Sommaire de la séquence 5

Sommaire de la séquence 5
 Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Je double l’aire d’un carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
J’étudie la racine carré de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Je m’entraîne avec des racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Je construis des segments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Je résous une équation du type : x2 = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
J’étudie le produit et le quotient de deux racines
................................................
104
 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
J’effectue des calculs avec des racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Je découvre le nombre d’or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
 Objectifs
 Connaître et comprendre la définition de la racine carrée d’un nombre positif.

Être capable d’effectuer des calculs avec des racines.

Être capable de résoudre des problèmes à l’aide de racines carrées.

Savoir résoudre une équation du type x2 = a.
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Séquence 5
Séance 1
Je double l’aire d’un carré
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°5.
Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1- Sur la figure
ci-contre :
2- Le carré de (– 8) est égal à :
BC² = AB² + AC²
–8×8
AC² = 16
(– 8) × (– 8)
AC² = 34
64
AC ≈ 5,8 cm
– 64
3- Le nombre 100 est le carré de :
4- Le carré d’un nombre peut être négatif ?
– 10
10
vrai
50
faux
10 000
Nous allons maintenant commencer cette séquence. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours
et écris : « SÉQUENCE 5 : RACINES CARRÉES ». Fais la même chose avec ton cahier d’exercices.
Effectue l’exercice suivant sur ton livret pour la question 1 et sur ton cahier d’exercices pour les
autres.
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91
Séquence 5
EXERCICE 1
ABCD est un carré de côté 1 dm.
Problème : construire sur la feuille ci-dessous un carré dont l’aire est deux fois plus grande que celle
de ABCD.
1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème en construisant une figure ci-dessous.
92
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Séquence 5
2a) Détermine BD2.
b) Calcule, en dm², l’aire du carré ABCD. Déduis-en l’aire, en dm², du carré que tu dois construire.
c) Réponds au problème.
Aide : le carré de « la diagonale » du carré cherché est égal à 2.
3- On nomme EBDF le carré construit. On s’intéresse au côté de ce carré :
Le côté du carré EBDF est un nombre positif BD dont le carré est égal à 2.
a) Détermine une valeur approchée d’un nombre positif dont le carré est 2 de deux façons :
● à l’aide d’une mesure sur la figure que tu as construite page précédente.
● à l’aide d’une calculatrice.
Aide : tu as déjà répondu de nombreuse fois à ce type de question en classe de 4ème.
b)
Clément se pose une question : combien y a-t-il de nombres positifs dont le carré
est 2 ?
Essaie pendant 5 minutes de répondre à cette question.
c) Complète le tableau ci-dessous :
x
x²
0
……
1
……
2
……
3
……
4
……
d) Complète le graphique ci-contre en te servant du tableau de la
question c.
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93
Séquence 5
e) Effectue un tracé sur le graphique traduisant le problème : « Trouver tous les nombres dont le
carré est 2 ».
f) Combien y a-t-il de nombres positifs dont le carré est 2 ?
4Le côté du carré EBDF est le nombre positif dont le carré est 2. On note ce nombre 2 .
Il se lit : « racine carrée de 2 ».
Indique sur la figure de la question 1 que : BD =
2 cm.
On a dans cet exercice mis en œuvre plusieurs méthodes permettant d’avoir une valeur approchée de
2 :
● une mesure du côté du carré DBEF
● l’utilisation de la calculatrice.
Utilise un logiciel de géométrie dynamique : construis le carré ABCD et fais mesurer BD pour obtenir
une valeur approchée de 2 .
La valeur approchée de 2 obtenue est-elle en accord avec la valeur approchée de la calculatrice ?
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°1. Effectue ensuite la
série 4 de cette fiche.
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Séquence 5
Séance 2
J’étudie la racine carrée de 2
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 2
Problème :
2 est-il un nombre décimal ?
1- Essaie pendant 5 minutes de répondre au problème.
2a) Peut-on, à l’aide d’une valeur approchée de 2 obtenue avec une calculatrice, dire que
pas un entier ? que 2 n’est pas un décimal ?
