Cours Triangle rectangle et trigonométrie _prof

TRIANGLE RECTANGLE ET TRIGONOMETRIE
I) Triangle rectangle :
1) Triangle rectangle et cercle circonscrit :
a) Propriété 1 :
Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans le cercle de
diamètre son hypoténuse.
A
C
B
Le triangle ABC est rectangle en A donc A est sur le cercle de
diamètre [BC].
Réciproque :
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un
de ses côtés alors ce triangle est rectangle .
A
C
B
A est sur le cercle de diamètre [BC] donc le triangle ABC est
rectangle en A.
1
b) Propriété 2 :
Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane
relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de
l’hypoténuse.
A
C
B
I
1
Le triangle ABC est rectangle en A donc AI = BC , avec I milieu
2
de [BC].
Réciproque :
Si , dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté
est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est
rectangle.
A
C
B
I
1
AI = BC , avec I milieu de [BC] donc le triangle ABC est
2
rectangle en A.
2
2) Théorème de Pythagore :
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des
autres côtés.
A
C
B
Le triangle ABC est rectangle en B donc AC2 = AB2 + BC2 .
Réciproque :
Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est
égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés,
alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse le plus grand
côté.
A
C
B
AB2 + BC2 = AC2 donc le triangle ABC est rectangle en B.
3) Exemple :
a) Soit ABC un triangle tel que le point A soit sur le cercle de
diamètre [BC]. Le point I est le milieu de [BC].
On donne BC = 8 cm et AB = 5 cm.
1) Construire le triangle ABC.
2) Calculer la distance AI.
3) Calculer la distance AC.
3
b) Soit MNP un triangle tel que MN = 6 cm, MP = 8 cm et
NP = 10 cm.
1) Construire le triangle MNP.
2) Quelle est la nature du triangle MNP ? Justifier.
3) Où se situe le point A ? Justifier.
II) Trigonométrie :
1) Cosinus d’un angle aigu :
a) Définition:
Soit ABC un triangle rectangle en A. On appelle cosinus de
෢ , le quotient de la longueur du côté adjacent à
l’angle ABC
෢ par la longueur de l’hypoténuse.
l’angle ABC
C
hypoténuse
B
A
côté adjacent
෢ =
cos ABC
coté adjacent
AB
=
hypoténuse
BC
b) Exemples :
1) Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AB = 4 cm et
෢ = 60° .
ABC
a) Construire le triangle ABC.
b) Calculer la distance BC.
c) En déduire la distance AC.
2) Soit GHI un triangle rectangle en I, tel que GH = 7 cm et
GI = 3 cm.
a) Construire le triangle GHI.
b) Calculer la distance HI.
෢.
c) En déduire une mesure de l’angle GHI
(on donnera l’arrondi au dixième)
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2) Sinus d’un angle aigu :
a) Activité:
b) Définition:
Soit ABC un triangle rectangle en A. On appelle sinus de
෢ , le quotient de la longueur du côté opposé à
l’angle ABC
෢ par la longueur de l’hypoténuse.
l’angle ABC
C
hypoténuse
côté opposé
B
A
෢ =
sin ABC
côté opposé
AC
=
hypoténuse
BC
c) Remarque:
C
hypoténuse
B
A
côté opposé
෢ =
sin ACB
AB
côté opposé
=
hypoténuse
BC
d) Exemple:
Soit MNP un triangle rectangle en M tel que MN = 3 cm et
NP = 6 cm.
1) Construire le triangle MNP.
෣.
2) Calculer le sinus de l’angle MPN
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e) Calcul d’une longueur à l’aide du sinus d’un angle aigu:
Connaissant la mesure d’un angle aigu et la longueur de
l’hypoténuse ou du côté opposé à cet angle, on peut calculer
la longueur des autres côtés.
Exemple :
෣ = 30° et
Soit KLM un triangle rectangle en M tel que LKM
LM = 3,5 cm.
a) Construire le triangle KLM.
b) Calculer LK et KM.
f) Calcul de la mesure d’un angle connaissant son sinus:
Pour calculer la mesure d’un angle connaissant le sinus de cet
-1
angle, on utilise la touche de la calculatrice : sin , arcsinus (asn).
La calculatrice doit-être en degré.
Exemple 1:
෢ tel que :
Calculer une mesure de l’angle BAC
(on donnera l’arrondi au degré)
෢ = 1
1) sin BAC
3
෢ = 7
2) sin BAC
11
෢ = 8
3) sin BAC
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Exemple 2:
Soit RST un triangle rectangle en T tel que ST = 4 cm et
RS = 8,5 cm.
a) Construire le triangle RST.
෢.
b) Calculer une mesure de l’angle SRT
(On donnera l’arrondi au degré).
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3) Tangente d’un angle aigu :
a) Activité:
b) Définition:
Soit ABC un triangle rectangle en A. On appelle tangente de
෢ , le quotient de la longueur du côté opposé à
l’angle ABC
෢ par la longueur du côté adjacent à l’angle ABC
෢ .
l’angle ABC
C
côté opposé
B
A
côté adjacent
෢ =
tan ABC
côté opposé
AC
=
côté adjacent
AB
c) Remarque:
C
côté adjacent
B
A
côté opposé
෢ =
tan ACB
côté opposé
AB
=
côté adjacent
AC
d) Exemple:
Soit MNP un triangle rectangle en M tel que MN = 2 cm et
MP = 5 cm.
1) Construire le triangle MNP.
෣.
2) Calculer le tangente de l’angle MNP
෣.
3) Calculer le tangente de l’angle MPN
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e) Calcul d’une longueur à l’aide de le tangente d’un angle aigu:
Connaissant la mesure d’un angle aigu et la longueur du côté
adjacent ou du côté opposé à cet angle, on peut calculer
la longueur des autres côtés.
Exemple :
෣ = 60° et
Soit KLM un triangle rectangle en M tel que LKM
KM = 3,5 cm.
a) Construire le triangle KLM.
b) Calculer LM et LK.(on donnera l’arrondi au dixième)
f) Calcul de la mesure d’un angle connaissant sa tangente:
Pour calculer la mesure d’un angle connaissant la tangente de cet
-1
angle, on utilise la touche de la calculatrice : tan , arctangente
(atn).
La calculatrice doit-être en degré.
Exemple 1:
෢ tel que :
Calculer une mesure de l’angle BAC
(on donnera l’arrondi au degré)
෢ = 3
1) tan BAC
4
෢
4) tan BAC = 1
෢ =2
2) tan BAC
෢ = 3,5
3) tan BAC
Exemple 2:
Soit RST un triangle rectangle en T tel que ST = 3 cm et
RT = 7 cm.
a) Construire le triangle RST.
෢.
b) Calculer une mesure de l’angle RST
( On donner l’arrondi au degré).
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4) Relations entre cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu :
෡ + sinଶ A
෡:
a) cos ଶ A
Propriété :
෡
Pour tout angle aigu A
෡ ൯ଶ + ൫sin A
෡ ൯ଶ = 1
൫cos A
෡ + sinଶ A
෡=1
ou cos ଶ A
Démonstration:
෡:
b) tan A
෡
Pour tout angle aigu A
෡
෡ = ୱ୧୬ ୅
tan A
෡
ୡ୭ୱ ୅
c) Remarque :
෡,
Pout tout angle aigu A
෡ , sin A
෡ et tan A
෡ sont positifs.
cos A
d) Exemple :
෡ et tan B
෡ sachant que B
෡ est un
Calculer la valeur exacte de cos B
෡= 5 .
angle aigu tel que sin B
13
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