ «W¥ ¨ ¨ ⊆ … … … … Exemples d’applications it = cosωt + φ i¡ t =…………………………………………………………………………………………… i¡¡ t =…………………………………………………………………………………………... i¡¡ t + ω it =……………………………………………………………………………….. On dit que i est une solution de l’équation différentielle : y ¡¡ t + ω yt = 0. A l’aide de la définition du nombre dérivé du sinus en 0, calculer : lim§→& wxM§ § …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 11 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction Interprétation graphique f(x) k1kR M 1R est la pente de la droite (AM) Lorsque x tend vers a, M tend vers A le long de la courbe, et la droite (AM) se rapproche de la droite Ta, qui est la tangente à la courbe au point A. M Ta Conclusion : A f(a) X→ = 8 ¡ est la pente de la 1 tangente à la courbe au point A(a,f(a)). 818 a x Conséquence Equation de la tangente Ta …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... ∶ ­ = 8 + − . 8 ¡ Exemples La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0. f(x) 4 lim→&( f ¡ x =………………………… 3 En O, la tangente à la courbe est donc verticale tournée vers les ordonnées positives. 2 1 0 2 4 6 8 IUT de Toulon – Département GEII – Première année 10 x 12 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction f(x) Equation de la tangente en O à la courbe représentant la fonction f définie par : fx = x 10 5 ……………………………………………… 2 ……………………………………………… 1 0 1 x 2 5 ………………………………………………. 10 ……………………………………………… ……………………………………………… f(x) Equation de la tangente en O à la courbe représentant la fonction f définie par : fx = shx = 4 ®d 1®'d 2 ……………………………………………… 2 ……………………………………………… 1 0 1 x 2 2 ………………………………………………. 4 Redressement double alternance : Vt = |sint|. Dérivabilité de V en 0 : ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... 1 8 6 4 2 0 2 4 6 8 t …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 13 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction 3) Sens de variation Soit f, une fonction dérivable sur un intervalle I : Si 8′ ≥ Z, f est croissante sur I Si 8′ ≤ Z, f est décroissante sur I 4) Extremum d’une fonction Définitions : - Une fonction f admet un maximum en Z sur un intervalle I où elle est définie, si pour tout x de I, on a : 8 ≤ 8 Z - Une fonction f admet un minimum en a sur un intervalle I où elle est définie, si pour tout x de I, on a : 8 ≥ 8 Z Théorème : Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I contenant Z et si 8′ s’annule en Z en changeant de signe alors la fonction f présente un extremum en Z . x 8 ¡ a Z + Z f − b x a 8 ¡ Z − Z f + b Minimum Maximum Remarque Si f′ s’annule en x& sans changer de signe, et que f′′ s’annule en x& en changeant de signe, alors x& est un point d’inflexion. Un point d’inflexion est un point où la tangente traverse la courbe. f(x) 10 Exemple : fx = x f ¡ x = 3x ≥ 0∀x ∈ ℝ f ¡ 0 = 0. f''x=6x≥0∀x≥0 f ¡¡ x = 6x ≤ 0∀x ≤ 0 f ¡¡ 0 = 0 O est donc un point d’inflexion, comme on peut le voir sur la représentation ci-contre. 5 2 1 0 1 x 2 5 10 5) Théorème de monotonie Théorème de monotonie Si f est continue et strictement monotone sur [a,b] et si 8 × 8 < 0, alors l’équation f(x) = 0 possède une seule et unique solution ∝∈ [ , m IUT de Toulon – Département GEII – Première année 14 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction 6) Continuité et dérivabilité Théorème Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I La réciproque est fausse, par exemple la fonction valeur absolue est continue en 0, mais non dérivable en 0. |x| x Sifx = |x|, alorsf ¡ l 0 = −1etf ¡ µ 0 = 1, f n’est donc pas dérivable en 0. 7) Dérivées successives – Fonction de classe Cn Définitions Si f est continue sur l’intervalle I, on note : 8 ∈ Z Si f est dérivable sur l’intervalle I, et si 8′ ∈ Z , alors on note : 8 ∈ © Si 8′ est dérivable sur I, alors on note 8′′ = 8′′ que l’on appelle dérivée seconde de f. Si de plus 8′′ ∈ Z , alors on note 8 ∈ ¥ Plus généralement on définit la dérivée nième de f, notée 8 . Lorsque 8 ∈ Z , on x note 8 ∈ . IV. Limites et branches infinies (Calcul de limites : voir chap.IV ) Voir page ci-après. V. Plan d’étude d’une fonction 1) Recherche de l’ensemble de définition 2) Recherche de l’ensemble d’étude (parité et de périodicité) 3) Etude du sens de variation et recherche d’extrema 4) Etude de branches infinies (calcul de limites voir chap.IV) 5) Tracé de la courbe représentative …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 15 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - A. Mémento de l'étude d'une fonction Etude de branches infinies : asymptotes et direction asymptotique. 