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Exercices
Exercices
Exercice 1:
Soit un systéme asservi représenté par le schéma ci-dessous.
E(p)





H 1 (p)
S(p)

H 2 (p)
1. Simplifier le schéma blocs ci-dessus,
2. En déduire la fonction de transfert H(p)=
3. Soit H1 (p)=
S(p)
, en fonction de H1(p) et H2(p),
E(p)
1
1
et H 2 (p)= , déterminer l’expression de H(p).
p+1
p
Par la suite on prend H(p)=
1
.
p +3p+2
2
Le systeme est successivement excité par un échelon e(t)=u(t) et une rampe e(t)=t.u(t) .
4. Détreminer les expresions S1 (p) et S2 (p) , pour les deux entrées,
5. En déduire leurs valeurs initiales finales,
6. Détreminer les expressions de s1(t) et s2(t), pour les deux entrées,
7. Détreminer le module et l’argument de H(jw).
Asservissement & Régulation
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Exercices
Exercice 2:
Soit un circuit électrique régit par l’équation différentielle suivante: Ri+L
di 1
+
idt=e(t) .
dt C 
On suppose que toutes les conditions intiales sont nulles, et on pose: LC=
1
R
et m=
2
2
w0
C
.
L
On prend e(t) =10.u(t).
1. Détreminer l’expression du courant I(p), en fonction de (m, R et w0),
2. Pour m =1, R =1 et w0 =1rad/s, en déduire i(0) et i(+),
3. Détreminer l’expression temporelle du courant i(t), et la réprésenter,
4. En deduire le temps et le courant maximum correspondant.
Exercice 3:
1. Trouver la transformée de Laplace des fonctions suivantes, en déduire leurs expressions
temporelles.
g(t)
f(t)
E
E
t
0
t
0
T
k(t)
h(t)
E
E
t
0
T
T
Asservissement & Régulation
0.5E
0
2T
Page: 57
t
T
1.5T
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Exercices
Exercice 4:
Soit un processus industriel modélisé par l'équation différentielle suivante: 2
dy
+y=5u
dt
1. Etablir la fonction de transfert de ce processus.
2. Donner la réponse de ce processus (conditions initiales nulles) pour une entrée de la forme:
u(t)
E=10
t
0
T=0.1
Exercice 5:
On considère un système industriel modélisé par l'équation différentielle suivante:
d 2 y dy
du
+6 +9y=8 +8u .
2
dt
dt
dt
1. Etablir la transformée de Laplace de l’équation précédente,
2. En déduire l'expression de la sortie pour entrée (impulsion de Dirac unitaire), on suppose
que toutes les conditions initiales sont nulles),
3. Retrouver les valeurs initiale et finale de y(t), en appliquant les théorèmes de la valeur
initiale et finale,
4. Etablir et tracer l’allure de y(t), en déduire sa valeur minimale.
Asservissement & Régulation
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Exercices
Exercice 6:
d2 x
dx
Soit un système automatisé est modélisé par l’équation différentielle: M 2 +h +kx=f(t) , il
dt
dt
est donnée par la figure ci-dessous:
Polie
k
M
Solide de
Liquide
1. Déterminer la fonction de transfert: H(p)=
Masse: M
X(p)
, en fonction des paramètres du système,
F(p)
2. Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique: H(p)=
K.w 02
.
p 2 +2mw 0 .p+w 20
Avec K: gain statique, m: facteur d’amortissement et w0: pulsation propre,
3. En déduire les expressions de (K, m et w0 ) en fonction des paramètres (k, h et M),
4. Etablir l’expression de H(p)=
K.w 20
, pour K=1, m=0.5 et w 02 =1(rad/s) et identifier les
(p+a) 2 +w 02
valeurs de a et w0.
5. Etablir l’expression de x(t), pour une entrée f(t)=δ(t) , donner son régime de fonctionnement
et calculer la valeur de x(+), conclure sur la stabilité de système,
Asservissement & Régulation
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Exercices
Le schéma fonctionnel du système en boule fermée est donné par la figure ci dessous:
F(p)

H(p)
X(p)

