4 Congruence dans - LPO de Chirongui

4
A
Congruence
dans Objectifs du chapitre
Nous allons étudier la notion de congruence dans
problèmes de codage.
B
Activité 3
qui sera utilisée dans des
Pour débuter
Le 1er janvier 2012 était un dimanche.
Quel jour de la semaine était-on n jours plus tard pour n = 1, 2, 3, ..., 20 (on
regroupera ces résultats dans un tableau, la 1re colonne correspondant au
lundi...).
Que peut-on dire de deux nombres d’une même colonne ?
Quel jour de la semaine sera-t-on 1 000 jours après le 1er janvier 2012 ?
Quel jour sera-t-on le 1er janvier 2020 ?
C
Cours
1. Définition
Définition 4
Soit n un entier naturel non nul donné, et soient x et y deux entiers relatifs quelconques.
On dit que x est congru à y modulo n si la différence x − y est un multiple de n.
Dans ce cas, on note :
x ≡ y mod n ou encore x ≡ y [n ] ou encore x ≡ y (n )
et on lit « x congru à y modulo n ».
Remarques
Si
x – y est un multiple de n , y − x est aussi un multiple de n.
Donc, si x ≡ y [n ] on a aussi y ≡ x [n ] : la relation de congruence est symétrique.
On a toujours x ≡ x [n ] : la relation de congruence est réflexive.
On a toujours x ≡ y [1]. (La congruence modulo 1 ne présente donc pas grand
intérêt.)
Conséquences
z Un nombre est congru à 0 modulo n si, et seulement si, c’est un multiple de n.
z Tout nombre pair est congru à 0 modulo 2 ; tout nombre impair est congru
à 1 modulo 2.
z Tout nombre est congru à son chiffre des unités modulo 10.
Démonstration
Conséquence
Soit
immédiate de la définition.
n un nombre pair. Le nombre n est divisible par 2 donc n ≡ 0 [2].
Soit n un nombre impair. Le nombre n − 1 est donc divisible par 2 ce qui prouve
que n ≡ 1 [2].
Soit
n un nombre entier. Écrivons n = am am −1...a1a0 où a0 représente le chiffre
des unités de n, a1 représente le chiffre des dizaines de n, etc. Ainsi,
n = am × 10m + am −1 × 10m −1 + ... + a1 × 10 + a0 .
L’entier n − a0 = 10 × am × 10m −1 + am × 10m −2 + ... + a1  est donc divisible par 10
ce qui prouve n ≡ a0 [10]. Remarque
La barre dans la notation am am −1...a1a0 sert à différencier l’écriture avec le chiffre
des unités, le chiffre des dizaines etc., de l’écriture du produit am × am −1 × ...a1 × a0 .
Exemple 14
a) Les nombres –13 et –8 sont-ils congrus modulo 5 ?
b) Les nombres 7 et 8 sont-ils congrus modulo 5 ?
Solution
a) On a : –13 – (–8) = –5. Le nombre –5 est un multiple de 5 donc –13 et –8 sont
congrus modulo 5 :
−13 ≡ −8 [ 5].
b) On a : 7 – 8 = –1. Le nombre –1 n’est pas un multiple de 5 donc 7 et 8 ne sont
pas congrus modulo 5 :
−13 ≡/ −8 [ 5].
Exemple 15
Les règles d’un jeu sont les suivantes :
Un joueur A propose un nombre entier entre 1 et 4, le joueur B ajoute à ce
nombre 1, 2, 3 ou 4 et à tour de rôle, les joueurs A et B ajoutent 1, 2, 3 ou 4 au
nombre obtenu. Le 1er qui arrive à 87 a gagné.
Déterminer le reste de la division euclidienne de 87 par 5.
Comment le joueur A peut-il s’y prendre pour gagner à coup sûr ?
Solution
On a 87 = 17 × 5 + 2 et 0 ≤ 2 < 5 donc le reste de la division euclidienne
de 87 par 5 est 2.