2ième W ∶ X→∓2 8 = 1er W ∶ X→ 8 = ±∞ f(x) Asymptote parallèle à (Oy) d’équation x=a Asymptote parallèle à (Ox) d’équation y=b f(x) 20 20 10 10 y=b 0 1 x 2 0 1 x 2 x=a 3ième Cas : X→∓2 8 = ±∞, pour déterminer la nature de la branche infinie, on 8 calcule X→2 : f(x) Si lim→∓2 k =0 Si lim→∓2 Branche parabolique de direction (Ox) k = ∓∞ Branche parabolique de direction (Oy) f(x) 6 6 4 4 2 2 0 5 10 x Si lim→2 Si lim→±2 fx − ax = ±∞ Branche parabolique de direction la droite d’équation y = ax f(x) k =a≠0 0 2 x 4 Si lim→±2 fx − ax = b Asymptote oblique d’équation y = ax+b x x IUT de Toulon – Département GEII – Première année 16 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII Partie B : Quelques signaux et fonctions à connaître en GEII I. Etude du signal 8 = . «W· + . WX· où a et b sont des réels non nuls. 1) Transformation de ft = a. cosωt + b. sinωt Notons A = |a − jb|etφ = arga − jb, alors : a − jb = ……………………………………………………………………………………… De plus, cosωt + j. sinωt =……………………………………………………………………….. Alors le produit de ces deux nombres complexe est : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... On obtient donc le résultat suivant : 8 = . «W· + . WX· = º. «W· + » où º = | − ¼|» = U − ¼. ¥½ f est donc un signal sinusoïdal d’amplitude A, de période , et de déphasage ». ¾ Représentation graphique : Soit f(t) = A. cosωt + φ ; g(t) = A. cosωt Sur le graphe ci-après, indiquer A, T et t1 , le décalage temporel. On a alors la formule : r¿ φ = f = ωtE À f (t) g( t ) t IUT de Toulon – Département GEII – Première année 17 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII Rappel : La période T est en seconde, la pulsation ω = fréquence f = E À = r en Hertz. r À en radian par seconde, et la 2) Exemple f(t) = cos(πt)+ 3 sin(πt) …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... 2 f ( t) g( t ) 1 0.5 2 2 t …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 18 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII II. Les fonctions hyperboliques 1) Définitions et notations - cosinus hyperbolique la fonction notée ch et définie par : «] = On appelle : - sinus hyperbolique la fonction notée sh et définie par : W] = 5' ¥ 1' ¥ W] - tangente hyperbolique la fonction notée th et définie par : ] = 2) Etude du sinus hyperbolique shx = «] = 1' 5' ®d 1®'d Ensemble de définition : ……………………………………………………………….. Continuité : Soit f, une fonction définie en a, on dit que f est continue en a lorsque : lim f ( x ) = f (a ) x →a La propriété de continuité se traduit par le fait que « l’on peut dessiner le graphique de f sans lever le crayon » Soit f, une fonction définie sur I un intervalle de R I , on dit que f est continue sur I, lorsque f est continue en tout point a de I. On dit aussi que f est de classe C0 et on note : 8 ∈ Z Si f et g sont continues sur I, alors : 8,f+g, 8 × U et f/g (avec g≠ Zsont continues sur I. (Wé …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Intervalle d’étude : ……………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... Signe de la dérivée : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... ....................................................................................................................................................... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 19 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII Tableau de variation et limites : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Représentation graphique du sinus hyperbolique : 20 sh( x) 6 4 2 0 2 4 6 20 3) Etude du cosinus hyperbolique chx = x ®d 5®'d Ensemble de définition : ……………………………………………………………….. Continuité : …………………………………………………………………………… .. …………………………………………………………………………………………………... Intervalle d’étude : ……………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………............... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 20 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII Signe de la dérivée : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Tableau de variation et limites : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Calculer la limite suivante : lim→52 chx − shx …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... On dit que les courbes représentant le sinus hyperbolique et le cosinus hyperbolique sont asymptotes l’une de l’autre en +∞ Représentation graphique du cosinus et du sinus hyperbolique : 5 4 3 sh ( x) ch( x) 2 1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x IUT de Toulon – Département GEII – Première année 21 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII Application dans le domaine du GEII : La courbe représentant le cosinus hyperbolique décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur. La chaînette des lignes à haute tension varie en fonction de la quantité d'énergie transportée et des conditions météorologiques. Le courant permanent admissible désigne le courant maximum pouvant être transporté à un moment donné sans que le câble ne se rapproche trop du sol (en raison de la dilatation thermique due à l'effet Joule). 4) Formulaire On a vu que ∀x ∈ ℝ : shx = ®d 1®'d ; chx = ®d 5®'d ; thx = yp wp Les fonctions sh et th sont impaires, la fonction ch est paire. `chxa = shx;`shxa = chx ¡ chx − shx = < Á ¡ chx + shx = ……………………………………………………………………………….. ch x − sh x =……………………………………………………………………………… ch x − sh x =……………………………………………………………………………… `thxa =………………………………………………………………………………………. ¡ ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………... chx + y = chxchy + shxshy ; shx + y = shxchy + chxshy thx + y = E5¿p¿p ¿p5¿p 5) Etude de la tangente hyperbolique thx = = ®d 5®'d yp wp ®d 1®'d Ensemble de définition : ……………………………………………………………….. Continuité : …………………………………………………………………………… .. …………………………………………………………………………………………………... Intervalle d’étude : ……………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………............... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 22 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII Signe de la dérivée : …………………………………………………………………………………………………... Tableau de variation et limites : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Représentation graphique de la tangente hyperbolique : 1 0.5 th ( x) 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 −1 0.5 1 x IUT de Toulon – Département GEII – Première année 23 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII III. Le sinus cardinal 1) Définition et notation Définition 1 : On appelle sinus cardinal et on note sinc, la fonction définie par : WX WX ≠ Z WX« = à ©WX = Z Application dans le domaine du GEII : On verra en 2ième année que la transformée de Fourier de la fonction porte est le sinus cardinal. La fonction porte étant très couramment utilisée, le sinus cardinal est donc très présent en traitement numérique du signal. En particulier, il est fréquemment rencontré en théorie des antennes, en acoustique, en radar etc. 2) Pré-requis : Etudions le signe de la fonction gx = x. cosx − sinx sur [0; +∞[ Remarque : l’ensemble de définition de gest …………………………………….......... …………………………………………………………………………………………............... Continuité : …………………………………….............................................................. …………………………………………………………………………………………............... Signe de la dérivée :.......................................................................................................... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Tableau de variation : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 24 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII y Cf f(b) > 0 ȷ O ı a Å b Théorème de monotonie : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a,b] telle que : f(a)×f(b) < 0, alors l’équation f(x) = 0 possède une seule et unique solution dans l’intervalle ]a,b[. x f(a) < 0 …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Signe de la fonction g : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... 3) Etude du sinus cardinal sincx = Ä wxM six ≠ 0 1six = 0 Ensemble de définition : ……………………………………………………………….. Continuité : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 25 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Intervalle d’étude : ……………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………............... Signe de la dérivée : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Tableau de variation et limites : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... Intersection des courbes représentant sinc et la fonction inverse : …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 26 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - B. Quelques fonctions à connaître en GEII Représentation graphique du sinus cardinal : f(x) g(x) On observe un signal périodique dont l’amplitude des oscillations décroît au cours du temps. On appelle la période d’un tel signal la pseudo-période T, temps qui s’écoule entre deux valeurs maximales successives, elle est constante. Ici T = 2π. On dit que la courbe représentant le sinus cardinal est une sinusoïdale amortie. 