Fête des mathématiques 2015

Fête des mathématiques
Nouveau-Brunswick francophone, le 17 février 2015
Le thème pour 2015 : la cryptographie, ou l’art de coder et
décoder.
L’algèbre modulaire et les nombres premiers font partie des mathématiques
utilisées dans la cryptographie moderne, notamment dans les systèmes qui
assurent la protection des données sur internet. Ces sujets s’ajoutent donc au
thème de 2015.
A. Cryptographie : La cryptographie est la science du codage. Ses activités
principales sont la création de codes (trouver une méthode de codage pour
écrire des messages secrets) et le décodage (essayer de déchiffrer les
messages secrets).
Un des codes les plus anciens était le code de Jules César, dans lequel chaque
lettre était simplement décalée de trois positions dans l’alphabet (Le A est
remplacé par le D, le B est remplacé par le E et ainsi de suite jusqu’à la fin de
l’alphabet. Les trois dernières lettres sont remplacées par les trois premières, le X
par le A, le Y par le B et le Z par le C).
Code de César
1 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
2 D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
Ligne 1 : l’alphabet normal
Ligne 2 : l’alphabet modifié (le A est devenu le D, le B est devenu le E…)
Par exemple pour envoyer le message « Veni Vidi Vinci » Jules César aurait écrit
« Yhql Ylgl Ylqfl »
Jules César était un général et homme politique romain important qui vivait
dans le 1er siècle avant Jésus-Christ. La langue de Rome à l’époque était le latin
et « Veni Vidi Vinci » est une phrase latine qui signifie « Je suis venu. J’ai vu. J’ai
vaincu.»
Exercice 1 : Codez le message suivant en utilisant le code de César
« J’arrive demain »
Exercice 2 : Le message ci-dessous a été codé en utilisant le code de Jules César
« Lov vrqw fxlwv »
Décodez-le.
Activité de groupe en classe : Inspirez-vous du code de Jules César pour créer un
nouveau code et formez deux groupes, un qui écrit
des messages secrets, l’autre qui décode les
messages secrets.
Pour les plus vieux, l’activité peut être
complexifiée : le second groupe ne connait pas le
code, il sait seulement que c’est inspiré du code de
César (un déplacement des lettres de l’alphabet)
et il doit trouver le code et décoder les messages.
Coder avec un mot clé ou une phrase clé
Le désavantage du code Jules César dans lequel les lettres sont décalées est qu’il
n’existe que 25 possibilités de décalage. Ainsi, si le messager est intercepté, il
suffit d’essayer toutes les possibilités pour décoder le contenu du message. Pour
complexifier le décodage, l’idée est venu d’avoir un mot clé ou une phrase clé
secrète. Par exemple, pour utiliser JULIUS CEASAR comme phrase clé, on
commence par enlever les espaces et les lettres répétitives ( il reste JULISCAER).
La clé consiste à placer au début de l’alphabet le texte de la phrase clé et ensuite
de continuer l’alphabet là où on est rendu. On commençant donc avec JULISCAER.
On s’assure ensuite de ne pas réutiliser les lettres de la phrase secrète et à la fin
de l’alphabet, on recommence au début. On obtient ainsi :
Le code avec la phrase clé Julius Ceasar (code JULIUS CEASAR)
1 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
2 J U L I S C A E R T V W X Y Z B D F G H K M N O P Q
Ligne 1 : l’alphabet normal
Ligne 2 : l’alphabet modifié (le a est devenu le J, le b est devenu le U, …)
Exercice 3 : Codez le message suivant en utilisant le code obtenu avec le code
JULIUS CEASAR.
« demain dix heures »
Exercice 4 : Le message ci-dessous a été codé en utilisant le code JULIUS CEASAR.
Décodez-le.
« BZFHS GKI ZYQS ESKFSG »
Activité en groupes de 2 :
Inventer un mot clé ou une phrase clé secrète et créer un nouveau code. En
équipe de deux, chacun écrit un message secret et l’autre le décode.
Pour complexifier le décodage, ne pas donner la clé au partenaire.