Pour être sûr de gagner, A peut commencer par le nombre N = 2 puis, après le
coup de B, il s’arrange pour que le nombre obtenu soit congru à 2 modulo 5
(en fait, si B ajoute x, il ajoute ensuite 5 – x).
À tout moment, A proposera ainsi un nombre congru à 2 modulo 5 et B un
nombre congru à 3, 4, 0 ou 1 modulo 5.
En théorie des jeux, on dit que, pour ce jeu, les nombres congrus à 2 modulo
5 constituent un ensemble de situations gagnantes :
t le nombre 87 est une situation gagnante ;
t à partir d’une situation qui n’est pas gagnante, on peut toujours jouer de
telle sorte d’être à la suite du coup en situation gagnante ;
t à partir d’une situation gagnante, on se retrouve, après avoir joué, forcément en situation perdante.
La situation initiale (N = 0) n’est pas gagnante donc le joueur A a une stratégie
gagnante (toujours proposer un nombre congru à 2 modulo 5).
2. Lien entre congruence et division euclidienne
Propriété 3
Tout nombre est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n.
Démonstration
Si on effectue la division euclidienne de x par n , on sait qu’il existe q appartenant à et r appartenant à tels que x = qn + r avec 0 ≤ r < n.
On a alors x − r = qn donc x − r est un multiple de n et ainsi x est congru à r
modulo n.
Conséquences
zModulo n, tout nombre est congru à un nombre r tel que 0 ≤ r ≤ n − 1.
zSi a ≡ r [n ] et 0 ≤ r <n alors r est le reste de la division euclidienne de a par n.
Exemple 16
À quel entier naturel inférieur à 27 le nombre 523 est-il congru modulo 27 ?
Solution
Par division euclidienne de 523 par 27, on obtient : 523 = 19 × 27 + 10 donc
523 ≡ 10 [27].
3. Propriétés
Propriété 4
Transitivité
La relation de congruence modulo n est transitive c’est-à-dire que si on a :
x ≡ y [n ] et y ≡ z [n ] alors on a : x ≡ z [n ].
Démonstration
La congruence x ≡ y [n ] se traduit par : il existe un entier k tel que x − y = kn ;
la congruence y ≡ z [n ] se traduit par : il existe un entier k’ tel que y − z = k ′n.
Or, x − z = x − y + y − z = kn + k’n = (k+k’ )n donc x ≡ z [n ].
Propriété 5
Addition et soustraction de congruences de même module
La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition et avec la soustraction dans ; c’est-à-dire que si on a : x ≡ y [n ] et x ′ ≡ y ′ [n ] alors on a
aussi :
x + x ′ ≡ y + y ′ [n ]
et :
x − x ′ ≡ y − y ′ [n ].
Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les ajouter
membre à membre ou les retrancher membre à membre et on obtient encore une
congruence modulo n.
Démonstration
La congruence x ≡ y [n ] se traduit par x − y multiple de n.
La congruence x ′ ≡ y ′ [n ] se traduit par x ′ − y ′ multiple de n.
On en déduit que la « somme » ( x − y ) + ( x ′ − y ′ ) est encore un multiple
de n, c’est-à-dire ( x + x ′ ) − ( y + y ′ ) est multiple de n ; ceci veut dire
que x + x ′ ≡ y + y ′ [n ] .
On raisonne comme précédemment en remplaçant la somme par la différence
pour obtenir x − x ′ ≡ y − y ′ [n ].
Exemple
On a −13 ≡ −8 [5] et 46 ≡ 21[5].
En utilisant la propriété 5, on obtient : 33 ≡ 13 [5] et –59 ≡ −29 [5].
Propriété 6
Multiplication de congruences de même module
La relation de congruence modulo n est compatible avec la multiplication dans ;
c’est-à-dire que si on a : x ≡ y [n ] et x ′ ≡ y ′ [n ] alors on a aussi : xx ′ ≡ yy ′ [n ].
Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les multiplier
membre à membre et on obtient encore une congruence modulo n.
!!!!
Remarque
On ne peut pas diviser par un même nombre les deux membres d’une congruence.
