Le calcul et les nombres Définition et propriétés 1. Les nombres

Le calcul et les nombres
Définition et propriétés
1. Les nombres entiers naturels :
Un nombre s’écrit soit sous la forme de numéral arabe (avec
l’emploi des chiffres indo-arabes), soit sous la forme de numéral verbal
écrit (on parle aussi d’écriture littérale).
Dans le cadre d’écriture chiffrée, le système numérique est basé sur la
numération en base dix. Celle-ci définit quelques règles simples de
production :
- Le chiffre le plus à droite représente le chiffre des unités de premier
ordre.
- Chaque chiffre à l’intérieur du nombre représente 10 fois plus que celui
qui est à sa droite.
- Le chiffre 0 tient la place des ordres qui manquent.
Il est important de ne pas confondre chiffre et nombre. Le chiffre est
de l’ordre du signifiant puisqu’il permet d’écrire un nombre. Un nombre
renvoie au concept de signifié puisqu’il représente la notion de quantité.
Exemple : 268 est un nombre qui s’écrit au moyen des chiffres 2, 6 et 8.
Mais il pourrait s’écrire d’une autre façon telle « deux cent soixante-huit ».
Second exemple : 5 est à la fois un nombre et un chiffre (nombre à un seul
chiffre renvoyant à la quantité de 5 unités : celle-ci peut s’écrire d’autres
façons comme cinq, five, cinco, V….)
2. Les nombres décimaux :
Les nombres décimaux sont très utilisés dans la vie courante et
demandent donc une bonne compréhension de leur fonctionnement.
Lorsqu’on a besoin de mesurer, de connaître une grandeur précise, on est
amené à partager l’unité en dix, cent, mille… parties égales.
La partie située à gauche de la virgule est nommée la partie entière,
alors que la partie située à droite de la virgule sera nommée la partie
décimale. Les chiffres de cette partie décimale sont appelés chiffres
décimaux.
- A noter : un nombre entier est un nombre décimal dont l’écriture
décimale est réduite et ne comporte donc pas de virgule.
- Ne pas confondre la notion de nombre décimal avec la notion de
nombre à virgule. En effet, si nous considérons le nombre 0,33333….,
résultat du quotient de 10 par 3, nous trouvons une infinité de chiffres
après la virgule. Ce nombre n’est donc pas un nombre décimal car le
nombre de chiffres significatifs après la virgule ne s’arrête pas.
3. Les nombres en écriture fractionnaire :
Une fraction est un nombre écrit sous la forme
𝑎
𝑏
où (a ; b) désigne un
couple d’entiers naturels avec b non nul.
Les nombres a et b s’appellent les termes de la fraction :
a est le numérateur et b le dénominateur.
o Propriété : tout nombre entier peut s’écrire sous forme d’une
fraction. Quel que soit l’entier a, a =
𝑎
1
.
Une fraction est décimale quand son dénominateur est 10 ou une puissance
de 10 (100, 1000 …).
o Propriété : tout nombre décimal peut s’écrire sous forme d’une
fraction décimale.
Prendre la fraction d’un nombre :
Pour prendre la fraction d’un nombre, on multiplie le nombre par le
numérateur et on divise le résultat par le dénominateur :
nx
Exemple : 15 x
𝑎
𝑏
2
3
=
=
𝑛x𝑎
𝑏
15 x 2
3
= 10
Simplifier des fractions :
Simplifier une fraction, c’est la remplacer par une fraction égale dont le
numérateur et le dénominateur sont plus petits. Pour ce faire, il faudra diviser
les deux termes de la fraction par le même nombre, si cela est possible.
Exemple :
700
420
=
700 ∶ 10
420 ∶ 10
70 ∶ 7
= 42 ∶
7
=
10 ∶ 2
6∶ 2
=
5
3
.
On arrive in fine à une fraction qui ne peut plus être simplifiée. On dit alors
de cette fraction qu’elle est irréductible.
4. Les nombres relatifs :
Un nombre relatif se compose d’un signe (+ ou -) et d’une partie numérique
que l’on appelle distance à zéro.
Deux nombres sont opposés lorsqu’ils ont la même distance à 0 et qu’ils sont
de signes contraires.
Exemple : 4,5 et – 4,5 sont deux nombres opposés (à noter que 0 est son
propre opposé).
Comparaison des nombres relatifs :
Le plus grand de deux nombres négatifs est celui qui a la plus petite distance
à zéro (exemple : - 7 < - 3 car – 3 est le nombre le plus proche de 0.
Si l’on compare un nombre relatif positif et un nombre relatif négatif, le plus
grand est le nombre positif (exemple : - 16 < 5).
5. Les nombres inverses :
Deux nombres sont dits inverses lorsque leur produit est égal à 1.
Par exemple, 4 et 0,25 sont des nombres inverses car 4 x 0,25 = 1.
A noter que 1 est son propre inverse (1 x 1 = 1) et 0 est le seul nombre qui
n’a pas d’inverse.
Dans le cadre d’un quotient, le quotient
Exemple : la fraction
5
3
a pour inverse
𝑎
𝑏
a pour inverse le quotient
3
. Car
5
5x3
3x5
=
15
15
𝑏
𝑎
.
= 1.
6. Les puissances :
o Les puissances de 10 :
La notation 10n désigne le produit de n facteurs 10 où n désignent un
entier naturel supérieur ou égal à 2.
10n = 10 x … x 10 = 10…0
n facteurs
n zéros
n s’appelle l’exposant : 10n se lit 10 exposant n ou 10 puissance n.