2 n’est
b)
On va démontrer dans cette question que 2 n’est pas un nombre décimal.
Pour cela, on va faire un raisonnement par l’absurde, c’est-à-dire qu’on va supposer que 2 est un
nombre décimal et on va arriver à un résultat absurde. On pourra alors en déduire que la supposition
faite au départ « 2 est un nombre décimal » était fausse.
On suppose que 2 est un nombre décimal.
On peut donc étudier le dernier chiffre (différent de zéro) de l’écriture décimale de 2 .
Ce chiffre peut être : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 9.
● Quel peut alors être le dernier chiffre du carré de ce nombre ? Complète le tableau ci-dessous.
« dernier chiffre non nul du nombre
2 »
« dernier chiffre non nul du carré du nombre «
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
….
….
….
….
….
….
….
….
….
● Pourquoi a-t-on une contradiction (quelque chose « d’impossible ») ?
Aide : quel est le carré de 2 ?
● Conclus.
Dans la séance 1, on a défini le nombre 2 comme étant le nombre positif dont le carré est 2.
Peut-on de la même façon définir la racine carrée de n’importe quel nombre positif ? C’est ce que
nous allons voir dans l’exercice suivant. Effectue-le dans ton cahier d’exercices.
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95
Séquence 5
EXERCICE 3
Ouvre le fichier sequence5exercice3 à l’aide de geogebra.
On a représenté x2 en fonction de x. La courbe obtenue est la courbe verte.
Déplace le point rouge et réponds aux questions suivantes :
1a) Déplace le point rouge pour avoir a = 9. Combien y a-t-il de nombres dont le carré est 9 ?
b) Déplace le point rouge pour avoir a = 7. Combien y a-t-il de nombres dont le carré est 7 ?
c) Déplace le point rouge pour avoir a = 0. Combien y a-t-il de nombres dont le carré est 0 ?
d) Déplace le point rouge pour avoir a = – 2. Combien y a-t-il de nombres dont le carré est – 2 ?
2- Existe-t-il toujours un ou des nombres dont le carré est a ?
3- Si a est strictement positif (c’est-à-dire positif et différent de 0), combien existe-t-il de nombres
positifs dont le carré est a ?
4Le nombre positif dont le carré est a est noté
a.
Pour quelles valeurs du nombre a peut-on définir
a ?
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le et retiens-le.
JE RETIENS
Définition :
a est un nombre positif.
L’unique nombre positif dont le carré est égal à a se note
Le symbole «
a et se lit « racine carrée de a ».
» s’appelle le radical.
Pour tout nombre a positif, on a donc :
a positif
et
( a)
2
=a
Exemple : ( 7)² = 7
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°2. Effectue ensuite la
série 4 de cette fiche.
96
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Séquence 5
Séance 3
Je m’entraîne avec les racines carrées
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 4
Ecris les nombres suivants sous forme de nombres entiers :
0
1
4
9
36
49
64
16
81
25
100
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et retiens-le.
JE RETIENS
● On peut calculer certaines racines carrées très rapidement, en utilisant les tables de multiplication.
● La calculatrice permet d’obtenir des valeurs exactes ou approchées de la racine carrée d’un nombre
positif. Reporte-toi à la page calculatrice (page 165) en fin de livret pour étudier un exemple.
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
EXERCICE 5
Parmi les nombres suivants, entoure ceux dont la racine carrée existe.
100
– 16
0
20
1
Explique en une phrase la propriété que tu as utilisée pour répondre à la question :
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Effectue l’exercice ci-dessous sans utiliser de calculatrice.
EXERCICE 6
Ecris le plus simplement possible les expressions ci-dessous :
A = ( 3)² = ……………………………………………………………………………………………
B = − 5² = …………………………………………………………………………………………….
C = 11 × (− 11) =……………………………………………………………………………………...
D = 16 + 36 = ……………………………………………………………………………………….
E=
98
= ………………………………………………………………………………………………
2
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
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97
Séquence 5
EXERCICE 7
A = x² + 7 x − 8
Calcule A pour x = 3 , puis pour x = 2 5 .