Par exemple, 15 ≡ 5 [10] mais 3 ≡/ 1 [10].
Démonstration
On a x ≡ y [n ] donc il existe k de tel que x − y = kn d’où x = y + kn.
On a x ′ ≡ y ′ [n ] donc il existe k ′ de tel que x ′ − y ′ = k ′n d’où x ′ = y ′ + k ′ n.
On a donc :
xx ′ = ( y + kn )( y ′ + k ′n )
= yy ′ + n (ky ′ + k ′y + kk ′n ).
Posons K = (ky ′ + k ′y + kk ′n ) ; K appartient à et xx ′ − yy ′ = Kn.
Ainsi, xx ' ≡ yy ' [n ].
Propriété 7
Multiplication par un entier
Si x ≡ y [n ] alors, pour tout k appartenant à , on a : kx ≡ ky [n ].
Démonstration
Exemple 17
On applique la propriété 7 à x ≡ y [n ] et k ≡ k [n ].
Dresser la table de multiplication modulo 7.
Déterminer un entier n tel que 52n congru à 1 modulo 7.
Solution
Soient a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 6.
On calcule le reste dans la division euclidienne de ab par 7.
Par exemple, 3 × 4 = 12 et 12 ≡ 5 [7].
À l’aide de la fonction MOD du tableur, en saisissant en B2 la formule
=MOD($A2*B$1;7) puis en la « copiant-glissant », on obtient la table suivante :
On a 52 ≡ 3 [7]. En utilisant la table ci-dessus, on voit que 3 × 5 ≡ 1 [7] et ainsi
n = 5 convient.
Propriété 8
Élévation à une puissance
Si x ≡ y [ p ] alors, pour tout entier naturel n non nul, on a : x n ≡ y n [ p ].
Démonstration
Cette propriété est une conséquence de la propriété 6 ; on l’établit en faisant un
raisonnement par récurrence.
Considérons la proposition définie pour tout entier naturel n non nul, « si
x ≡ y [ p ] alors x n ≡ y n [ p ] ».
Initialisation : au rang n = 1, la proposition s’écrit x 1 ≡y 1 [p ]. Cette proposition
est vraie par hypothèse. Ainsi la propriété est vraie au rang n = 1.
Hérédité : on suppose que la proposition « si x ≡ y [ p ] alors x n ≡ y n [ p ] » est
vraie pour un certain rang n = k, autrement dit, on suppose que « si x ≡ y [ p ]
alors x k ≡ y k [ p ] ».
Regardons la propriété au rang k + 1. Comme x ≡ y [ p ] et x k ≡ y k [ p ], appliquons leur la propriété 6 :
xx k ≡ yy k [p ] soit x k +1 ≡ y k +1 [ p ].
Donc, la proposition « si x ≡ y [ p ] alors on a : x n ≡ y n [ p ] » est vraie au rang
n = k +1: la proposition est héréditaire.
Conclusion : la propriété « si x ≡ y [ p ] alors on a : x p ≡ y p [n ] » est vraie pour
n = 1 et elle est héréditaire donc, pour tout entier naturel n non nul, si x ≡ y [ p ]
alors x n ≡ y n [ p ].
Exemple 18
a) Montrer que 74 ≡ 1[5].
b) En déduire que le reste de la division euclidienne de 72012 et 72013 par 5.
Solution
a) On sait que 7 ≡ 2 [5].
Donc 72 ≡ 22 [5] c’est-à-dire 72 ≡ 4 [5] ou encore 72 ≡ −1[5].
De même, 73 ≡ 23 [5] c’est-à-dire 73 ≡ 8 [5] ou encore 73 ≡ 3 [5].
Et 74 ≡ 24 [5] c’est-à-dire 74 ≡ 16 [5] ou encore 74 ≡1 [5].
Pour cette dernière ligne, on peut aussi procéder de la façon suivante :
4
de 72 ≡ −1[5], on déduit (72 )2 ≡ ( −1)2 [5] c’est-à-dire 7 ≡ 1[5].
