Devoir surveillé 4 - Classe Preparatoire B/L Henri IV Beziers

Devoir surveillé 4
Lycée Henri IV
KHBL
Vendredi 20 janvier 2017
Le sujet comporte trois exercices qui peuvent être traités dans n’importe quel ordre.
La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une
part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est interdit.
BON COURAGE ! !
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l. garcia
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Exercice 1 : Ulm BL 2012
Soit k > 1 un entier.
On dit qu’une matrice M ∈ Mk (R) est stochastique ( selon les lignes ) si :
∀(i, j) ∈ [[1; k]],
et
k
X
∀i ∈ [[1; k]],
Mi,j > 0
Mi,j = 1
j=1
Dans tout l’exercice les vecteurs de Rk seront identifiés à leurs matrices de coordonnées dans la base canonique
de Rk .
On considère ainsi un vecteur J ∈ Rk dont toutes les coordonnées sont égales à 1 :
 
1
 .. 
J = .
1
Partie A : matrices stochastiques en dimension deux
Soient p et q deux réels dans ]0 ;1[.
On considère dans cette partie la matrice :
P =
p 1−p
q 1−q
1. Montrer que le spectre de P est donné par :
sp(P ) = {p − q, 1}
2. Montrer, par disjonction des cas, que P est toujours diagonalisable.
3. En déduire que toute matrice stochastique d’ordre deux est diagonalisable.
Pour quelles valeurs réelles λ existe-t-il une matrice stochastique M d’ordre deux admettant λ pour valeur
propre ?
Partie B : Propriétés élémentaires des matrices stochastiques
4. Soit M ∈ Mk (R).
Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(a) M est stochastique
(b) M J = J et tous les coefficients de M sont positifs ou nuls.
5. En déduire que si M est stochastique alors pour tout entier n > 1, M n est stochastique.
6. Montrer que si M est stochastique et si λ est une valeur propre de M alors λ 6 1.
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Partie C : Matrices ayant un vecteur propre donné
Soit X ∈ Rk un vecteur non nul.
On note :
EX = {M ∈ Mk (R) : X est un vecteur propre de M }
7. Montrer que EX est un sous-espace vectoriel de Mk (R).
8. On définit l’application :
ϕX :
Mk (R) → Rk
M
7→ M X
Montrer que ϕX est une application linéaire.
9. Déterminer le rang de ϕX .
10. Montrer que :
EX = Ker(ϕX ) ⊕ Vect(Ik )
où Ik désigne la matrice identité d’ordre k.
11. Quelle est la dimension de EX ?
12. Soit B = (e1 , ...ep ) une base du noyau de l’application linéaire :
 k
R
R →
k
P
FX :
 Y 7→ tY X =
Xi Yi
i=1
Déterminer, à l’aide de B, une base de EX .
Partie D : Description de l’ensemble des matrices stochastiques
13. On prend X = J.
Déterminer une base de EJ lorsque k = 2.
14. Déterminer une base de Ej pour k > 2 quelconque.
Comment peut-on décrire l’ensemble des matrices stochastiques ?
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Exercice 2 : HEC BL 2011
La première partie de cet exercice a été posée au DM 14 l’an passé.
Elle est rappelée en italique car le résultat de la question 2.(b) sert à poursuivre l’exercice.
Les questions de cette partie 1. ( questions 1. et 2. ) ne sont pas à refaire ; les traiter ne rapportera
aucun point.
Seules les questions des parties 2. et 3. sont à faire sur votre copie.
Partie 1
(an )n>1 , (Sn )n>1 et (Hn )n>1 définies par :
∀n > 1,
∀n > 1,
Sn =
n
X
1
an = −
n
ak
Z
n+1
n
1
dt
t
∀n > 1,
et
k=1
n
X
1
Hn =
k
k=1
La suite (Hn )n>1 est appelée série harmonique
1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel k non nul, on a :
0 6 ak 6
1
1
−
k k+1
(b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, on a :
0 6 Sn 6 1 −
1
n+1
(c) Montrer que la suite (Sn )n>1 est convergente et que sa limite, notée γ, appartient à [0 ;1].
2. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a :
Sn = Hn − ln(n + 1)
(b) En déduire que la suite (Hn ) diverge et que :
Hn = γ + ln(n) + o(1)
+∞
Partie 2
Sous réserve de convergence, on pose :
Z
I0 =
1
ln(t)dt
0
et pour tout entier k > 1 :
Z
Ik =
1
(1 − t)k ln(t)dt
0
3. (a) Montrer que l’intégrale définissant I0 est convergente et donner sa valeur.
(b) Montrer, par comparaison, que pour tout entier k supérieur ou égal à 1, l’intégrale définissant Ik est
convergente.
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4. (a) Etablir pour tout entier k supérieur ou égal à 1 la relation :
Z 1
t(1 − t)k−1 ln(t)dt
Ik = Ik−1 −
0
(b) A l’aide d’une intégration par parties dont on justifiera la validité montrer que l’on a :
Z 1
Ik
1
t(1 − t)k−1 ln(t)dt =
+
k
k(k + 1)
0
(c) Déduire des deux précédentes relations, en les sommant convenablement, que pour tout entier naturel
n on a :
n+1
X1
(n + 1)In = −
k
k=1
t
5. (a) Etablir, à l’aide du changement de variables x = dont on prouvera la validité, que pour tout entier
n
naturel n non nul on a l’égalité suivante :
Z
1 n
t n
ln(n)
ln(t) 1 −
dt = In +
n 0
n
n+1
(b) En déduire la valeur de :
1
n→+∞ n
n
Z
lim
0
t n
ln(t) 1 −
dt
n
Partie 3 - extrait
Sous réserve de convergence on note :
1
Z
ln2 (t)dt
J0 =
0
et pour tout entier k > 1 :
Z
Jk =
1
(1 − t)k ln2 (t)dt
0
6. (a) Montrer que l’intégrale définissant J0 est convergente et donner sa valeur.
(b) Montrer, par comparaison, que pour tout entier k supérieur ou égal à 1, l’intégrale définissant Jk est
convergente.
7. (a) Etablir pour tout entier k supérieur ou égal à 1 la relation suivante :
Z 1
Jk = Jk−1 −
t(1 − t)k−1 ln2 (t)dt
0
(b) Montrer que pour tout entier naturel k non nul la relation suivante :
(k + 1)Jk − kJk−1 = −2Ik
(c) En déduire, pour tout entier n > 0, les égalités suivantes :
Jn
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=
1
n+1
2
n+1
k
XX
k=1 i=1
1
ki
5