EXERCICE 8
A = 7 +1
et
Calcule :
B= 3 7
● A+B
● A–B
● A×B
EXERCICE 9
Développe et réduis les expressions suivantes au maximum :
A = 3 × (5 − 3)
B = ( 2 + 1) × (3 − 5 2)
C = ( 6 − 10) − (8 + 6)
D = (5 − 7)² + ( 7 + 5)²
E = (2 5 − 8) × (2 5 + 8)
EXERCICE 10
Calcule le périmètre et l’aire des rectangles ABCD et EFGH ci-dessous.
EXERCICE 11
ABC est un triangle tel que : AB =
5 cm , AC =
3 cm, BC = 2 2 cm.
Démontre que le triangle ABC est rectangle en A.
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°3. Effectue ensuite la
série 4 de cette fiche.
98
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Séquence 5
Séance 4
Je construis des segments
Effectue l’exercice suivant sur ton livret et dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 12
Dans la séance 1, nous avons vu qu’en construisant un triangle ABC rectangle
en A tel que AB = AC = 1, on construisait un segment [BC]
mesurant 2 .
Problème : trouver une construction permettant de tracer un segment mesurant
3 cm.
1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème, puis réponds aux questions ci-dessous.
2a) Écris la propriété de Pythagore pour le triangle EFG ci-contre rectangle en E
sachant que FG = 3 cm.
Quelles valeurs peut-on choisir pour EF² et GE² ?
Que peut-on en déduire alors pour les longueurs EF et GE ?
b) Utilise le triangle ABC ci-dessous et les questions précédentes pour construire un triangle dont un
côté mesure 3 cm.
3- En utilisant une méthode analogue, construis sur la même figure un segment mesurant 4 cm, puis
un segment mesurant 5 cm. Poursuis ainsi la construction jusqu’à ce que tu obtiennes un segment
mesurant
7 cm.
Aide : La figure obtenue s’appelle « l’escargot de Pythagore » !
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
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99
Séquence 5
EXERCICE 13
1● Construis la figure ci-contre.
● Mesure la longueur AH.
● A l’aide d’une calculatrice, donne une valeur approchée de 5 .
● Que remarques-tu ?
2- A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, construis la
figure ci-dessus et fais mesurer la longueur AH. Que remarquestu ?
Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier sequence5exercice13.
Déplace le point B de façon à ce que le segment [HB] mesure 7 cm.
Que remarques-tu pour la longueur AH ?
Déplace le point B de façon à ce que le segment [HB] mesure 10 cm.
Que remarques-tu pour la longueur AH ?
Après cet exercice, on peut émettre une conjecture : le segment [AH] mesure HB cm.
Dans l’exercice suivant, on va déterminer si cette conjecture est vraie ou pas.
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 14
Problème :
Déterminer la longueur du segment
[AH] en fonction de a.
1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème, puis réponds aux questions ci-dessous.
2- Ecris la propriété de Pythagore dans les triangles AHC et AHB.
3a) Enonce la propriété de Pythagore dans le triangle ABC.
b) Utilise ce que tu as trouvé dans la question 2 pour montrer que : BC² = 2AH² + a² + 1
c) Déduis-en que AH² = a.
4- Conclus.
5- Inspire-toi de ce que tu viens de faire pour construire une figure permettant de tracer un segment
mesurant 7 cm. Construis cette figure.
Cette méthode permet de construire un segment mesurant
supérieure ou égale à zéro.
a cm, pour n’importe quelle valeur de a
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°4. Effectue ensuite la
série 4 de cette fiche.
100
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Séquence 5
Séance 5
Je résous une équation du type :
x2 = a
Effectue l’exercice suivant sur ton livret et ton cahier d’exercices.
EXERCICE 15
Problème : trouver tous les nombres dont le carré est 3.
1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème posé puis réponds aux questions ci-dessous.
2- Le problème posé se traduit par une équation : « x² = 3 ».
Trouve deux solutions de cette équation.
Tu as déterminé deux nombres dont le carré est 3.
On voudrait savoir maintenant s’il existe d’autres nombres répondant au problème posé.