B. Les nombres premiers : Les diviseurs propres d’un nombre sont les
diviseurs de ce nombre sauf 1 et le nombre lui-même. Par exemple, les
diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6. Les diviseurs propres de 6 sont 2 et 3. Les
diviseurs propres de 10 sont 2 et 5. Le nombre 7 n’a pas de diviseurs
propres, ses seuls diviseurs étant 1 et 7. Un nombre premier est un nombre
entier positif plus grand que 1 et qui n’a pas de diviseurs propres.
Autrement dit, un nombre premier ne se divise que par 1 et par lui-même et
1 n’est pas un nombre premier (tous les nombres premiers ont deux
diviseurs positifs, 1 n’y en a qu’un. Tous les autres nombres en ont au
moins trois. Donc les nombres premiers sont ceux qui ont exactement deux
diviseurs positifs distincts)
Les 10 premiers nombres premiers sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Le crible d’Érathostène
Pour trouver dans une liste de nombre quels sont les nombres premiers, le
mathématicien grec Érathostène (qui vivait dans le 3e siècle avant Jésus
Christ) a inventé une méthode qui s’appelle le crible d’Érathostène.
Supposons qu’il veut connaitre tous les nombres premiers inférieurs à un
nombre n. Il fait la liste de tous les nombres premiers dont le carré est plus
petit ou égal à n.
a. Il commence en barrant le nombre 1 dans la liste.
b. Puis en prenant ces nombres premiers un par un dans la liste, en
commençant par le plus petit et en montant, il barre les multiples de ces
nombres, mais pas ces nombres eux-mêmes..
Ainsi il barre d’abord les multiples de 2 (4, 6, 8…),
Ensuite il barre les multiples de 3 plus grands que 3 qui ne sont pas déjà
barrés (9, 15, 21…).
Puis il continue avec les autres nombres premiers de sa liste. Quand il a fini,
les nombres premiers sont ceux qui ne sont pas barrés.
Par exemple, supposons qu’on veut trouver les nombres premiers de 1 à 50.
Le plus grand nombre premier dont le carré ne dépasse pas 50 est 7 (72 =
49). Sa liste de nombres premiers est donc 2, 3, 5 et 7.
Il barre d’abord le 1.
Ensuite il barre les multiples de 2 plus grands que 2 : (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,
18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50)
Ensuite il barre les multiples de 3, plus grands que 3, qui ne sont pas déjà
barrés : (9, 15, 21, 27, 33, 39, 45)
Ensuite il barre les multiples de 5, plus grands que 5, qui ne sont pas déjà
barrés : (25, 35)
Finalement il barre les multiples de 7, plus grands que 7, qui ne sont pas
déjà barrés : (49)
Les nombres qui restent (les nombres non noircis dans le tableau cidessous) sont les nombres premiers entre 1 et 50
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Les nombres premiers plus petits ou égaux à 50 sont donc :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Il y en a quinze.
Exercice 5 : Combien y a-t-il de nombres premiers plus petits que 100? Faites-en
la liste en utilisant le crible d’Érathostène.
Exercice 5 : Combien y a-t-il de nombres premiers plus petits que 1000? Faites-en
la liste en utilisant le crible d’Érathostène.
Activité de groupe en classe, pour les plus vieux qui connaissent la
programmation :
Fabriquer un programme informatique qui va dire si un nombre donné (par
exemple entre 1 et 1 000 000) est premier.
C. L’algèbre modulaire : L’algèbre modulaire est une méthode de calcul qui
s’intéresse aux restes de la division par un nombre donné (par exemple si on
s’intéresse aux restes de la division par 7 on dira que l’on travaille modulo 7).
On écrira par exemple que 17 modulo 7 est égal à 3, car si on divise 17 par
7, ça nous donne 2 reste 3. On ne s’intéresse pas au quotient, seulement au
reste.
Un autre exemple simple : 27 modulo 5 est égal à 2. En effet, 27 divisé par 5
est égal à 5 reste 2.
D’autres exemples simples que vous pouvez vérifier :
18 modulo 4 = 2
21 modulo 6 = 3
31 modulo 10 = 1
9 modulo 4 = 1
Les heures sur une horloge à 24 heures sont un exemple de calcul modulo
24. Par exemple s’il est maintenant 17 h et qu’on demande quelle heure sera-t-il
dans 12 heures, la réponse n’est pas 29 h (29 = 17 + 12) mais bien 5 h. En effet, si
on divise 29 par 24, la réponse est 1 reste 5. Donc 29 modulo 24 est égal à 5
puisqu’on s’intéresse au reste de la division par 24.
