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Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/
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Chapitre 3
Variables aléatoires réelles
3.1
Définitions
1. Variable aléatoire réelle : Soit Ω un espace d’événements.
On appelle variable aléatoire réelle, notée v.a.r, toute application X :
X :
Ω
−→
R
ω
7−→
X(ω)
Remarque. Souvent l’événement " X(ω) prend la valeur x " est noté par " X = x ".
Exemple. Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On en tire successivement
et avec remise 3 boules, et on s’interesse au nombre de boules blanches tirées.
Ω = {BBB, BBN, BN B, N BB, N N B, N BN, BN N, N N N } ⇒ card(Ω) = 8
Soit X la v.a.r qui exprime le nombre de boules blanches obtenues. Les valeurs possibles de X
sont 0, 1, 2 et 3. On note X(Ω) = {0, 1, 2, 3} .
• P(X = 0) = P({N N N }) = 18 .
• P(X = 1) = P({N N B, N BN, BN N }) = 38 .
• P(X = 2) = P({BBN, BN B, N BB}) = 83 .
• P(X = 3) = P({BBB}) = 18 .
2. Types de Variables aléatoires rélles :
• Variable alátoire discrète (v.a.d) : X est dite v.a.d si X(Ω) est un ensemble fini ou
dénombrable.
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CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES
3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R
• Variable aléatoire continue (v.a.c) : X est dite v.a.c si X(Ω) est un intervalle ou une
union d’intervalles de R.
Remarque. si X est une v.a.c, alors : ∀x ∈ R ,
P(X = x) = 0 .
3. Loi de probabilité d’une v.a.r :
(a) v.a.discrète : La loi de probabilité d’une v.a.d est donnée par :
• X(Ω),
• ∀x ∈ X(Ω) : P(X = x) .
P
x∈Ω
P(X = x) = 1 .
Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.
Exemple. Dans l’exemple précédent, la loi de probabilité est donnée par :
x
0
1
2
3
P(X = x)
1
8
3
8
3
8
1
8
(b) v.a.continue : La loi de probabilité d’une v.a.c est donnée par une fonction fX définie
sur R telle que :
• ∀x ∈ R : fX (x) ≥ 0,
R
• R fX (t) dt = 1.
Une telle fonction est appelée "Densité de probabilité"
Exemple. Montrer que la fonction suivante est une densité de probabilité :

