Mathématiques - Collège Notre-Dame

Mathématiques
3ème
Collège Notre Dame – BAUGE
Sommaire
1. Arithmétique
2. Calcul littéral
3. Théorème de Thalès et sa réciproque
4. Sphère et Boule
5. Probabilités
6. Trigonométrie
7. Racine carrée
8. Notion de fonction
9. Géométrie dans l’espace
10.Equations produit
11.Agrandissement et réduction
12.Angles inscrits et polygones réguliers
13.Statistiques
14.Fonctions linéaires et affines
15.Inéquations
16.Systèmes d’équations
17.Représentations graphiques des fonctions-fonctions linéaires-fonctions affines
Arithmétique
1. Diviseur et multiple
Le nombre a est divisible par le nombre b lorsqu’il existe un nombre entier n
non nul tel que :
a=bxn
On dit aussi que a est ……………………………... de b.
Exemple : On a 56 = 7x8
Donc 56 est ………………………………de ….
7 est ……………………………….de 56
7 ……………………………………56
2. Diviseurs communs
Si deux nombres entiers a et b sont divisibles par le même entier n non nul,
alors le nombre n est un diviseur commun aux deux nombres a et b.
Exemple :
24 est divisible par …………………………………………
16 est divisible par ……………………………………….
Les diviseurs communs à 16 et 24 sont donc …………………………..
3. Plus grand diviseur commun ( PGCD)
Dans la liste des diviseurs communs à deux nombres entiers a et b,
il en existe un plus grand que tous les autres.
Ce Plus Grand Commun Diviseur aux deux nombres a et b se note ……………….
Exemple :
Les diviseurs de 24 sont :…………………………………………….
Les diviseurs de 36 sont :………………………………………………..
Donc PGCD(24 ;36)= …………….
4. Nombre premier
Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs (1 et
lui-même) est un nombre premier.
Exemple : 2,3,5,7,11,13 sont des nombres premiers.
9 admet trois diviseurs : 1,3 et 9 donc 9 n’est pas premier.
5. Nombres premiers entre eux
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque
………. est leur seul diviseur commun.
Si le PGCD de deux nombres est 1, alors les deux nombres
sont premiers entre eux.
Exemple : 15 a pour diviseurs :……………………………
28 a pour diviseurs : ………………………………
Le PGCD de 15 et 28 est donc ……………. ; les deux
nombres sont premiers entre eux.
6.
Fractions irréductibles
On dit qu’une fraction est ……………………….. lorsque elle
ne peut plus être simplifiée.
Propriété : Une fraction est irréductible lorsque son
numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Soit a et b deux nombres entiers avec b non nul.
Si a et b sont deux nombres premiers entre eux alors la
a
fraction est irréductible.
b
Exemple :
Propriété :
Si on simplifie une fraction par le PGCD du numérateur et du
dénominateur
alors on obtient une fraction irréductible.
Exemple : Le PGCD de 84 et 56 est ………… donc
84
= …………………..
56
Calcul littéral
I. DEVELOPPEMENT.
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence).
a. Distributivité simple :
k(a + b) = ka + kb
k(a – b) = ka – kb
Exemples :
A=
–
B=
–
A=
B=
b. Double distributivité:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemples :
B=
B=
B=
–
–
D=(
D=
D=
c. Identités remarquables.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Exemple :
A = ( + 3)²
A=
A=
(a + b)(a – b)² = a² – b²
Exemple :
A = (3 – 5)²
A=
A=
Exemple :
A = (7 + 4)(7 – 4)
A=
A=
II. FACTORISATION.
Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
a. Par recherche d’un facteur commun :
ka + kb = k(a + b)
ka – kb = k(a – b)
k est le facteur commun
Exemples :
A = ( + 1)( + 2) – 5( + 2)
A=
A=
A=
b. En utilisant une identité remarquable :
Exemples:
C= ²+6 +9
D = 4 ² – 12 + 9
C=
D=
C=
D=
B = (2 + 1)² + (2 + 1)( + 3).
B=
B=
B=
E = ( + 5)² – 4
E=
E=
E=
Théorème de Thalès et sa réciproque
1. Théorème de Thalès
Propriété :
Etant données deux droites d et d’ sécantes en A,
deux points B et M de d, distincts de A,
deux points C et N de d’, distincts de A,
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a : AM = AN = MN
AB AC BC
Il y a trois configurations possibles :
(d')
(d)
(d')
A
(d')
(d)
(d)
N
A
M
M
A
C
N
B
B
N
C
 M[AB] et N[AC]
B
C
M
 M[BA) et M[AB]
 N[CA) et N[AC]
 M[AB) et M[AB]
 N[AC) et N[AC]
Autrement dit :
Dans les conditions de la propriété de Thalès, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
Côtés portés par
la droite (d)
Côtés portés par
la droite (d’)
Côtés portés par
les parallèles
Côtés de AMN
AM
AN
MN
Côtés de ABC
AB
AC
BC
Remarque :
1) La propriété de Thalès permet de calculer une longueur quand on en connaît trois autres.
T
Exemple :
On considère la figure suivante avec (ST)//(UV).
Calculer KV et ST.
S
5
U
9
3
K
6,3