Sur la même horloge à 24 heures, s’il est maintenant 17 h, quelle heure
sera-t-il dans 100 heures? Pour trouver la réponse, on cherche 117 modulo 24
(117 = 17 + 100). Pour trouver 117 modulo 24 on doit diviser 117 par 24 et ne
retenir que le reste. Puisque 117 divisé par 24 est égal à 4 reste 21 (4 x 24 = 96,
96 + 21 = 117), on sait que 117 modulo 24 est égal à 21. Donc s’il est 17 h
maintenant, dans 100 heures il sera 21 h.
On pourrait également travailler avec une horloge à 12 heures en travaillant
modulo 12. Par exemple s’il est 10 h maintenant, quelle heure sera-t-il dans 30
heures? Puisque 30 + 10 = 40, on doit calculer 40 modulo 12. Puisque 40 divisé
par 12 donne 3 reste 4, dans 30 heures il sera 4 h.
Exercice 7 : trouver les valeurs suivantes :
26 modulo 5
15 modulo 2
153 modulo 5
17 modulo 3
20 modulo 3
3456 modulo 10
14 modulo 7
14 modulo 5
2436 modulo 2
25 modulo 7
33 modulo 7
1234 modulo 11
Exercice 8 : Sur une horloge à 12 heures, il est maintenant 3 h 30. Quelle heure
sera-t-il dans 41 heures et 15 minutes?
Exercice 9 : En numérotant les jours (dimanche = 1, lundi = 2, mardi = 3,
mercredi = 4, jeudi = 5, vendredi = 6, samedi = 7) on peut savoir quel
jour sera un jour donné si on calcule modulo 7. Si on est aujourd’hui
mercredi, quel jour serons-nous dans 100 jours?
Pour certains nombres on peut trouver les modulos rapidement sans avoir à
diviser. Par exemple pour travailler modulo 2 il suffit de regarder si un nombre est
pair ou impair. Tous les nombres pairs donnent 0 modulo 2 (exemple 46 modulo 2
= 0), puisque lorsqu’on divise un nombre pair par 2 le reste est toujours 0. Tous
les nombres impairs modulo 2 donnent 1 (exemple 37 modulo 2 = 1) puisque la
division d’un nombre impair par 1 donnera toujours un reste égal à 1.
Exercice 10 :
Trouvez une méthode pour calculer modulo 10 sans avoir
à diviser.
Exercice 11 :
Trouvez une méthode pour calculer modulo 5 sans avoir
à diviser.
Exercice 12 : Trouvez une méthode pour calculer modulo 3 sans avoir
à diviser.
D La méthode RSA : La méthode RSA est ainsi nommée en l’honneur de ses
trois inventeurs (Ronald Rivest, Adi Shamir, Léonard Adleman). C’est un procédé
de cryptographie très utilisé sur internet, notamment pour les transactions
commerciales qui demandent le secret (protéger le numéro de votre carte de
crédit par exemple). Savoir utiliser cette méthode est facile et ne nécessite que la
compréhension de l’algèbre modulaire et des nombres premiers.
La sécurité de la méthode est basée sur les deux faits suivants :
1. Il est facile aujourd’hui pour un ordinateur de fabriquer de très grands
nombres premiers (par exemple un nombre premier à 150 chiffres)
2. Il est très difficile, voire impossible (calculs extrêmement longs) à un
ordinateur de mettre en facteur un nombre obtenu en multipliant deux très
grands nombres premiers (par exemple un nombre de 300 chiffres obtenu
en multipliant deux nombres premiers de 150 chiffres).
Les gens qui écrivent des messages avec cette méthode utilisent une clé
publique (produit à partir d’un très grand nombre obtenu en multipliant des
nombres premiers). Ceux qui doivent déchiffrer le message possèdent la clé
privée (les facteurs premiers de la clé publique, impossible à trouver). Si on
arrête un agent qui envoie des messages, il ne connait que la clé publique qui
ne sert qu’à coder, elle est inutile pour décoder.