4) Autre définition du sinus cardinal plus couramment utilisée Définition 2 : On appelle sinus cardinal et on note sinc, la fonction définie par : WXÆ WX ≠ Z WX« = Ã Æ ©WX = Z Sa courbe est une sinusoïdale amortie de pseudo période 2. …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... …………………………………………………………………………………………............... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 27 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - C. Différentielle et calcul d'incertitude Partie C : Différentielle et calcul d’incertitude I. Définitions et exemples 1) Introduction à la notion de différentielle et définition de l’incertitude absolue Problème : On mesure une grandeur physique x avec un appareil de mesure, ce dernier nous indique l’erreur absolue |∆x|. On souhaite alors calculer f(x), quelle est l’erreur commise ? sur un intervalle I. a∈I et a + Δx ∈I. y = f(x) On suppose que f est une fonction dérivable f(a+Éx) M ∆f N f(a) A O a Ta dfR ∆x P + ∆ Pour une variation de x, notée ∆x, on obtient une variation de f correspondante, notée ∆f = fa + Δx − fa et que l’on cherche à déterminer. Plus ∆x est petit, plus MN tend vers 0, et on peut alors approcher ∆f par ÎÎÎÎ PN. On note ÎÎÎÎ PN dfa . Calculons dfa : f ¡ a étant la pente de la µk tangente Ta, on a alors : f ¡ a = Ï et on Ð note dfR = f ¡ a. dx Conclusion : Pour ∆x proche de 0, ∆8 ≅ È8 où È8 = 8 ¡ . È dfa est appelée différentielle de f en a. |É8| est appelée incertitude absolue. 2) Vérification sur un exemple Soit A(x) l’aire d’un carré de côté x, on suppose que x varie entre x et x+dx, que peut-on alors dire de l’aire correspondante ? x A(x) ∆x A(x) = ……………………………………………………. ∆A = Ax + Δx − Ax =……………………………….. ∆A =………………………………………………………. dA =………………………………………………………. Si ∆x est proche de 0, alors : ……………………………. ………………………………………………………………………………………………....... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 28 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - C. Différentielle et calcul d'incertitude AN1 : x = 1m et ∆x = 1cm ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... AN2 : x = 1m et ∆x = 1hm ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... 3) Définition / Notation Soit f, une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit t , t+dt ∈I . La différentielle de f au point t, notée df(t), est définie par : È8 = 8 ¡ È È8 En conséquence la notation différentielle de la dérivée de f au point t est : 8 ¡ = È 4) Exercice d’intensité : I = . Calculer I lorsque R = 50Ω et U = 40 V, puis utiliser les différentielles Ñ Une résistance R soumise à une différence de potentiel continu U, est traversée par un courant Ò dI et dR pour trouver une valeur approchée I1 de l’intensité lorsque R augmente de 0.05 Ω. ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 29 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - C. Différentielle et calcul d'incertitude II. Opérations sur les différentielles et erreur relative 1) Formulaire Dérivée 8 + U¡ = 8 ¡ + U′ Différentielle 8¡ = 8′ 8U¡ = 8 ¡ U + 8U′ 8 ¡ 8 ¡ U − 8U′ Õ Ö = U U¥ 8 ¡ = . 8 1© . 8′ `8a = ¡ 8′ 8 2) Différentielle logarithmique et application à l’incertitude relative d(ln(UV)) = ………………………………………. …………………………………………… dÕln I LÖ = ………………………………………. …………………………………………… Ñ × d(ln(U M )) = ………………………………………. …………………………………………… É8 Pour déterminer l’erreur commise par rapport au résultat de la mesure, on calcule l’incertitude relative : en pourcentage. 8 . Elle indique la précision de la mesure, et peut être exprimée IUT de Toulon – Département GEII – Première année 30 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle - C. Différentielle et calcul d'incertitude 3) Exercice Dans un pont de Wheastone, on a la relation : RE R Ø = R R Montrer que : µÒf Òf = µÒe Òe + µÒ Ò − µÒÙ ÒÙ ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... Sachant que Ú µÒe Òe Ú=Ú µÒÙ ÒÙ Ú =0 .001 et |dR | =1Ω, déterminer en fonction de R3 un majorant de l’erreur relative sur R1 . ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………....... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 31 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle – Exercices du chapitre 2 Exercices du chapitre 2 Exercice 1 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 1 t+1 fx = x + 3x + 3x − 1; fx = x + avecx ≠ 0; gt = avect ≠ 1; x t−1 ω 1 ht = bt + 1; lω = ; Xω = ÕLω − Ö ; Zω = bR + L ω ; Cω √ω + 1 1 Q 1 Q 1 it = I√2 cosωt + φ;f& C = ; WC = ; WQ = ; 2 C 2 C 2π√LC σ Vx = Ibx + R − xL 2ε& Exercice 2 On considère le filtre passe-bas suivant : I& = 0 R U U& C Sa fonction de transfert a pour module : T = E bE5Òäe 1) Exprimer le module T en fonction de Ω = å = Ú fÚ Ñ Ñe avec æ& = E çè . 2) Etudier les variations et représenter graphiquement la fonction Ω ⟼ TΩ sur l’intervalle [0; +∞[. Exercice 3 L’impédance d’un dipôle R, L, C sous une tension alternative de fréquence f est : Z = oR + ILω − äL avec : ω = 2πf. E 1) Déterminer le signe de la dérivée de la fonction æ ⟼ éæ sur ℝ5∗. Ñ 2) Etudier la fonction ω ⟼ Iω = où U est l’amplitude constante de la tension, puis la tracer. ê Exercice 4 Soit un générateur de force électromotrice E, de résistance interne r et le circuit ci-dessous. Déterminer la valeur de la résistance R pour que la puissance dissipée y soit Ò maximum (on trouve PR = E . e ) Ò5ì I r R IUT de Toulon – Département GEII – Première année 32 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle – Exercices du chapitre 2 donnée par la relation suivante : L = μ& (μ& = 4π101ñ SI N Pour une bobine comportant N = 3000 spires, de diamètre moyen 5 cm, et de longueur 50 cm, calculer L. Utiliser ensuite les différentielles pour déterminer ΔL si N augmente de 10 spires puis si l augmente de 1 cm. îe ï Exercice 5 L’inductance d’une bobine comportant N spires, de section S et de longueur l est Exercice 6 L’impédance Z d’une bobine en courant sinusoïdal de pulsation æ est donnée en fonction de sa résistance R et de son inductance L par la relation Z = √R + L ω . Si R = 1000ΩL = 20Hetf = 50Hz (ω = 2πf, calculer Z puis la variation Δé lorsque la fréquence augmente de 0.5 Hz. Exercice 7 Avec des logarithmes. E 1) Soit g la fonction numérique définie sur ℝ5∗ par : gx = 1 + + lnx . Etudier le signe de la fonction g sur ℝ5∗ 2) Etudier la fonction f définie sur ℝ5∗ par : fx = x + 1. ln x. Exercice 8 Dans le circuit ci-dessous on suppose que le condensateur est initialement chargé : On note U& la tension à ses bornes. A l’instant t = 0 on ferme l’interrupteur K. La 0sit < 0 fonction t ↦ et est définie par : et = . Esit ≥ 0 On démontre que la fonction t ↦ ut est définie sur [0; +∞[ par : ut = U& − Ee1ö÷ + E. K õ R E e(t) C u(t) 1) Etudier sur [0; +∞[ les variations de la fonction t ↦ ut et calculer lim§→52 ø, on discutera suivant les valeurs relatives de U& etE. 2) Déterminer la tangente à la courbe représentative de u à l’origine et donner l’allure de cette dernière. Exercice 9 L’étude d’un circuit électrique conduit à étudier sur [0; +∞[ la fonction } ∶ ↦ it = Ie1e + 2te1¿ avec I > 0. On se propose de représenter graphiquement la fonction i. õ 1) Soit f, la fonction définie sur [0; +∞[ par : ft = 1 − t − ee . Etudier les variations Ø de f ; en déduire que l’équation f(t) = 0 admet sur [0; +∞[ une solution unique tE et que tE est élément de [0.65; 0.66m. 2) Déduire de 1) le signe de f(t). 3) Etudier les variations de i . Déterminer lim§⟶52 } . Tracer la courbe représentant i. IUT de Toulon – Département GEII – Première année E õ 33 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle – Préparation aux concours. Exercice extrait de l’épreuve de mathématiques au concours ENSEA 2005 1) Soit g, la fonction définie par : gx = ln I L + . Etudier g (ensemble de 1E définition, tableau de variation et limites), puis en déduire le signe de g sur son ensemble de définition. 1E 2) Soit f, la fonction définie par : fx = e f d NMIE1 L E . Etudier f. Exercice extrait de l’épreuve de mathématiques au concours ENSEA 2003 Etudier la fonction f, définie par : fx = x − lnchx Exercices sur la continuité et la dérivabilité 1) 2) 3) 4) IUT de Toulon – Département GEII – Première année 34 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle – Préparation aux concours. 5) 6) Résoudre l’équation suivante : ch(x)+2sh(x) = 3 …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 35 Chapitre 2 : Fonctions numériques à variable réelle – Préparation aux concours. Notes …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... …………………………………………………………………………………………......... ……………………………………………………………………………………….......... IUT de Toulon – Département GEII – Première année 36