V
2) La propriété de Thalès permet de démontrer que des droites ne sont pas parallèles : dans les conditions de la
propriété de Thalès, si AM  AN alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
AB AC
B
Exemple : Avec les données de la figure suivante,
(BC) et (MN) sont elles parallèles ?
C
4
N
9
3
A
6
8
M
2. Réciproque de Thalès
Propriété :
Etant données deux droites d et d’ sécantes en A,
deux points B et M de d, distincts de A,
deux points C et N de d’, distincts de A,
Si AM = AN et si les points A, B, M sont dans le même ordre que les points A, C, N,
AB AC
Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Remarque :
1) La réciproque de la propriété de Thalès permet de démontrer que des droites sont parallèles.
Dans les conditions la réciproque de la propriété de Thalès, le rapport MN est égal aux deux autres.
BC
2) Pour appliquer la réciproque de la propriété de Thalès, il y a deux conditions importantes :
- La première : AM = AN ;
AB AC
- La seconde : « les points A, B, M sont dans le même ordre que les points A, C, N ».
Exemple :
Avec les données de la figure suivante,
démontrer que (OL) est parallèle à (UP)

Sphère et Boule
1. Sphère
A
a. Définition
Soit O un point de l’espace.
On appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensemble de tous les points de
l’espace qui sont situés à une distance R du point O.
Les segments [AB], [A1B1] et [A2B2] sont des diamètres de la sphère.
On dit que les points A et B sont diamétralement opposés.
A1
R
O
B2
A2
Remarque : L’intérieur de la sphère est appelé « boule de centre O ».
b. Aire de la sphère
L’aire de la sphère de rayon R est donnée par la formule :
B1
A=
B
c. Volume de la boule
Le volume d’une boule de rayon R est donné par la formule :
V=
2. Section d’une sphère par un plan
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
(P1)
Remarque
Quand le plan passe par le centre O (Plan P2), le cercle a le
même rayon que la sphère. On dit que c’est un grand cercle
de la sphère.
O
(P2)
(P3)
Cas particulier
Quand la section de la sphère par
le plan n’est qu’un point (un
« cercle de rayon nul »), on dit que
le plan est tangent à la sphère.
O
A
(P)
b) Notion d’équiprobabilité :
Probabilités
1. Vocabulaire d’expérience aléatoire
issue :
expérience dont les issues sont indépendantes des expériences
précédentes
résultat possible de l’expérience.
Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, on dit
qu’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.
Donc lorsqu’on est en situation d’équiprobabilité, tous les événements élémentaires ont la
même probabilité.
événement :
condition qui est réalisée par zéro, une ou plusieurs issues.
Si on désigne par n le nombre d’issues d’une expérience aléatoire. Dans une situation
expérience aléatoire :
événement élémentaire : cas particulier où l’événement est réalisé par une seule issue.
Exemple :
Le lancer d’une pièce de monnaie est une ……………………………… .
d’équiprobabilité, avec la probabilité d’un événement élémentaire est alors égale à ……
Exemple :
(suite de l’exemple précédent)
Cette expérience admet 2 …………… qui sont pile et face.
Le dé étant équilibré, il s’agit d’une ……………………………… .
« on obtient pile » est un ……………………………… .
Il existe …… issues, donc la probabilité des événements A et B sont :
« on obtient pile ou face » est un ………………………………………… .
p(A) = ……
p(B) = ……
p(C) = ……
2. Notions élémentaires de probabilité
a) Notions élémentaires de probabilité :
Plus on effectue une expérience aléatoire, plus la fréquence de réalisation d’un événement
se rapproche d’une valeur appelée probabilité.
Notation : Soit A un événement, on note p(A) la probabilité que l’événement A se réalise.




Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
Un événement dont la probabilité est égale à 0 est un événement impossible.
Un événement dont la probabilité est égale à 1 est un événement certain.
La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1.
Exemple :
On lance un dé équilibré à 4 faces, numérotées de 0 à 3.
On considère les événements suivants :
A : « on obtient le nombre 2 ».
B : « on obtient le nombre 6 ».
C : « on obtient un nombre ».
L’événement A est un ……………………………… .
L’événement B est un ……………………………… .
L’événement C est un ……………………………… .
3. Calculer des probabilités dans des contextes familiers
Exemple :
Mon petit frère possède un sac de billes. Elles sont toutes indiscernables au
toucher. 1 bille est rouge. 2 billes sont vertes et 5 billes sont bleues. On tire
une bille au hasard et on regarde sa couleur.
Nommons les issues possibles :
R : « on tire une bille rouge ».
V : « on tire une bille verte ».
B : « on tire une bille bleue ».
N : « on tire une bille noire ».
S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Pourquoi ?
………
………………………………………………………… .
p(R) = ……
p(V) = ……
p(B) = ……
p(N) = ……
Somme des probabilités des évènements élémentaires :
p(R) + p(V) + p(B) + p(N) = …… + …… + …… + …… = ……
Trigonométrie
1. Définitions
Dans un triangle rectangle,

Le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient :

Le sinus d’un angle aigu est égal au quotient :

La tangente d’un angle aigu est égal au quotient :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
=
C
J
T
=
A
B
I
K
R
S
=
Remarques :




Ces formules nous permettent de calculer des longueurs et des angles.
L’hypoténuse est le plus grand côté du triangle donc le sinus et le cosinus d’un angle aigu étant
des quotients de deux nombres positifs, ce sont des nombres compris entre 0 et 1.
La tangente d’un angle aigu est un nombre strictement positif.
Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
Un moyen mnémotechnique pour retenir les définitions de trigonométrie est de mémoriser :
SOHCAHTOA.
2. Relations trigonométriques
On note
On a :
la mesure en degré d’un angle aigu.
=
.
Racines carrées
1.
Racine carrée d’un nombre positif
 La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre …………….. noté
s’appelle le radical et
dont le carré est a.
se lit « racine carrée de a » ou « racine de a ».
n’a pas de sens si a est un nombre négatif.
1)
2)
3)
Exemples :
144 = 12 car 12 est positif et 12²=144.
0 = 0 car 0² = 0.
-4 n’a pas de sens car –4 est un nombre négatif.
Propriété :
Pour tout nombre positif a, on a (
Exemples : ( 144)² = 12² = 144
et
²= a et
= a.
12² = 144 =12
 On appelle ……………. un entier positif dont la racine carrée est un entier.
Exemples :
16 est un carré parfait car 16 = 4², et 16 = 4.
40 000 est un carré parfait car 40 000 = 200², et 40 000 = 200
2. Règles de calculs sur les radicaux
Propriétés :
 Pour tous les nombres positifs a et b, on a :
 Pour tous les nombres positifs a et b, avec b  0, on a :
a b = ab
a=
b
a
b
Exemples :
60
=
15
60
= …….. = ……..
15
6449= 64 49= ……..= ……..
49
49
=
=….. .
81
81
Attention : Il n’y a aucune règle générale pour la somme et la différence de radicaux !
Exemples :
1)
4)
2) 25 - 9 = 5 – 3 = 2 mais 25 - 9 = 16 = 4
3)
64 - 100 = 8 –10 = -2 mais l’écriture 64 - 100 n’a pas de sens car 64 – 100 = -36.
16 + 9 = 4 + 3 = 7 mais 16 + 9 = 25 = 5
Notion de fonction
Une fonction est un outil mathématique qui, à un nombre, fait correspondre un nombre.
 Notations et vocabulaire
Soit la fonction qui, à un nombre, associe son carré se note :
Cette fonction , au nombre 3, associe son carré, c’est à dire le nombre 9.
…………………….
……………………..
On dit que ………………. 3 par la fonction
est 9. Cette …………est unique.
On dit aussi que 3 est ………………de 9 par la fonction . Un nombre peut avoir plusieurs ……………..
L’image de nombre 3 par la fonction se note ……….
La fonction associe, au nombre , le nombre