3- A l’aide d’un graphique
a) Complète le tableau ci-dessous :
x
x²
–4
……
–3
……
–2
……
–1
……
0
……
1
……
2
……
3
……
4
……
b) Complète le graphique suivant en te servant du tableau de la question précédente.
c) Effectue un tracé sur le graphique traduisant le problème :
« Trouver tous les nombres dont le carré est 3 ».
d) Combien y a-t-il de solutions au problème posé ?
e) Réponds au problème posé.
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101
Séquence 5
f) On pouvait rapidement obtenir ce graphique à l’aide d’un tableur.
● Ouvre un tableur, et créé le tableau ci-dessous.
● Calcule le nombre à entrer dans la cellule B3 à l’aide d’une
formule, et étends ton calcul jusqu’à la case J3.
● Sélectionne ensuite les données et fais représenter un
graphique de type « nuage de points ».
● Réponds au problème posé à l’aide du graphique obtenu.
4- A l’aide d’une équation produit
a) Montre que l’équation : x² = 3 peut s’écrire :
b) Résous l’équation produit :
( x − 3 )( x + 3 ) = 0
( x − 3 )( x + 3 ) = 0
c) Réponds au problème posé.
On a vu dans l’exercice précédent qu’il existe deux nombres dont le carré est 3. En utilisant un
raisonnement analogue avec n’importe quel nombre a strictement positif, on pourrait montrer qu’il
existe deux nombres dont le carré est a : a et − a .
On peut maintenant se demander ce qui se passe avec 0 et avec un nombre strictement négatif. C’est
ce que nous allons voir dans l’exercice suivant.
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 16
1- Combien existe-t-il de nombre(s) dont le carré est 0 ?
2- Combien existe-t-il de nombre(s) dont le carré est – 5 ?
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le et retiens-le.
JE RETIENS
● Si a < 0
● Si a = 0
● Si a > 0
l’équation x² = a
l’équation x² = 0
l’équation x² = a
n’a aucune solution.
a une unique solution : x = 0.
a deux solutions : x = a et x = − a .
Exemples :
● L’équation x² = 25 a deux solutions : 5 et – 5.
● L’équation x² = 13 a deux solutions : 13 et − 13 .
● L’équation x² = – 4 n’a aucune solution.
102
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Séquence 5
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 17
Résous les équations suivantes :
a) x² = 144
d) x ² + 1 = 0
b) x ² = – 16
e) x ² + 1 = 8
c) x ² + 2 = 2
f) 5 x ² = 75
EXERCICE 18
Donne une valeur approchée, au millimètre près, du rayon d’un disque dont l’aire est égale à 11 cm².
EXERCICE 19
Développe le premier membre des équations ci-dessous puis résous-les :
a) (x – 5)(x + 5) + 25 = 0
b) (x + 2)(x – 7) + 5x = 2
c) (x + 6)² + (2x – 3)² = 0
EXERCICE 20
Résous les équations suivantes :
a) (x – 5)² = 4
b) (2x + 1)² = – 3
c) (3x + 2)² = 7
EXERCICE 21
L’équation « E = MC² » est une relation entre l’énergie E (en joules), la masse M (en kilogrammes) et
la vitesse C de la lumière dans le vide (en mètres par seconde).
Lors de la désintégration d’un atome appelé positronium, on obtient une énergie d’environ
8,1 × 10–14 J pour une masse d’électron d’environ 9 × 10–31 kg.
Calcule, en m/s, une valeur approchée de la vitesse de la lumière dans le vide.
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°9, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des
pointillés horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le
résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon.
Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions.
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103
Séquence 5
Séance 6
J’étudie le produit et le quotient de deux racines
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 22
Problème :
est-il vrai que [AC] a pour longueur 2 × 5 cm ?
• Pauline n’a pas trouvé 2 × 5 cm, mais elle se dit que peut-être son résultat peut
s’exprimer d’une autre façon.
1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème posé puis réponds aux questions ci-dessous.
2● Construis une figure et mesure la longueur AC. A l’aide de la calculatrice, donne une valeur
approchée de 2 × 5 . Que remarques-tu ?