Méthode RSA : Voici comment on procède. Il faut des outils de calculs (un
ordinateur par exemple, ou une bonne calculatrice. Cela ne se fait pas à la main).
1. On se donne un code numérique pour les lettres de l’alphabet (éventuellement
pour les chiffres aussi et pour d’autres symboles, dont la ponctuation. Nous ne
regarderons que l’alphabet ici).
a
1
b
2
c
3
d
4
e
5
f
6
g
7
h
8
i
9
j
10
k
11
l
12
m
13
n
14
o
15
p
16
q
17
r
18
s
19
t
20
u
21
v
22
w
23
x
24
y
25
z
26
2. Supposons que le message à envoyer est la lettre « o »
Chaque message écrit est transformé en chiffre avec la correspondance donnée
par le tableau ci-dessus (la lettre « o » devient le chiffre « 15 ». On procède lettre
par lettre. Dans notre cas le message chiffré est le chiffre « 15 ».
3. On trouve ensuite les clés (on fabrique deux grands nombres premiers, P et Q,
qui resteront secrets). Prenons ici P = 3 et Q = 11
4. On calcule N = PQ (N est une clé publique). Ici N = 33
5. On calcule le nombre M = (P-1)(Q-1). Ici M = 2x10 = 20.
6. On choisit un nombre qui n’a pas de facteurs premiers communs avec M.
Ici e = 3 fait l’affaire, puisque les facteurs premiers de 20 sont 2 et 5 (différents de
3). Le nombre e est la clé de chiffrement (e et N permettent de coder).
7. On trouve un nombre d tel que e x d modulo M = 1.
Ici d = 7 fait l’affaire, car 3 x 7 = 21 et 21 modulo 20 = 1.
Le nombre d est la clé de décodage. On ne peut pas trouver d si on connait N et e
(les clés publiques). Pour trouver d, il faut aussi connaître P et Q (les clés secrètes).
8. Pour coder : Si M est le message chiffré, on calcule C = Me modulo N
Ici on calcule C = 153 modulo 33. Donc C = 9 (153 = 102 x 33 + 9).
Le message codé chiffré est « 9 »
9. Pour décoder on calcule Cd modulo N. En raison de résultats importants de la
théorie des nombres, on a que M = Cd.
Ici, on calcule 97 modulo 33. On vérifie bien que 97 modulo 33 = 4782969 modulo
33 = (144938 x 33 + 15) modulo 33 = 15.
Donc le message décodé est le chiffre « 15 ».
10. On vérifie que le chiffre 15 correspond à la lettre « o ». Le message décodé
est donc la lettre « o ».
Exercice 13 : Utiliser le système RSA pour coder et décoder le message « DEF » en
utilisant les clés utilisées ci-haut (P = 3, Q = 11, N = 33, M = 20, e = 3 et d = 7).
Exercice 14: Vérifier que si P = 5 et Q = 7, alors e = 5 et d = 5 (d = e) font de
bonnes clés pour le chiffrement (e = 5) et pour le décodage (d = 5). Avec ces
nouvelles valeurs pour P, Q, N, M, e et d; codez et décodez le message « DEF »
Noter qu’avec P = 5 et Q = 7 les clés de codage et de décodage sont identiques, ce
qui n’est pas très efficace pour le secret. Trouvez deux nombres premiers impairs
P et Q pas trop grands, pour lesquels vous pouvez trouver deux clés de codage et
de décodage (e et d) qui sont distinctes. Avec ces nouvelles clés codez et décodez
le message « DEF »
Problèmes supplémentaires
Exercice de groupe : Utilisez le code d’alphabet inversé pour coder et décoder des
messages (une équipe code, l’autre décode). Dans ce code, l’alphabet modifié est
tout simplement l’alphabet normal à l’envers.
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
z y x w v u t s r q p o n m l k j i h g f e d c b a
Ainsi le mot « oui » codé avec l’alphabet inversé devient le mot « lfr »
Exercice 15 : Certains nombres premiers sont des nombres impairs consécutifs.
Par exemple 11 et 13 sont des nombres impairs consécutifs. Deux nombres
premiers qui sont des impairs consécutifs sont dits des nombres premiers
jumeaux. Trouvez toutes les paires de nombres premiers jumeaux qui sont
inférieurs à 100. Vérifier que le nombre 5 est le seul qui ait deux jumeaux
distincts.