On a ainsi …………….
Représentation graphique d’une fonction
désigne un nombre et
son image par la fonction
Un repère étant choisi, on considère les points M de coordonnées (
L’ensemble ( ) de ces points est la représentation graphique de la fonction
Exemple : On va représenter la fonction définie par
entre
-2 et 2.
On va utiliser le tableau de valeurs suivant :
Abscisses
Ordonnées
-2
6
-1
1
pour les valeurs de
0
-2
1
-3
2
-2
6
J
-2
-1
O
-2
-3
dans ce repère.
I
2
comprises
Géométrie dans l’espace
1. Section d’un pavé droit par un plan
La section d’un pavé droit par un plan parallèle
à une face est un rectangle identique à cette face.
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à
une arête est un rectangle.
Exemple :
Le plan (P) est parallèle à la face ABCD (ou EFGH) :
A
Exemple :
Le plan (P) est parallèle à l’arête [AD] (ou [BC] ou
[EH] ou [FG]) :
E
A
D
B
H
E
F
D
C
B
H
F
G
C
G
(P)
2. Section d’un cylindre de révolution par un plan
La section d’un cylindre de rayon R par un plan
parallèle aux bases est un cercle de rayon R.
La section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe de
révolution est un rectangle.
(P)
R
(P)
R
3. Sections d’une pyramide ou d’un cône par un plan
La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.
C’est à dire que c’est une figure de même nature (rectangle, carré, cercle…) mais dont les longueurs sont
proportionnelles à la base.
S
S
D’
A’
(P)
C’
(P)
B’
R’
O’
A’
C
D
A
B
A
O
Pyramide
On remarque que :
(AB)//(A’B’) (BC)//(B’C’) (CD)//(C’D’) (DA)//(D’A’)
D’après le théorème de Thalès, on peut donc écrire :
A' B' B' C' C' D' D' A'



k
AB
BC
CD
DA
C’est le rapport de la réduction (donc < 1)
Cône de révolution
On remarque que :
(OA) // (OA’)
D’après e théorème de Thalès, on peut donc écrire :
SO' SA' A' O'