!
=
1 
n+1
n+1
X
k=1
1
k
!2
+
n+1
X
k=1

1
k2
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Exercice 3 : ECRICOME BL 2007
On s’intéresse dans cet exercice à l’évolution d’une bactérie qui se comporte dans un certain milieu de la manière
suivante :
A l’issue d’un laps de temps T la bactérie se divise en deux bactéries identiques avec la probabilité p ∈]1/2; 1[,
sinon elle meurt avec la probabilité 1 − p.
Dans le cas où elle se divise les deux bactéries obtenues se comportent à leur tour de façon identique à la
précédente.
On se propose d’étudier la variable aléatoire Xn égale au nombre de bactéries présentes dans le milieu à l’issue
de n laps de temps T ( n étant un entier naturel non nul ).
Partie 1 : Fonction génératrice
Pour toute variable aléatoire discrète X de support fini X(Ω) ⊂ [[0; n]], (n ∈ N∗ ), on appelle fonction génératrice
de X, que l’on note GX , l’application qui associe, à tout réel x, l’espérance E xX qui est donnée, par le
théorème de transfert, par :
n
X
P(X = k)xk
GX (x) = E xX =
k=0
1. (a) Montrer que l’expression de la fonction génératrice d’une variable X qui suit une loi binomiale B(n; p)
est :
GX (x) = (px + 1 − p)n
(b) Déterminer la fonction génératrice quand la loi suivie est la loi uniforme U([[1; n]]).
2. Montrer que pour tout entier naturel p 6 n on a :
(p)
GX (x)
=
n
X
k=p
k!
P(X = k)xk−p
(k − p)!
3. En déduire que si deux variables entières X et Y , définies sur même espace probabilisé, ont la même
fonction génératrice alors elles ont la même loi.
4. Montrer que l’espérance de X est égale à : G0X (1).
5. Montrer que la variance de X est égale à : G00X (1) + G0X (1) − (G0X (1))2 .
6. Retrouver, à l’aide de la fonction génératrice obtenue à la question 1., l’espérance et la variance de la loi
binomiale.
Partie 2 : Etude de la variable Xn
7. Montrer que la variable X1 prend deux valeurs, et que X2 en prend trois.
Déterminer leurs lois et vérifier que :
E(X2 ) = 4p2
8. Montrer par récurrence sur l’entier n que :
Xn (Ω) = {0, 2, 4, 6, ..., 2n } = {2k : k ∈ [[0; 2n−1 ]]}
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9. Pour tout entier i appartenant à Xn (Ω) montrer que la loi de la variable Xn+1 conditionnée par l’évènement
[Xn = i] est donnée par :
i k
P(Xn+1 = 2k|Xn = i) =
p (1 − p)i−k , ∀k ∈ [[0; i]]
k
et
∀k > i
P(Xn+1 = 2k|Xn = i) = 0,
10. Prouver que, pour tout réel x :
GX1 (x) = 1 − p + px2
Puis, en utilisant le SCE ([Xn = i])i∈Xn (Ω) et la formule des probabilités totales, montrer que pour tout
réel x et tout n ∈ N∗ :
GXn+1 (x) = GXn (1 − p + px2 )
11. Déduire de la question précédente et de la question 4. que le suite (E(Xn ))n∈N∗ est géométrique et
déterminer E(Xn ) en fonction de p et n.
Partie 3 : Extinction de la population de bactéries
On note Zn la variable de Bernoulli égale à 1 si le milieu ne contient plus de bactéries à l’issue du n-ième
laps de temps T , et 0 sinon.
On se propose d’étudier la convergence des lois de probabilités de la suite de variables (Zn )n∈N∗ .
12. (a) Montrer par récurrence sur l’entier n non nul que :
∀x ∈ R,
GXn (x) = GX1 ◦ GX1 ◦ ... ◦ GX1 (x)
{z
}
|
n fois
(b) En déduire que pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x :
GXn+1 (x) = (GX1 ◦ GXn )(x) = 1 − p + p(GXn (x))2
(c) Puis montrer que pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x :
1−p
GXn+1 (x) − GXn (x) = p [1 − GXn (x)]
− GXn (x)
p
1−p
13. (a) Lorsque x ∈ 0;
, montrer par récurrence sur l’entier n non nul que :
p
0 6 GXn (x) 6
1−p
p
1−p
la suite (GXn (x))n∈N∗ est croissante, puis convergente vers
(b) En déduire que pour tout x ∈ 0;
p
un réel que l’on déterminera.
14. Déduire des précédentes questions que les suites (P(Zn = 0))n∈N∗ et (P(Zn = 1))n∈N∗ convergent.
Que peut-on en déduire sur l’extinction de la population de bactéries ?
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