−x

Si x > 0

 e
f (x) =


 0
sinon
3.2
Caractéristiques d’une v.a.r
1. Fonction de répartition : La fonction de répartition de la v.a.X est une fonction F définie
par :
F : R
−→
[0, 1]
x 7−→
F (x) = P(X 6 x)
Propriétés. Soit X une v.a.r, et F sa fonction de répartition :
•
lim F (x) = 0
x→−∞
et
lim F (x) = 1 .
x→+∞
• ∀x ∈ R , P(X > x) = 1 − F (x).
• ∀ a, b ∈ R ,
P(a < X 6 b) = F (b) − F (a).
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CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES
3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R
(a) v.a.discrète : La fonction de répartition d’une v.a.d est donnée par :
X
∀ x ∈ R , F (x) =
P(X = k)
k≤x
Elle est souvent présentée dans le tableau de la loi de probabilité.
Exemple. Dans l’exemple précédent, la fonction de répartition est donnée par :
x
0
1
2
3
P(X = x)
1
8
1
8
3
8
4
8
3
8
7
8
1
8
F (x)
1
Remarque. Soit X une v.a.d, et soient a , b ∈ R :
• P(a 6 X 6 b) = P(a < X 6 b) + P(X = a) .
• P(a < X < b) = P(a < X 6 b) − P(X = b) .
(b) v.a.continue : La fonction de répartition d’une v.a.c est donnée par :
Z x
∀x ∈ R : F (x) =
f (t) dt
−∞
Remarque. Soit X une v.a.c, et soient a , b ∈ R :
Rb
• P(a < X 6 b) = F (b) − F (a) = a f (t) dt .
• P(a < X 6 b) = P(a 6 X < b) = P(a < X < b) = P(a 6 X 6 b) .
2. Espérance mathématique : L’espérance mathématique d’une v.a X est la moyenne de ses
valeurs. Elle est notée E(X).
• v.a.discrète : Si X est une v.a.d, alors :
X
E(X) =
k P(X = k)
k∈X(Ω)
• v.a.continue : Si X est une v.a.c de densité f , alors :
Z
+∞
E(X) =
t . f (t) dt
−∞
Propriétés. Si X et Y sont deux v.a.r sur Ω :
• X admet une espérance ⇔ E(X) < +∞.
• ∀a ∈ R , E(a) = a .
• ∀a , b , c ∈ R , E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y ) + c .
• Soit φ une fonction continue sur X(Ω) :
P
– Si X v.a.d : E (φ(X)) = k∈X(Ω) φ(k) P(X = k) .
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CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES
– Si X v.a.c : E (φ(X)) =
R +∞
−∞
3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R
φ(t) f (t) dt .
3. Variance : La variance d’une v.a.r X est notée var(X), et est donnée par :
h
i
2
var(X) = E (X − E(X))
Formule de Huygens :
h
i
2
Var(X) = E ( X − E(X) )
= E X 2 − 2 X E(X) + ( E(X) )2
= E( X 2 ) − E[ 2 X E(X) ] + E[ ( E(X) )2 ]
= E( X 2 ) − 2 E(X) E( X ) + [ E(X) ]2
= E( X 2 ) − [ E(X) ]2
Ainsi : Var(X) = E( X 2 ) − [ E(X) ]2
Propriétés. Si X et Y sont deux v.a.r sur Ω :
• X admet une variance ⇔ E(X) < +∞ et E(X 2 ) < +∞.
• var(X) ≥ 0 .
• ∀a ∈ R , var(a) = 0 .
• ∀a , b ∈ R , var(aX + b) = a2 var(X) .
• Si X et Y sont indépendantes, alors :∀a , b , c ∈ R :
var(aX + bY + c) = a2 var(X) + b2 var(Y )
4. Écart-type : Lécart-type d’une v.a.r X est noté σ(X), et est donné par :
σ(X) =
p
var(X)
Définitions. Soit X une variable aléatoire réelle :
• Si E(X) = 0, alors X est une variable centrée.
• Si σ(X) = 1, alors X est une variable réduite.
• Pour centrer X : [X − E(X)].
• Pour réduire X : [X / σ(X)].
• Pour centrer et réduire X : [(X − E(X)) / σ(X)].
5. Moments d’ordre r : Soit r un entier naturel non nul :
(a) Moments simple : Le moment simple d’ordre r de la v.a.r X, noté µr (X) est donné
par :
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CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES
3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R
µr (X) = E( X r )
(b) Moments centré : Le moment centré d’ordre r de la v.a.r X, noté mr (X) est donné
par :
r
mr (X) = E ( [X − E(X)] )
6. Fonction génératrice des moments simples : La fonction génératrice des moments nous
permet d’avoir tous les moments simples d’ordre r , ∀r ∈ N∗ . Elle est notée gX (t) et est donnée
par :
gX (t) = E etX
Le moment simple d’ordre r est donné par :
µr (X) =
dr gX (t)
|t=0
dtr
7. Loi de probabilité d’une fonction d’une v.a.r :
Soit X une v.a.r, et soit Y = φ(X), où φ est une fonction continue sur X(Ω).
(a) Cas discret : La loi de probabilité de Y est donnée par :
• Y (Ω) = {y1 , y2 , ...., yn } = {φ(x1 ), φ(x2 ), ...., φ(xn )}.
• Pour chaque yj ∈ Y (Ω) : P (Y = yj ) = P (φ(X) = yj ).
Exemple. Soit la v.a X donnée par le tableau :
x
-2
-1
0
1
2
P (X = x)
1/9
3/9
2/9
1/9
2/9
Soit Y = X 2 . Donner la loi de Y .
• Y (Ω) = {0, 1, 4}.
• P (Y = 0) = P (X = 0) = 2/9
P (Y = 1) = P (X 2 = 1) = P (X = −1) + P (X = 1) = 4/9
P (Y = 4) = P (X 2 = 4) = P (X = −2) + P (X = 2) = 3/9
(b) Cas continu : Pour trouver la loi de probabilité de Y on cherche d’abord sa fonction
de répartition FY (y) = P (Y ≤ y) = P (φ(X) ≤ y). La densité de probabilité de Y :
fY (y) =
dFY (y)
dy
Exemple. Soit la v.a X et f sa densité de probabilité donnée par :
(
x si 0<x<1
f (x) =
0 sinon
Donner la loi de probabilité de Y = 1/X.
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