k
SO
SA
AO
C’est le rapport de la réduction (donc <
Exercice résolu
On considère un cône de révolution de sommet S
- Sa base est un disque de rayon OA = 6 cm.
- Sa hauteur SO = 15 cm.
M est le point de la hauteur tel que SM = 10 cm.
Le plan parallèle à la base passant par M coupe SA en A’.
S
S
Calculer le rayon de la section du cône avec ce plan :
A’
A
M
A’
M
O
R
A
O
1)
Equation- produit
Une équation- produit nul est une équation dont l’un des membres est un produit de facteurs du premier degré et le
deuxième est zéro. (A x B=0 avec A et B du premier degré)
Propriété : Si un facteur est nul alors le produit de facteurs est nul.
Pour tout nombre b, si a = 0 alors a x b = 0
Propriété : Si un produit de facteurs est …….. , alors l’un au moins ……………………………….
Si a x b = 0 alors …………………………………….
Exemples : Résoudre les équations suivantes :
a)
il s’agit bien d’une équation produit nul.
Il ne s’agit pas d’une équation produit nul, il faut donc la transformer.
b)
Cas particulier : équations de la forme
Si
alors l’équation
n’admet aucune solution (un carré est toujours positif)
Si
alors l’équation
admet une seule solution qui est 0
Si
alors l’équation
admet deux solutions :
Exemples : Résoudre les équations suivantes :
a)
b)
c)
Agrandissement et réduction
a. Agrandissement et réduction
A
B
1,5 cm
Le rectangle A’B’CD’ est obtenu à
partir du rectangle ABCD par un
agrandissement de rapport 2, c’est à
dire que toutes les longueurs ont été
multipliées par 2.
A’
B’
8 cm
4 cm
3 cm
D
C
Le rectangle ABCD est obtenu à partir
du rectangle A’B’C’D’ par une
réduction de rapport 2, c’est à dire
que toutes les longueurs ont été
D’
C’
multipliées par
Lorsqu’on agrandit ou réduit une figure, les dimensions sont proportionnelles à celles de la figure de départ.
Elles sont multipliées par un même nombre k.
Si k >1, il s’agit d’……………………………………….
Si k<1, il s’agit d’………………………………………..
b. Effet d'une réduction ou d'un agrandissement sur des aires ou des volumes
A = R²
A  3,14  1²
A  3,14 cm²
(C)
A = R²
A  3,14  3²
A  3,14  9
A  28,26 cm²
Le cercle (C’) a été obtenu à partir du cercle (C) par un
agrandissement de rapport 3.
- Les longueurs ont été multipliées par 3.
- L’aire a été multipliée par 3² = 9.
1 cm
V = 4/3 R3
V  4/3  3,14  33
V  1,33  3,14  27
V  112,76 cm3
(C’)
3 cm
(S)
(S’)
3 cm
1 cm
La sphère (S’) a été obtenue à partir de la sphère (S) par
une réduction de rapport 3.
-
Les longueurs ont été multipliées par
(ou
divisées par 3)
- Le volume a été multiplié par
33 = 27)
Propriété
Dans un agrandissement (ou une réduction) de rapport k :
- Les longueurs sont multipliées par k
2
- Les aires sont multipliées par k .
3
- Les volumes sont multipliés par k .
(ou divisé par
V = 4/3 R3
V  4/3  3,14  13
V  1,33  3,14  1
V  4,18 cm3
Angles inscrits et polygones réguliers
1. Angles inscrits et angles au centre.
1. Un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés coupent ce cercle est appelé angle inscrit
dans ce cercle.
Sur le dessin ci-contre, on dit que l’angle
intercepte l’arc BC
2. Un angle dont le sommet est le centre d’un cercle est appelé angle au centre de ce cercle.
Sur le dessin ci-contre, on dit que l’angle
intercepte l’arc AB
3. Propriétés :
 Si deux angles inscrits interceptent le même arc
alors ils ont la même mesure.
 Si dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit
interceptent le même arc alors la mesure de l’angle au centre
est le double de la mesure de l’angle inscrit.
2. Polygones réguliers
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont …………………………………. et dont tous les
angles ont ………………….
Propriétés :
Tous les sommets d’un polygone régulier appartiennent à un même cercle.
On dit qu’un polygone régulier est inscrit dans un cercle. Le centre de ce cercle est appelé centre du polygone
régulier.
On considère un polygone à côtés de centre O,
deux sommets consécutifs de ce polygone.
