ASSERVISSEMENT → système (modèle) du premier ordre.

ASSERVISSEMENT
- Identif 1 –
II.4. Modélisation, Identification
II.4.a. Mise en équation
Exemple :
MCC commandée en tension :
e
ω
R
U
U = R⋅ I + e
Equation électrique au stator (R : résistance inducteur)
e = K (φ) ⋅ ω
Force contre électromotrice
Cm = K (φ) ⋅ I
Couple électromagnétique
φ = f (J )
Flux de la machine (fonction du courant d’excitation)
Cc = f ⋅ ω
Couple de charge
&
Cm − Cc = J ⋅ ω
Equation de la mécanique
&=
⇒ Jω
dans Laplace :
 K2

K
U − 
+ f ω
R
 R

 K2

K
Jsω = U ( s ) − 
+ f ω
R
 R

ω
U
H(s)
ω( s )
H ( s) =
=
U (s)
K
R
,
 K2

Js + 
+ f 
 R

⇒
H ( s) =
A
1 + τs
à système (modèle) du premier ordre.
J, f
ASSERVISSEMENT
modèle imprécis :
U varie ⇒ influence de L (inductance stator)
⇒ U = L⋅
dI
+R⋅I +e
dt
K
ω( s )
R
⇒ H ( s) =
=
U ( s) JL 2 

fL   K 2
s +J +
+ f 
 s + 
R
R  R


(second ordre)
Le modèle reste approximatif :
à ignore :
-
non linéarités
-
saturations
-
comportement en fréquences élevées
-
effets de la température, humidité
-
usure
-
etc …
Pourtant, ensemble du système parfaitement connu :
→ Mis en équations sous forme analytique
→ Rarement le cas, ou bien trop complexes
En pratique → modèle approché
→ obtenu expérimentalement
→ valable uniquement dans la zone de fonctionnement du procédé étudié
à modélisation, méthodes d’identification.
- Identif 2 –
ASSERVISSEMENT
- Identif 3 –
II.4.b. Schéma fonctionnel
Représentation d’un modèle sous forme de schémas blocs.
Utilisation de blocs élémentaires :
-
gains
-
additionneurs
-
premiers ordres
-
intégrateurs
-
etc …
Exemple : machine à courant continu
U
+-
1
R + Ls
I
Cm
K
ω
K
avec la charge :
Cc
U
Machine à
courant
continu
Cm
+
-
1
Js
ω
Représentation utilisée par les logiciels de simulation d’asservissement tel que SIMULINK (©Math Corp.).
ASSERVISSEMENT
- Identif 4 –
II.4.c. Essai de lâcher
à Lorsque l’ordre du système est connu (1 ou 2)
à On abandonne le système à lui-même à partir d’une valeur de sortie donnée.
à On observe l’évolution du signal de sortie en fonction du temps.
-
Circuits du premier ordre
1
H ( s) =
1 + τs
⇒ y (t ) = y0 ⋅ e
−
t
τ
⇒ y (t + T ) = y (t ) ⋅ e
−
T
τ
On trace y(t+T) en fonction de y(t) (échantillonnage de période T)
y(t+T)
pente a
y(t)
→ droite de pente a = e
-
T
−
τ
⇒
τ=−
T
Log e (a)
Circuits du second ordre
Pour des systèmes équivalents à deux systèmes du premier ordre cascadés →
1
.
(1 + τ1 s)(1 + τ2 s )
On procède comme précédemment, le système étant initialement en régime établi ( y& 0 = 0 ).
En notant D1 = e
Soit :
−
T
τ1
et D2 = e
−
T
τ2
, on trouve : y (t + 2T ) − ( D1 + D2 ) y( t + T ) + D1 D2 y( t ) = 0
y (t + 2T )
y (t + T )
− ( D1 + D2 )
+ D1 D2 = 0
y (t )
y (t )
à l’équation d’une droite de la forme : Y − ( D1 + D2 ) X + D1 D2 = 0
à permet de déterminer D1 et D2 , donc τ1 et τ2 .
ASSERVISSEMENT
- Identif 5 –
II.4.d. Méthode de Strejc
à Recherche d’un modèle sous la forme : H ( s) =
k ⋅ e− TR s
.
(1 + τs )n
à A partir de la réponse indicielle.
à On relève Ta et Tu ⇒ n’ et τ sur l’abaque
k=
∆y
k
→ H ( s) =
, avec n’ réel.
∆u
(1 + τs )n′
n’=n+δ avec δ<1. On obtient alors
k=
140 − 110
=2
85 − 70
Tu = 10 et Ta = 50.
⇒
Tu
= 0, 2
Ta
⇒ n’=2,84.
⇒ τ = 13.
⇒ n′ = 2,84 ⇒ n = 2 et δ = 0,84
TR = δτ ⇒ TR = 10,9
⇒ H ( s) ≈
2 ⋅ e−10 .9 s
(1 + 13s )2
Remarque :
si retard pur assez grand
→ réponse du système sans retard.
→ retard ajouté à la fin.
H ( s) =
k ⋅ e− TR s
avec TR = δ ⋅ τ .
(1 + τs )n
Tu
Ta
ASSERVISSEMENT
- Identif 6 –
II.4.e. Méthode de Broï da
k ⋅ e −TR s
à Recherche d’un modèle sous la forme : H ( s ) =
1 + τs
Méthode graphique :
y
TR
τ
t
Méthode mathématique :
τ ≈ 2,8t1 − 1,8t 2
y
et TR ≈ 5,5 ⋅ (t 2 − t1 )
100%
40%
28%
t1 t2
II.4.f. Système oscillant
à Recherche d’un modèle sous la forme : H ( s) =
ωn =
2π
t 2 − t1
D 
2mπ
et log e  1  =
1 − m2
 D2 
k ⋅ e − TR s
2
s  s 
1 + 2m
+ 
ω0  ω0 
⇒ m.
.
t