( )
503
et ainsi 72012 ≡ 1 [5].
b) Comme 2012 = 503 × 4 , 72012 = 74
2012
≡ 1 [5] et 0 ≤ 1 < 5, 1 est le reste de la division euclidienne de
Comme 7
2012 par 5.
7
2013
= 7 × 72012 d’où 72013 ≡ 7 × 1 [5] soit 72013 ≡ 2 [5].
On a 7
Comme 72013 ≡ 2 [5] et 0 ≤ 2 < 5, 2 est le reste de la division euclidienne de
72012 par 5.
Remarque
Cette dernière idée est importante : si a ≡ −1 [n ] alors a p ≡ ( −1)p [n ].
Exemple 19
Solution
Déterminer le reste de la division euclidienne de 62013 par 7.
Comme
6 ≡ −1 [7], 62003 ≡ ( −1)2003 [7] soit 62003 ≡ −1 [7] ou encore 62003 ≡ 6 [7].
Comme 0 ≤ 6 < 7, le reste de la division euclidienne de 62013 par 7 est 6.
3. Exemples d’utilisations des congruences
Exemple 20
a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2012 × 2011× 2010 par 7.
b) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2012104 par 7.
c) Quel est le chiffre des unités de 2013104 ?
Solution
a) On a : 2012 ≡ 3 [7] ; 2011 ≡ 2 [7] ; 2010 ≡ 1[7].
Par compatibilité avec la multiplication, on a
2012 × 2011× 2010 ≡ 3 × 2 × 1[7] ≡ 6 [7].
Comme 0 ≤ 6 < 7, le reste de la division euclidienne de 2012 × 2011× 2010 par
7 est 6.
b) 2012 ≡ 3 [7] donc, par compatibilité des puissances, 2012104 ≡ 3104 [7].
k
Cherchons alors k tel que 3 soit congru à 1 ou –1 modulo 7.
Comme 3 ≡ 3 [7], on a : 32 ≡ 9 [7] soit 32 ≡ 2 [7] ; 3 × 32 ≡ 3 × 2 [7]
soit 33 ≡ −1 [7].
Ainsi, ( 33 )2 ≡ ( −1)2 [7] soit 36 ≡ 1[7].
Ce résultat a des conséquences importantes :
(36 )2 ≡ 12 ≡ 1[7]
(36 )3 ≡ 13 ≡ 1[7]
(36 )k ≡ 1k ≡ 1[7] pour tout k ∈
On effectue la division euclidienne de 104 par 6 :
104 = 17 × 6 + 2 donc 2012104 = 201217× 6+ 2
donc 2012104 ≡ 317× 6+ 2 ≡ ( 36 )17 × 32 [7].
Ainsi, 2012104 ≡ 117 × 32 ≡ 2 [7].
Comme 0 ≤ 2 < 7, le reste de la division euclidienne de 2012104 par 7 est 2.
c) Déterminons à quel nombre compris entre 0 et 9 est congru 2013104 modulo
10. Le nombre 2013 est congru à son chiffre des unités modulo 10 donc
2013 ≡ 3 [10] et 2013104 ≡ 3104 [10].
Comme 32 = 9, 32 ≡ −1 [10].
Ainsi,
( )
3104 = 32
52
≡ ( −1)52 [10]
≡ 1 [10].
Ainsi 2013104 est congru à 1 modulo 10 et le chiffre des unités de 2013104 est 1.
Exemple 21
Critère de divisibilité par 11
On note abcd = 1000a + 100b + 10c + d
dix) dont les chiffres sont a, b, c et d.
l’écriture d’un nombre (en base
Par exemple, 5432 = 1000 × 5+100 × 4+10 × 3+2.
a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 100 par 11, puis de 1000 par 11.
b) Montrer que si un nombre entier n vérifie n = 10 [11] alors on peut aussi
écrire n = −1 [11].
c) En déduire que abcd est divisible par 11 si, et seulement si, −a +b −c +d est
divisible par 11.