L’angle
désignant un nombre entier positif. Les points A et B sont
est appelé ………………………………………………… et sa mesure est égale à
Exemples : Construire un hexagone régulier de centre O (au dos de la feuille)
.
Statistiques
Fréquence – Fréquences cumulées.
Exemple : Voici les notes obtenues au cours d’un contrôle de mathématiques.
13-12- 10-9-6-14-12-15-6-7-10-17-12-10- 9-4-12-11-13- 8-9-6-14-12
On range ces notes dans un tableau :
Notes
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Effectif
1
0
3
1
1
3
3
Effectif
1
1
4
5
6
9
12
cumulé
croissant
Fréquence 1/24 0/24 3/24 1/24
Fréquences
cumulées
croissantes
14
15
16
17
Total
L’effectif cumulé croissant est obtenu en ajoutant les effectifs des valeurs qui la précèdent.
L’effectif cumulé croissant 20 permet de dire que 20 élèves ont obtenu ……………………………..
La fréquence d’une donnée est son effectif divisé par le nombre total de données.
La fréquence de « 10 » est ………………………. ;en pourcentage la fréquence est ………………………..
Représenter la série précédente à l’aide d’un diagramme en bâtons :
Calculer une moyenne et une moyenne pondérée.
Pascal a eu les notre suivantes :
7 ; 4 ; 12 ; 17 ; 15
M=
Chaque note a un coefficient :
M=
1 ; 0,5 ; 2 ; 1 ; 0,5
Quelle est sa moyenne ?
Quelles est sa moyenne pondérée ?
Classe : Lorsque les données sont nombreuses, on les regroupe en classes pour faciliter leur interprétation.
Exemple : Lors d’une visite médicale, on a obtenu les tailles suivantes :
Tailles
[130 ;140[ [140 ;150[ [150 ;160[ [160 ;170[ [170 ;180[ [180 ;190[ Total
Effectifs
180
280
160
30
800
Fréquences 5%
en %
Angles
Calculer la taille moyenne puis représenter le diagramme semi-circulaire des fréquences sur un disque de rayon
6 cm. ( à faire au dos de cette feuille)
Médiane et étendue d’une série statistique
La médiane d’une série ordonnée (rangée) est la donnée qui la partage en deux séries d’effectif égal.
Elle peut être différente de la moyenne.
Exemples :
L’effectif de la série est impair
L’effectif de la série est pair
3 - 5 - 5,5 - 6 - 7 -10 – 12
4 – 5 – 7 – 9 – 11 - 15
La médiane est ……………….
La médiane est égale à …………………….
L’étendue est la différence entre les deux valeurs extrêmes de la série.
On dit que l’étendue d’une série statistique est une caractéristique de dispersion, qui permet de
comparer des séries qui auraient des valeurs moyennes et/ou médianes proches.
Sur la première série de notes, l’étendue est égale à ……………………………………………….
Quartiles
On appelle premier quartile la plus petite valeur q1 de la série ordonnée telle que 25% des valeurs soient
inférieures à q1.
On appelle troisième quartile la plus petite valeur q3 de la série ordonnée telle que 75% des valeurs soient
inférieures à q3 .
Exemples
Reprenons les notes du premier exemple et rangeons les dans l’ordre croissant :
4 – 6 – 6 – 6 – 7 – 8 – 9 – 9 – 9 – 10 – 10 – 10 – 11 – 12 – 12 – 12 – 12 – 12 – 13 - 13 – 14 – 14 – 15 – 17
25 % des valeurs correspondent à 24 x 0,25 = 6, le premier quartile est donc la 6ème valeur soit 8
75 % des valeurs correspondent à …………………………………………………………………………………
Fonctions linéaires et affines
1. Fonctions linéaires
Définition :
a est un nombre relatif donné.
Une fonction linéaire est une relation qui à un nombre
(le coefficient a étant un nombre constant).
On écrit
a
On dit que : est définie par
=a ;
est l’image de par la fonction ;
a pour image
par la fonction .
fait correspondre le nombre a
Propriété :
est une fonction linéaire de coefficient a avec a
Par cette fonction linéaire, tout nombre admet un et un seul antécédent.
Propriété : La fonction qui modélise une situation de proportionnalité est une fonction linéaire.
Son coefficient est le coefficient de proportionnalité.
Exemple :
La fonction
qui permet de calculer le périmètre d’un cercle est une fonction linéaire de coefficient 2 .
Propriétés des fonctions linéaires