● Si tu possèdes un ordinateur, construis la figure ci-dessus à l’aide de Geogebra et fais mesurer la
longueur AC. Que remarques-tu ?
3- Démontre que : AC =
20 cm.
4- Essaie de démontrer pendant 5 minutes que :
5- Nous allons démontrer dans cette question que :
20 = 2 5
20 = 2 5 .
Calcule le carré de 2 × 5 . Exprime le résultat sous la forme d’un entier.
Déduis-en : 2 × 5 = 20 .
104
– Cned, Mathématiques 3e
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Séquence 5
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 23
On a vu dans le 1e exercice de cette séance que
● 20 = 4 × 5
Comme :
20 = 2 5 .
●2× 5 = 4 × 5
et
On a donc :
4×5 = 4 × 5
« la racine du produit de 4 par 5 est égale au produit de la racine de 4 par la racine de 5 ».
1- A-t-on :
7×2 = 7 × 2 ?
4- Si a et b sont deux nombres positifs, a-t-on :
Aide : essaie de calculer
(
a×b
)
2
puis
(
a×b = a × b
2
a× b
).
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le et retiens-le.
JE RETIENS
Quels que soient les nombres positifs a et b, on a :
Si de plus, b est différent de 0, on a :
a × b = a×b
a
a
=
b
b
Exemples :
● 2 × 5 = 2 × 5 = 10
●
5
5
=
= 2,5
2
2
Remarque :
Il n’y a aucune règle pour la somme et la différence de racines carrées de nombres positifs.
Exemple :
● 36 + 64 = 6 + 8 = 14
36 + 64 = 100 = 10
donc :
36 + 64 ≠ 36 + 64
●
25 − 16 = 9 = 3
donc :
25 − 16 ≠ 25 − 16
25 − 16 = 5 − 4 = 1
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 24
Parmi les nombres A, B, C et D, lesquels peuvent s’écrire sous forme d’un nombre entier ?
Explique ta réponse.
75
A = 2× 8
B = 5 + 11
C = 30 − 5
D=
3
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°9.
Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.
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105
Séquence 5
Séance 7
J’effectue des calculs avec des racines carrées
Dans la séance précédente, nous avons vu une propriété concernant le produit et le quotient de
racines carrées de nombres positifs. Cette propriété permet parfois de simplifier certaines écritures.
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et retiens la méthode utilisée.
JE COMPRENDS LA MÉTHODE
Exprimer 54 + 24 plus simplement.
●
54 = 9 × 6 = 9 × 6 = 3 × 6 = 3 6
Je cherche à simplifier l’écriture
54 .
●
24 = 4 × 6 = 4 × 6 = 2 × 6 = 2 6
Je cherche à simplifier l’écriture
24 .
On a :
54 + 24 = 3 6 + 2 6 = 5 6
Je peux factoriser par 6 .
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 25
1- Écris les nombres suivants sous la forme c , où c est un nombre entier positif.
A= 2 3
B= 5 6
C= 3 5
2- Écris les nombres suivants sous la forme a 7 , où a est un nombre entier positif.
D=
567
E=
700
F=
G = 2 28
252
EXERCICE 26
Simplifie au maximum les calculs ci-dessous :
N = 108 + 7 12 − 3 75
M = 3 5 − 2 45 + 180
P=
200 − 3 242 − 5 2
EXERCICE 27
Les mesures des longueurs sont en cm.
1- Calcule la valeur exacte, en cm, du périmètre du triangle ABC puis du périmètre du rectangle
EFGH.
2- Démontre que ces deux périmètres sont égaux.
106
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Séquence 5
EXERCICE 28
Démontre que le nombre A est un nombre entier : A = ( 27 − 5)² − 30(1 − 3) .
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et retiens-le.
JE COMPRENDS LA MÉTHODE
2
Ecrire
sans racine carrée au dénominateur.
5
A=
A =
2
2× 5
=
5
5× 5
2 5
( 5)²
=
Je multiplie le numérateur et le dénominateur par
2 5
5
Autre exemple : B =
5.
L carré de 5 est un entier.
