Sujets de TER L3 – Sur la topologie. Enseignant: C. Tipler Le but de

Sujets de TER L3 – Sur la topologie. Enseignant: C. Tipler
Le but de ces TER est d’approfondir les notions abordées en Topologie.
1. Sujet 1
Le but de ce TER est de comprendre le Théorème suivant:
Theorem 1.1 (Théorème de métrisabilité d’Urysohn). Soit X un espace topologique.
Si X est régulier et admet une base dénombrable, alors X est métrisable.
Dans le cours de topologie, on a étudié des espaces métriques (X, d). On a vu
qu’une métrique permet de définir la notion d’ouvert sur X, et que ces ouverts vérifient une famille d’axiomes. De manière plus générale, une famille de parties de X
vérifiant ces axiomes est appelée une topologie sur X. Le Théorème de métrisabilité
d’Urysohn permet d’identifier certaines topologies qui proviennent d’une métrique.
Ce TER nécessite une bonne compréhension du cours de Topologie. La référence
principale est [1].
2. Sujet 2
Ce deuxième sujet porte sur la topologie des espaces de matrices. On démontrera
le résultat suivant:
Theorem 2.1. Soit G un sous-groupe compact maximal de GLn (C). Alors G est
conjugué à Un (C).
Afin de montrer ce résultat, on étudiera certaines intéractions entre théorie
des groupes et topologie. On introduira en particulier les notions de groupes
topologiques, d’actions de groupes continues.
Ce TER nécessite une bonne compréhension du cours Groupes et Géométrie ainsi
que celui de Topologie. Une référence est [2].
References
[1] J. Munkres, Topology, 2nd edition Prentice Hall, 2000.
[2] R. Mneimné, F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, Hermann,
1986.
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