est une fonction linéaire. 1 et 2 désignent des nombres.
On a
1 + 2) =
1) +
2)
Exemple : La fonction linéaire est telle que
Donc :

est une fonction linéaire. désigne un nombre et
On a :
Exemple : La fonction linéaire est telle que
désigne un nombre donné.
Donc :
Evolution en pourcentages.
Augmenter un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par ………………..
Une augmentation de p% est modélisée par la fonction linéaire
…………..
p est un nombre compris entre 0 et 100.
Diminuer un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par ……………………..
Une diminution de p% est modélisée par la fonction linéaire
……………………..
Exemple : Un collège comptait 760 élèves. A la rentrée suivante, son effectif a augmenté de 5%.
Quel est le nouvel effectif ?
2. Fonctions affines.
Définition
a et b désignent deux nombres relatifs donnés.
Une fonction affine est une relation qui à un nombre fait correspondre le nombre a + b
(les coefficients a et b étant des nombres constants).
On peut écrire
a + b. On dit que est définie par
a +b.
Exemple : La fonction qui à tout nombre associe son double augmenté de 5 se note
…
On a
On dit que l’image du nombre
……………………………………………………………………………………………………………………
On dit que l’antécédent du nombre
………………………………………………………………………………………………………….
Cas particuliers des fonctions affines.
 Pour b = 0, la fonction
devient donc
.
Une fonction affine pour laquelle b = 0 est une fonction linéaire.
 Pour a = 0, la fonction
devient donc
Une fonction affine pour laquelle a = 0 est une fonction constante.
Propriété admise
Si est une fonction affine non constante, alors tout nombre admet un antécédent par la fonction
unique.
Proportionnalité des accroissements
Propriété :
a et b désignent des nombres relatifs ; est la fonction affine telle que
Pour deux nombres distincts 1 et 2, on a :
et cet antécédent est
Inéquations
1. Inégalité
7 + 6 > 9 – 3 est une inégalité composée des deux membres : 7 + 6 et 9-3.
se lit « strictement inférieur »
se lit « strictement supérieur »
se lit « inférieur ou égal »
se lit « supérieur ou égal »
2. Ordre et opérations
a. Ordre et addition :
Propriété :
a, b, c désignent des nombres.
Les nombres a+c et b+c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.
Autrement dit :
On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on ajoute (ou lorsqu’on retranche) un même nombre aux deux
membres de cette inégalité.
Exemples :
x et y désignent des nombres.
1) Si x  2 alors x + 3  2 + 3, donc x + 3  5.
2) Si y > 3 alors y – 5> 3 – 5, donc y – 5 > -2.
b. Ordre et multiplication :
Propriétés :
a, b, c désignent des nombres.
- Lorsque c est strictement positif, les nombres ac et bc sont rangés dans le même ordre que les nombres
a et b.
Autrement dit :
- On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) par un même nombre
strictement positif les deux membres de cette inégalité.
Exemples :
a et b désignent des nombres.
1) Si a < 5 alors 2a < 25, donc 2a < 10.
b
4
b
2) Si b  -4 alors  - , donc < -2.
2
2
2
Lorsque c est strictement négatif, les nombres ac et bc sont rangés dans l’ordre inverse des nombres a
et b.
Autrement dit :
- On doit changer le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) par un même nombre
strictement négatif les deux membres de cette inégalité.
-
Exemples :
a et b désignent des nombres.
1) Si a  3 alors -5a  -53, donc -5a < -15.
2) Si b > 3 alors b < 3 , donc – b < -1,5.
-2
-2
2
3.
Résolution d’une inéquation
 Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent vraie l’inégalité.
Ces valeurs de l’inconnue sont appelées les solutions de l’inéquation.
Pour trouver ces valeurs, on procède comme pour la résolution d’une équation, c’est à dire en isolant l’inconnue, grâce
aux propriétés ci-dessus.
Exemple : Résoudre l’inéquation –3x + 4  -2
x2
Les solutions de l’inéquation –3x + 4  -2 sont tous les nombres ……………………………………..
Il reste ensuite à représenter l’ensemble de ses solutions.
Cette représentation consiste à tracer un axe gradué et orienté sur lequel on souligne les parties représentant les nombres
qui sont solutions.
Représentation des solutions de l’inéquation –3x + 4  -2
-1
0
1
]
2
Tous les nombres …………………….. conviennent, on souligne donc toutes les valeurs plus petites que 2.
Systèmes d’équations
1. Résolution d’un système par substitution
On utilise cette méthode de préférence lorsque l’une des
inconnues a pour coefficient « 1 » ou « -1 ».
2. Résolution d’un système par combinaison :
On utilise cette méthode dans tous les autres cas :
Exemple :
Exemple :
On exprime l’une des inconnues en fonction de l’autre dans
une des équations :
On multiplie chaque équation par un nombre afin que les
coefficients de ou soient les mêmes.
On obtient un système équivalent :
On remplace l’inconnue dans l’autre équation. Elle devient
une équation du premier degré à une seule inconnue.
On développe la nouvelle équation :
On ajoute « terme à terme » les deux équations pour
éliminer , on obtient une équation du premier degré à une
inconnue, qu’on résout :
On isole l’inconnue :
On résout :
On remplace « l’inconnue connue » dans la première
équation, puis on calcule :
La solution du système est le couple :
Ensuite, on remplace « l’inconnue connue » dans une des
deux équations et on calcule, on trouve ainsi la deuxième
inconnue :
La solution du système est le couple :
Fonctions linéaires et affines
1. Fonctions linéaires
Définition :
a est un nombre relatif donné.
Une fonction linéaire est une relation qui à un nombre
(le coefficient a étant un nombre constant).
On écrit
a
On dit que : est définie par
=a ;
est l’image de par la fonction ;
a pour image
par la fonction .
fait correspondre le nombre a
Propriété :
est une fonction linéaire de coefficient a avec a
Par cette fonction linéaire, tout nombre admet un et un seul antécédent.
Propriété : La fonction qui modélise une situation de proportionnalité est une fonction linéaire.
Son coefficient est le coefficient de proportionnalité.
Exemple :
La fonction
qui permet de calculer le périmètre d’un cercle est une fonction linéaire de coefficient 2 .
Propriétés des fonctions linéaires