Exercice 16 : En mathématique une conjecture est un résultat qui semble vrai,
mais qui n’a jamais été démontré. Par exemple la conjecture de Goldbach (un
mathématicien du 17e siècle) dit que tous les nombres pairs, à partir de 4, peuvent
s’écrire comme une somme de deux nombres premiers (pas forcément distincts,
possiblement de plus d’une manière).
Par exemple :
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10 = 3 + 7 = 5 + 5 (deux manières).
Vérifiez la conjecture pour tous les nombres pairs jusqu`à 20. Jusqu’à 50.
Jusqu’à 100
Exercice 17 : Quand on calcule un produit de deux entiers modulo un certain
nombre entier, on peut faire le produit d’abord et calculer le modulo ensuite, ou
encore on peut faire le modulo de chaque facteur et faire le produit ensuite des
modulos. Par exemple si on veut calculer 7 x 12 modulo 5, on peut
a) Calculer 7 x 12 = 84 et ensuite calculer 84 modulo 5 = 4
b) Calculer 7 modulo 5 = 2 et 12 modulo 5 = 2
puis ensuite calculer 2 x 2 modulo 5 = 4.
Dans les deux cas, on obtient le même résultat (4).
Calculez (27 x 31) modulo 4 sans faire le produit 27 x 31
Calculez (427 x 531) modulo 5 sans calculer le produit 427 x 531
Calculez (234567 x 3245678) modulo 5
Réponses :
1)
2)
3)
4)
5)
M’DUULYH GHPDLQ
6)
Il y a 168 nombres premiers inférieurs à 1000.
La liste peut être trouvée sur internet.
7)
26 mod 5 = 1
17 mod 3 = 2
14 mod 7 = 0
25 mod 7 = 4
8)
9)
10)
8 h 45
11)
Si le dernier chiffre est plus petit que 5, c’est le dernier chiffre. Sinon c’est le
dernier chiffre moins 5.
exemple : 2343 mod 5 = 3
exemple : 445 mod 5 = 0 (0 = 5 – 5)
12)
Le nombre mod 3 est égal à la somme de ses chiffres mod 3. Au besoin on répète
la somme des chiffres.
exemple : 7568 mod 3 = (7 + 5 + 6 + 8) mod 3 = 26 mod 3 = (2 + 6) mod 3
= 8 mod 3 = 2
13)
14)
D E F en chiffres est 4 5 6, Une fois codé c’est 31 26 18
15)
3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31, 41 et 43, 59 et 61, 71 et 73
ILS SONT CUITS
ISXJRY IRO ESKFSG
PORTE SUD ONZE HEURES
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100
15 mod 2 = 1
20 mod 3 = 2
14 mod 5 = 4
33 mod 7 = 5
153 mod 5 = 3
3456 mod 10 = 6
2436 mod 2 = 0
1234 mod 11 = 2
Vendredi
C’est le dernier chiffre du nombre
Exemple 2345676543 mod 10 = 3
Si P = 5 et Q = 7, alors (P-1) x (Q-1) = 4 x 6 = 24. Les facteurs premiers de 24 sont
2 et 3, donc 5 n’a pas de facteurs communs avec 25. 5 x 5 = 25 et 25 mod 24 = 1.
D E F en chiffres est 4 5 6. Une fois codé c’est 9 10 6.
16)
De 12 à 50. Une manière par nombre. Il y a plusieurs autres manières.
12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11, 18 = 7 + 11, 20 = 3 + 17, 22 = 5 + 17,
24 = 5 + 19, 26 = 3 + 23, 28 = 5 + 23, 30 = 13 + 17, 32 = 13 + 19, 34 = 17 + 17,
36 = 5 + 31, 38 = 19 + 19, 40 = 3 + 37, 42 = 5 + 37, 44 = 3 + 41, 46 = 5 + 41,
48 = 19 + 29, 50 = 19 + 31
17)
(27 x 31) mod 4 = (3 x 3) mod 4 = 1
(427 x 531) mod 5 = (2 x 1) mod 5 = 2
(234567 x 3245678) mod 5 = (2 x 3) mod 5 = 1