Solution
a) On a 100 = 9 × 11+ 1 donc 100 ≡ 1[11] ; 1000 = 90 × 11+ 10
donc 1000 ≡ 10 [11].
b) Si n ≡ 10 [11] alors comme 10 ≡ −1 [11], on a par transitivité n ≡ −1 [11].
Ainsi, 1000 ≡ −1[11].
c) Comme abcd = 1000a + 100b + 10c + d et 1000 ≡ −1[11] ; 100 ≡ 1[11] ;
10 ≡ −1[11] on a :
abcd ≡ 1000a + 100b + 10c + d [11]
≡ −1a + 1b − 1c + d [11]
≡ −a + b − c + d [11].
Donc, abcd est divisible par 11 si, et seulement si, −a +b −c +d est aussi divisible
par 11.
Exemple 22
Clé de RIB
Le R.I.B. (Relevé d’Identité Bancaire) est un nombre N constitué de gauche à
droite de la façon suivante :
Code de la banque
Code du guichet
Numéro du compte
Clé
5 chiffres
5 chiffres
11 chiffres
2 chiffres
Pour calculer la clé de contrôle d’un RIB, on considère le nombre a formé par les
21 premiers chiffres ; on calcule le reste r de la division euclidienne de N = 100 × a
par 97 ; la clé RIB est 97 − r.
Calculer à l’aide de la calculatrice la clé du RIB suivant (l’écriture décimale de N
comportant « trop de chiffres » pour la calculatrice, on pourra se demander comment les congruences peuvent nous aider à mener ce calcul) :
Solution
Code de la banque
Code du guichet
Numéro du compte
Clé
12345
25896
35715942681
?
On a : N = 100 × 123 452 589 635 715 942 681
=12 345 2588 963 571 594 268 100.
Le nombre N est trop grand (23 chiffres alors que l’affichage de la calculatrice en
montre entre 9 et 12) pour que l’on puisse utiliser la calculatrice ; on peut, par
exemple, utiliser les puissances de 10 et leur congruence modulo 97.
On a :
100 = 1 donc 100 ≡ 1 mod 97 ;
101 = 10 donc 101 ≡ 10 mod 97 ;
102 =100=1 × 97+3 donc 102 ≡ 3 mod 97.
Utilisons la compatibilité des congruences avec la multiplication :
103 =101 × 102 donc 103 ≡ 10 × 3 mod 97 soit 103 ≡ 30 mod
o 97.
104 =102 × 102 donc 104 ≡ 3 × 3 mod 97 soit 104 ≡ 9 mod 97 ;
on obtient ainsi le tableau suivant :
Puissance de 10
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
1010
10n ≡ ...mod 97
1
10
3
30
9
90
27
76
81
34
49
Puissance de 10
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
10n ≡ ...mod 97
5
50
15
53
45
62
38
89
17
73
51
25
Écrivons par exemple :
N = 1234 × 1019 + 525896 × 1013 + 357159426 × 104 + 81× 102.
On obtient alors par compatibilité des congruences avec l’addition
N ≡ 1234 × 17 + 525896 × 15 + 357159426 × 9 + 81× 3 mod 97 soit
N ≡ 3222344495 mod 97.
Comme 3222344495 ≡ 97 × 33220046 + 33, on en déduit que N ≡ 33 mod 97 et
que la clé du RIB est 64 car 97 − 33 = 64.
4. Application : écriture des nombres en
base b (résultats non exigibles)
a) Introduction
Notre système de numération est de base 10. Cela tient à la façon de compter
les éléments.
Supposons que l’on dispose d’une certaine collection d’objets. On les regroupe
par 10. On obtient q1 groupes de 10 objets et u objets que l’on n’a pas pu inclure
dans un groupe (u < 10). On appelle groupement du 1er ordre ces groupes de
10 objets. Supposons, par exemple, que pour notre collection, u = 3.
On regroupe alors par 10 ces q1 groupements du 1er ordre. On obtient alors
q 2 groupements du 2e ordre (c’est-à-dire un groupe de 10 groupements du
1er ordre) et il reste d groupements du 1er ordre isolés. Supposons, par exemple,
que d = 7.