Exemple : 1 000 = 10 x 10 x 10 = 103. Le nombre 3 indique de ce fait le
nombre de facteurs 10.
A noter les deux cas particuliers : 101 = 10
100 = 1
Propriétés :
n et m sont deux entiers relatifs.
10n x 10m = 10n + m
(on additionne ici les deux exposants).
10n / 10m = 10n - m
(on soustrait ici les deux exposants).
(10n )m = 10n x m
(on multiplie ici les deux exposants).
o Les puissances d’un nombre :
a est un nombre quelconque et n est un entier supérieur à 2. Le nombre
an se définit alors par an = a x a x … x a, a étant écrit n fois.
Cette écriture se lit a exposant n (et a2 se lit a au carré, a3 se lit a au cube
et an se lit a puissance n).
A noter : si a ≠ 0, a0 = 1.
00 = 0 x … x 0 = 0, mais 00 n’a pas de signification.
a-1 est l’inverse de a.
Attention : deux puissance trois est différent de trois puissance deux !
23 = 2 x 2 x 2 = 8 et 32 = 3 x 3 = 9
7. Comparaison de nombres :
- Comparaison de nombres entiers :
Lorsque deux nombres ont un nombre de chiffres différents, le plus
grand des deux nombres est le nombre qui a le plus de chiffres.
Lorsque les deux nombres ont le même nombre de chiffres, la
comparaison se fait sur les chiffres de même rang à partir de la gauche :
Exemples : 6 856 > 4 845 car 6 est plus grand que 4.
7 637 > 7 598 car 6 est plus grand que 5.
Ce principe est dit lexicographique car il s’inspire du rangement
proposé dans un dictionnaire.
- Comparaison de nombres décimaux :
o Pour comparer deux nombres décimaux, on regarde les parties
entières : celui des deux nombres qui a la partie entière la plus
grande est le nombre le plus grand (comparaison semblable à la
comparaison de deux nombres entiers) :
Exemple : 451,65 > 432,95 car sa partie entière (451 est plus
grande que la partie entière 432.
o Lorsque les deux parties entières sont égales, nous devons
comparer les parties décimales chiffre après chiffre, à partie des
dixièmes (ou centièmes, millièmes…) suivant le principe
lexicographique :
Exemple : 15,6876 < 15,693, car le chiffre des centièmes 8 est
inférieur au chiffre des centièmes 9.
A noter : ce n’est pas le nombre qui a le plus grand nombre de
chiffres décimaux qui est systématiquement le plus grand
(comme le montre d’ailleurs notre exemple précédent).
- Rangement de nombres :
o On parle d’ordre croissant lorsque des nombres sont rangés du
plus petit au plus grand.
o On parle d’ordre décroissant lorsque des nombres sont rangés
du plus grand au plus petit.
8. Les opérations de calcul :
- L’addition :
Lorsqu’on réunit des objets identiques, le résultat est dénommé
somme.
L’addition est l’opération qui permet de calculer la somme de deux ou
de plusieurs nombres.
o L’ordre n’a pas d’importance dans une addition : on peut donc
changer l’ordre des termes sans pour cela que le résultat change.
Ce principe est dit de commutativité.
Propriété : a et b étant deux nombres quelconques, a + b = b + a.
o Lorsque l’on additionne plus que deux termes, on peut effectuer
des regroupements de diverses façons sans pour cela que le
résultat change.
Propriété : a, b et c étant des nombres quelconques,
a + (b + c) = (a + b) + c. Ce principe est dit d’associativité.
- La soustraction :
On définit la différence entre deux nombres comme le nombre qu’il
faut ajouter au plus petit pour obtenir le nombre le plus grand. La
soustraction est donc l’opération qui permet de calculer la différence
entre deux nombres.
- La multiplication :
Le produit d’un nombre a par le nombre entier b est la somme de b
nombres égaux à a : a x b = a + a + … + a (b termes).
La multiplication est l’opération qui permet de calculer le produit de deux
nombres.
o Propriété 1 : a et b étant deux nombres quelconques,
a x b = a x b. On dit que la multiplication est commutative.
o Propriété 2 : a, b et c étant des nombres quelconques,
a x (b x c) = (a x b) x c. On dit que la multiplication est associative.
o Propriété 3 : tout nombre multiplié par 0 donne comme résultat
0.
ax0=0xa=0
o Propriété 4 : tout nombre multiplié par 1 reste inchangé.
ax1=1xa=a
o Propriété 5 : La multiplication est distributive par rapport à
l’addition.
a, b et c étant des nombres quelconques,
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
o Propriété 6 : La multiplication est distributive par rapport à la
soustraction.
a, b et c étant des nombres quelconques,
a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
- La division :
L’opération de division est utilisée dès que la notion de partage en parts
égales apparaît (mais celle-ci ne se restreint pas à cette seule notion de
partage).
On appelle dividende le nombre qui est à un diviser. Le diviseur est la
quantité qui divise. Le résultat de l’opération de division s’appelle le
quotient. Si l’opération ne se termine pas, il y aura un reste et celui-ci ne
peut pas être supérieur au diviseur. Quand le reste est égal à 0, on dit que
la division est exacte.
Dividende
Diviseur
Quotient
Reste
o Propriété : dans une division de nombres entiers, le dividende
est égal au produit du diviseur par le quotient, plus le reste.
o Définir un quotient : un quotient peut se définir comme une
𝑎
écriture d’un nombre sous les formes , a/b ou a : b, où a
𝑏
représente un nombre et b représente un nombre non nul.
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