1− 7
7
=
(1 − 7 ) × 7
7× 7
=
7 − ( 7 )²
( 7 )²
=
7 −7
7
Utilise le paragraphe précédent pour effectuer les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 29
Écris les nombres suivants sans racine carrée au dénominateur :
1
−5
5− 2
B=
C=
A=
3
6
2
EXERCICE 30
Calcule les nombres suivants.
5
3
A=
+
2
8
B=
2
3
5
+
−
7
28 7
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°9. Effectue ensuite la
série 3 de cette fiche.
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107
Séquence 5
Séance 8
Je découvre le nombre d’or
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 31
1- Les trois rectangles ci-dessous ont « un point commun » : on les appelle des rectangles d’or.
D’après toi, quel est-ce point commun ?
2- Un rectangle qui a les dimensions d’une feuille de papier au format A4 (21 cm sur 29,7 cm) est-il
un rectangle d’or ? Un carré est-il un rectangle d’or ?
3- Il existe une méthode de construction permettant d’obtenir un rectangle d’or à partir d’un carré :
On trace un carré AMND. On appelle O le milieu de [DN]. On place sur la demi-droite [DN) le point
C tel que OC = OM. On trace le rectangle ABCD : le point B se trouve sur la demi-droite [AM).
Le rectangle ABCD obtenu est un rectangle d’or.
a) Contrôle que la méthode de construction permet d’obtenir un rectangle d’or.
Aide :
● Tu peux par exemple construire trois rectangles d’or sur une feuille de papier à l’aide de la
construction précédente pour des carrés AMND de côtés différents puis faire des mesures.
● Tu peux également utiliser un logiciel de géométrie dynamique.
Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier sequence5exercice31.
Tu peux alors manipuler la figure.
b) Essaie d’obtenir une valeur approchée très précise du rapport longueur sur largeur d’un rectangle
d’or à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.
Reporte-toi au corrigé de la première partie de cet exercice.
108
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Séquence 5
4- On applique la méthode de construction décrite dans la question 3 afin d’obtenir un rectangle d’or à
partir d’un carré ADNM de côté 6 cm.
a) Démontre que le rapport « longueur divisé par largeur » d’un rectangle d’or est égal à
1+ 5
.
2
On appelle ce nombre le nombre d’or.
Aide : commence par calculer OM (tu peux utiliser la propriété de Pythagore).
Déduis-en OC puis démontre que : DC = 3 + 3 5 .
Divise ensuite DC par BC.
b) Démontre que le rectangle NMBC est un rectangle d’or.
Aide : pour cela, « il suffit de démontrer » que le rapport « longueur divisé par largeur » de ce
1+ 5
.
rectangle est égal à
2
5Construis la figure de la question 4 sur une feuille blanche.
Construis le carré NCRS sachant que le point R est un point de [BC].
On admettra que le rectangle SRBM est également un rectangle d’or.
Construis, en suivant le même procédé, deux autres rectangles d’or.
6Trace, sur la même figure que celle de la question 5, un quart de
cercle de centre M et d’extrémités A et N.
Trace ensuite un quart de cercle de centre S et d’extrémités N et R.
Tu as tracé le début d’une spirale appelée une spirale d’or !
Poursuis la construction de la spirale d’or dans les autres rectangles
d’or, en utilisant le même procédé.
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109
Séquence 5
EXERCICE 32
Le nombre φ est défini par : ϕ =
1+ 5
. Il est appelé : « nombre d’or ».
2
1- Démontre que : ϕ 2 = ϕ + 1
2- Démontre que :
1
ϕ
= ϕ − 1.
Aide : multiplie le numérateur et de dénominateur par 1 − 5 .
Lis le paragraphe qui suit.
Le coin des curieux
Le nombre d’or est un nombre qui a suscité beaucoup d’études et de débats car il est considéré comme
étant le symbole de la beauté et de l’harmonie.
On le trouve un peu partout autour de nous (dans le corps humain, dans la nature…) si bien que
l’homme l’a utilisé dans de nombreux domaines (construction de cathédrales, construction de luths et
de violons, peinture …) afin de retrouver cette harmonie dans ses créations.