On regroupe alors ces groupements du 2e ordre par 10. Supposons qu’il reste
c = 6 groupements du 2e ordre et que l’on ait obtenu m = 5 groupements du
3e ordre (on ne peut donc pas faire de « groupement du 4e ordre »).
Notons N le nombre d’objets de la collection. On peut décrire les regroupements
précédents par les divisions euclidiennes suivantes :
N = 10q1 + u , q1 = 10q 2 + d et q 2 = 10m + c .
On en déduit :
)
(
)
N = 10q1 + u = 10 × (10q 2 + d + u = 10 × 10 × (10m + c ) + d + u
= m × 103 + c × 102 + d × 10 + u = 5673.
On dit que m, c, d et u sont les chiffres composant l’écriture en base 10 du
nombre N (u : chiffre des unités, d des dizaines, c des centaines et m des milliers).
On regroupe maintenant les objets par 8, on obtient q1′ 8-groupements du
1er ordre et e objets isolés.
Comme 5 673 = 8 × 709 + 1, on a q1′= 709 et e = 1.
On regroupe alors les q1′ 8-groupements du 1er ordre par 8. On obtient q 2′
8-groupements du 2e ordre et d 8-groupements du 1er ordre isolés.
Comme 709 = 8 × 88 + 5, on a q 2′ = 88 et d = 5.
On regroupe alors les q 2′ 8-groupements du 2e ordre par 8. On obtient q 3′
8-groupements du 3e ordre et c 8-groupements du 2e ordre isolés.
Comme 88 = 8 × 11+ 0, on a q 3′ = 11 et c = 0.
On regroupe alors les q 3′ 8-groupements du 3e ordre en q 4′ 8-groupements du
4e ordre et b 8-groupements du 3e ordre isolés.
Comme 11 = 8 × 1+ 3, on a q 4′ = 1 et b = 3.
On ne peut pas effectuer de regroupement d’ordre supérieur avec le groupement
du 4e ordre restant (a = 1). On déduit des précédentes divisions euclidiennes :





 


 

N = 8 ×  8 ×  8 × ( 8a + b ) + c  + d  + e = a × 84 + b × 83 + c × 82 + d × 8 + e.

 

q 3′

 




q 2′

q1′
8
8
On dit que abcde est l’écriture en base 8 de N. Ici : 5673 = 13051 .
b) Définition
Propriété 9 admise
Soit b élément de
N \ {0 ; 1}.
Tout entier naturel n peut s’écrire d’une manière unique :
n = np b p + np − 1b p − 1 + ... + n1b1 + n0 b 0
avec np ≠ 0 et pour tout i de {0 ; 1 ; ... ; p } , 0 ≤ ni < b.
Définition 5
Soit b élément de
N \ {0 ; 1}.
Si l’entier naturel n s’écrit n = np b p + np − 1b p − 1 + ... + n1b1 + n0 b 0 , avec np ≠ 0 et
pour tout i de {0 ; 1 ; ... ; p } , 0 ≤ ni < b , alors :
b
tl’écriture en base b de n est np np −1...n1n0 ;
tles nombres np , np −1, ..., n1 et n0 sont les chiffres de l’écriture en base b de
n.
Remarque
La barre que l’on met au-dessus n’a qu’un seul rôle : c’est celui de faire comprendre que les chiffres sont écrits côte à côte dans l’ordre donné. Sans la barre,
on pourrait croire que les x i se multiplient entre eux, et ici ce n’est pas le cas.
;
Exemple 23
Solution
7
Écrire x = 402 en base 10.
7
x = 402 = 4 × 72 + 0 × 71 + 2 × 70
= 4 × 49 + 2
1
10
= 198 (=198 ).
Remarques
Dans le système décimal (base dix) les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dans le système binaire (base deux) les chiffres sont : 0, 1.
Au-delà de la base 10, on complète par d’autres symboles pour avoir le nombre
de « chiffres » voulus.