est une fonction linéaire. 1 et 2 désignent des nombres.
On a
1 + 2) =
1) +
2)
Exemple : La fonction linéaire est telle que
Donc :

est une fonction linéaire. désigne un nombre et
On a :
Exemple : La fonction linéaire est telle que
désigne un nombre donné.
Donc :
Evolution en pourcentages.
Augmenter un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par ………………..
Une augmentation de p% est modélisée par la fonction linéaire
…………..
p est un nombre compris entre 0 et 100.
Diminuer un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par ……………………..
Une diminution de p% est modélisée par la fonction linéaire
……………………..
Exemple : Un collège comptait 760 élèves. A la rentrée suivante, son effectif a augmenté de 5%.
Quel est le nouvel effectif ?
2. Fonctions affines.
Définition
a et b désignent deux nombres relatifs donnés.
Une fonction affine est une relation qui à un nombre fait correspondre le nombre a + b
(les coefficients a et b étant des nombres constants).
On peut écrire
a + b. On dit que est définie par
a +b.
Exemple : La fonction qui à tout nombre associe son double augmenté de 5 se note
…
On a
On dit que l’image du nombre
……………………………………………………………………………………………………………………
On dit que l’antécédent du nombre
………………………………………………………………………………………………………….
Cas particuliers des fonctions affines.
 Pour b = 0, la fonction
devient donc
.
Une fonction affine pour laquelle b = 0 est une fonction linéaire.
 Pour a = 0, la fonction
devient donc
Une fonction affine pour laquelle a = 0 est une fonction constante.
Propriété admise
Si est une fonction affine non constante, alors tout nombre admet un antécédent par la fonction
unique.
Proportionnalité des accroissements
Propriété :
a et b désignent des nombres relatifs ; est la fonction affine telle que
Pour deux nombres distincts 1 et 2, on a :
et cet antécédent est