On l’appelle également « proportion dorée ».
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°9. Effectue ensuite la
série 4 de cette fiche.
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Séquence 5
Séance 9
J’effectue des exercices de synthèse
Effectue les exercices suivants dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 33
Voici un programme de calcul :
1- Effectue le programme avec 1. Qu’obtiens-tu ? Fais de même avec – 5.
2- Quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour obtenir à la fin 2,61 ?
EXERCICE 34
Voici un autre programme de calcul :
Quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour obtenir à la fin 7 ?
S’il te reste du temps, effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 35
Dans l’exercice 2 de cette séquence, on a démontré que 2 n’était pas un nombre décimal.
On se pose maintenant la question de savoir si 2 peut s’écrire sous la forme d’une fraction.
Nous allons raisonner « par l’absurde ».
1- On suppose donc que
2 est un nombre rationnel.
Cela signifie qu’il existe deux nombres entiers p et q tels que
On choisit ici des entiers p et q de façon à ce que la fraction
Démontre que :
2 s’écrive
p
(q ≠ 0).
q
p
soit irréductible.
q
p² = 2q².
2- On travaille avec le dernier chiffre du nombre p et le dernier chiffre du nombre q.
Complète les tableaux ci-dessous :
dernier chiffre de p
dernier chiffre de p²
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
dernier chiffre de q
dernier chiffre de q²
dernier chiffre de 2×q²
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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111
Séquence 5
3- Si on a : p² = 2q², cela signifie que le dernier chiffre de p² est le même que celui de 2q².
Quelle est la seule possibilité pour le dernier chiffre de p ? Et pour le dernier chiffre de q ?
4- Pourquoi cela est-il impossible ?
On arrive à un résultat contradictoire. Ce qu’on avait supposé au début de l’exercice est donc faux.
Autrement dit :
2 n’est pas un nombre rationnel.
Lis le paragraphe qui suit.
Le coin des curieux
On dit que 2 est un nombre irrationnel (il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction).
Des études ont permis de déterminer des valeurs décimales approchées très précises de 2 .
La calculatrice permet de connaître les 8 premières décimales de 2 .
Le nombre π a également une infinité de décimales et ne peut pas s’écrire sous forme fractionnaire ;
c’est donc également un nombre irrationnel.
Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche
directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les dix questions traitées, reporte-toi aux
corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.
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Séquence 5
JE M’ÉVALUE
1- Parmi les affirmations ci-dessous, lesquelles sont exactes ?
La racine carrée d’un nombre est toujours positive.
On peut calculer la racine carrée de n’importe quel nombre avec la calculatrice.
La racine carrée d’un nombre entier positif est un nombre entier positif.
On peut calculer la racine carrée de certains nombres de tête.
2- Coche les égalités « vraies » :
3- Le nombre (−7)² est égal à :
8=4
( 3)² = 3
–7
7
49
n’existe pas
2² = 4
0 =0
4- Parmi les affirmations ci-dessous, lesquelles sont exactes ?
L’équation : x2 = 9 a deux solutions : 9 et – 9.
L’équation : x2 = 0 a une seule solution : 0.
L’équation : x2 + 1 = 0 n’a pas de solution.
6 est l’unique solution de l’équation : x2 – 6 = 0.
5- L’équation : (x – 8)(x + 8) = 36
a pour solution(s) :
6- Le nombre (3 + 2 5)² est égal à :
29 + 12 5
6 et – 6
8 et – 8
10 et – 10
Il n’y a aucune solution
7- Le nombre 75 est égal à :
19 + 12 5
29
9 + 16 5
8- L’hypoténuse d’un triangle ABC rectangle en
A tel que AB = 4 3 cm et AC = 2 cm
mesure, en cm :
5 3
3 5
25 × 3
25 3
9- Le nombre 162 + 3 72 − 18 est égal à :
3 216
9 2 + 18 2 − 3 2
24 2
6+6 6 −2 3
14
50
5 2
On ne peut pas calculer cette longueur.
3
10- Le nombre
est égal à :
5
3 5
15 5
5
3
3 5
5
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