Dans le système de base onze, les onze chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α .
Dans le système de base douze (duodécimal), les douze chiffres sont : 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, α , β.
Exemple 24
Solution
Écrire 534 en base 8.
Méthode 1
On cherche la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale à 534.
On a : 83 ≤ 534 < 84 (soit 512 ≤ 534 < 4096 ).
On cherche maintenant la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale
à 534 − 83 = 22.
On a : 81 ≤ 22 < 82.
On cherche maintenant la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale
à 22 − 81 = 14.
On a : 81 ≤ 14 < 82.
On cherche maintenant la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale
à 14 − 81 = 6. On a 6 < 8, on s’arrête alors et on a :
14 = 81 + 6, 22 = 81 + 14 = 81 + 81 + 6,
534 = 83 + 22 = 83 + 81 + 81 + 6
= 83 + 2 × 81 + 6 donc 534 = 1× 83 + 0 × 82 + 2 × 81 + 6.
8
On déduit de la dernière égalité : 534 = 1026 .
Méthode 2
On s’inspire des calculs effectués dans l’introduction.
On a :
534 = 8 × 66 + 6 (donc 6 éléments isolés) ;
66 = 8 × 8 + 2 (donc 2 groupements du 1er ordre isoléss) ;
8 = 8 × 1+ 0 (donc 0 groupements du 2e ordre isolé)
1 groupement du 3e ordre.
8
Cela nous donne bien 534 = 1026 .
On peut présenter les calculs précédents de la façon suivante :
534 8
6 66 8
2 8
0
8
1
1
8
0
Condition d’arrêt
c) Critères de divisibilité
Soit le nombre n = x p x p −1...x 1x 0
10
(il s’agit de l’écriture avec les chiffres écrits
les uns à côté des autres).
Critère de divisibilité par 2
On a n = x p x p −1...x 1 × 10 + x 0 or 10 ≡ 0 [2] donc n ≡ x 0 [2].
Il en résulte que n est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffre des unités est
divisible par 2, c’est-à-dire s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
Critère de divisibilité par 3
On a n = x p 10p + x p −110p −1 + ... + x 1101 + x 0 or 10 ≡ 1 [3] donc, pour tout
k ∈ , 10k ≡1 [ 3].
Ainsi, n ≡ x p + x p −1 + ... + x 1 + x 0 [ 3].
Il en résulte que n est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres
est divisible par 3.
Critère de divisibilité par 5
On a n = x p x p −1...x 1 × 10 + x 0 or 10 ≡ 0 [5] donc n ≡ x 0 [5].
Il en résulte que n est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffre des unités est
divisible par 5, c’est-à-dire s’il se termine par 0 ou 5.
Critère de divisibilité par 9 et « preuve par 9 »
On a n = x p 10p + x p −110p −1 + ... + x 1101 + x 0 or 10 ≡ 1 [9] donc, pour tout
entier k, 10k ≡ 1k [9] soit 10k ≡ 1 [9].
Ainsi, n ≡ x p + x p −1 + ... + x 1 + x 0 [9].
Il en résulte que n est divisible par 9 si, et seulement si, la somme de ses chiffres
est divisible par 9.
Le fait qu’un nombre soit congru modulo 9 à la somme des chiffres de son écriture décimale permet d’obtenir facilement et « de tête » le reste de la division
euclidienne d’un entier naturel par 9. C’est cette idée qui est à l’origine de la
preuve par 9 qui permet aux jeunes élèves apprenant la multiplication de « vérifier un calcul ».
Exemple
456 238
w
795 613
4
w
4
=
362 998 884 894
6
1
On a :
456 238 ≡ 4+5+6+2+3+8 ≡ 28 ≡ 2+8 ≡ 10 ≡ 1 [9] donc 456 238 a pour reste 1
dans la division euclidienne par 9 ;
795 613 ≡ 7+9+5+6+1+3 ≡ 31 ≡ 3+1 ≡ 4 [9] donc 795 613 a pour reste 4 ;
456 238 × 795 613 ≡ 1× 4 ≡ 4 [9] donc le produit a pour reste 4 dans la division
euclidienne par 9.
362 998 884 894 ≡ 6 [9] donc 362 998 884 894 a pour reste 6 et ne peut donc
pas être égal au produit.
Bien sûr, la preuve par 9 ne peut pas nous prouver qu’un calcul est exact.
Critère de divisibilité par 10
On a n = x p x p −1...x 1 × 10 + x 0 donc n − x 0 est divisible par 10
donc n ≡ x 0 [10].
Il en résulte que n est divisible par 10 si, et seulement si, son chiffre des unités est
divisible par 10, c’est-à-dire s’il se termine par 0.
D
Exercice 14
Exercices d’apprentissage
a) À quel entier naturel inférieur à 11 le nombre 7 654 est-il congru modulo 11 ?
b) Les nombres 14 533 et 6 742 sont-ils congrus modulo 7 ?
Exercice 15
Sans utiliser la calculatrice, déterminer le reste dans la division euclidienne :
a) de 1473 × 1474 × 1475 × 1476 par 7 ;
b) de 19328 par 3 ;
c) de 7202 par 5.
Exercice 16
Démontrer que, pour tout entier naturel n, 7n – 2n est un multiple de 5.
Exercice 17
a) Montrer que 1999 est congru à 4 modulo 7.
b) Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 2007 modulo 7.
Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7.
a) Déterminer un nombre entier naturel congru à n 3 modulo 7.
b) En déduire que (n 3 + 1) est divisible par 7.
Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors
(n 3 − 1) est divisible par 7.
On considère le nombre A = 19993 + 20073 .
Sans calculer A, montrer en utilisant les résultats précédents que A est divisible par 7.
Exercice 18
Quel est le reste de la division euclidienne de 5 par 8 ? Quel est le reste de la
division euclidienne de 52 par 8 ?
Quel est le reste de la division euclidienne de 586 par 8 ? Quel est le reste de
la division euclidienne de 587 par 8 ?
Quel est le reste de la division euclidienne de 96587 par 8 ?
Soit n un entier naturel. Montrer que 52n +1 + 52n + 2 est un multiple de 8.
Exercice 19
Donner l’écriture de 3210
4
en base 10.
16
Donner l’écriture décimale (en base 10) de AD78
2
Donner l’écriture de 100101 en base 10.
Donner l’écriture de 31 427 en base 8.
Donner l’écriture de 1 792 en base 2.
.
Exercice 20
Arthur et Wilson sont deux jumeaux qui ont l’habitude de communiquer à l’aide
de messages codés. Ils réalisent toujours leur chiffrement de la façon suivante :
Chaque lettre de l’alphabet munie de son numéro d’ordre n est remplacée par la
lettre de l’alphabet munie du numéro d’ordre p ( 1 ≤ p ≤ 26 ) obtenu à l’aide de
la formule p ≡ 3 × n + 7 [26].
Par exemple, la forme chiffrée de L est Q car 3 × 12 + 7 = 43 et 43 ≡ 17 [26].
Compléter la table de chiffrement donnée ci-dessous.
Lettre
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
p
17
Forme
chiffrée
Q
Lettre
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
p
Forme
chiffrée
Arthur a envoyé le message suivant à Wilson : MIJUZ CZRI OJ IVRLLHOV.
Retrouver la forme déchiffrée du message.
Wilson désire lui répondre : MERCI.
Donner la forme chiffrée de ce message.
a) Montrer que si p ≡ 3n + 7 [26] alors n ≡ 9p + 15 [26].
b) En déduire une façon de retrouver une lettre à partir de sa forme chiffrée.
Exercice 21
Soit a un entier, en étudiant les différents restes possibles dans la division
euclidienne par 5, montrer que a 5 − a est divisible par 5. En déduire le chiffre
des unités de a 5 − a ?
Étudier les différents restes possibles des carrés modulo 4. En déduire que
2015 n’est pas la somme de deux carrés.