6. Etablir la transmittance du système en boule fermée: T(p)=
k B w B2
,
p 2 +2m B w B .p+w 2B
7. En déduire les paramètres kB, mB et wB en fonction de (K, m et w0).
8. Etablir l’expression de x(t) en boucle fermée pour un échelon f(t)=10.u(t) , en déduire son
allure.
Exercice 7:
Soit un système asservi donné par le schéma fonctionnel suivant:
E(p)

S(p)
1
2
p  λ.p  1

1
p 1
1. Déterminer l’expression T(p) en boucle fermé,
2. Etablir l’équation caractéristique du système,
3. Etudier la stabilité, en utilisant le critère de Routh,
4. Donner la condition sur  pour que le système soit stable.
Asservissement & Régulation
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Exercices
Exercice 8:
Soit le circuit électrique passif, de la figure ci-dessous. On donne R=1kΩ et C=500μF .
R
i
e
C
s
1. Calculer l’expression de la fonction de transfert de ce circuit,
Ce circuit peut être décrit par le schéma fonctionnel de la figure suivante:
I(p)
E(p)


F1 (p)
S(p)
F2 (p)
2. Calculer alors les expressions des fonctions de transfert F1(p) et F2(p),
Le circuit précédent est excité par le signal suivant:
e(t)
E
t
0
T
3. Calculer S(p),
4. En déduire s(t), calculer le temps de stabilisation à 5%.
Asservissement & Régulation
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Exercices
Exercice 9:
Soit un système industriel décrit par l’équation différentielle:
d 2s(t) ds(t)
+3
+9s(t)=45e(t) .
dt 2
dt
On note par e(t) et s(t) respectivement l’entrée et la sortie de système. Les conditions initiales
sont nulles,
1. Déterminer la fonction du transfert H(p) du système, en déduire l’ordre du système.
2. Déterminer le gain statique K, le facteur d’amortissement m et la pulsation propre du
système w0.
3. Pour le facteur d’amortissement trouvé, déterminer la nature du système (apériodique,
pseudopériodique etc..).
4. Tracer l’allure s(t) de la réponse indicielle,
5. Déterminer le pseudo période Tp, le 1er dépassement D et le temps de pic tp.
6. Tracer le diagramme de Bode.
Exercice10:
Soit un processus électrique asservi définit par le schéma fonctionnel suivant:
E(p)

H(p)=

S(p)
k
2p +p 2 +3p+1
3
1. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée F(p),
2. En déduire l’équation caractéristique du processus,
3. Etudier la stabilité, en utilisant le critère de Routh,
4. Etablir les conditions sur k, pour que le système soit stable.
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Eléments de solutions d’Exercices
Eléments de solutions
Exercice 1:
1. Schéma blocs simplifié
E
2. H(p)=
H(p)=
H1H 2
1+H 1 +H 2 +H 1 H 2
H1H 2
.
1+H1 +H 2 +H1H 2
3. Expression de fonction de transfert: H(p)=
4. Expressions de deux sorties: S1 (p)=
S2 (p)=
S
1
1
1
=
.
p +3p+2 p+1 p+2
2
1
1
1
1
= +
et
p(p +3p+2) 2p 2(p+2) (p+1)
2
1
3
1
1
1
=- + 2 +
p (p +3p+2) 4p 2p p+1 4(p+2)
2
2
1
5. Valeurs initiales et finales de: s1 (0)=0 ; s1 (+)= et s 2 (0)=0 ; s 2 (+)=+ .
2
1 1
3 1
1
6. Expressions de: s1 (t)=( + e-2t -e-.t ).u(t) et s 2 (t)=(- + t+e-t - e-2t ).u(t)
2 2
4 2
4
1
Entrée:e1
Sortie:s1
0.5
0
0
5
10
15
20
20
Entrée:e2
Sortie:s2
15
10
5
0
0
Asservissement & Régulation
5
10
Temps(s)
Page: 63
15
20
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Eléments de solutions d’Exercices
7. Module et argument: H(jw) =
1
2 2
(2-w ) +9w
et φ=arg  H(jw)  =-arctang(
2
3w
).
2-w 2
Bode Diagram
0
Magnitude (dB)
-20
-40
-60
-80
-100
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-2
10
-1
0
10
1
10
10
2
10
Frequency (rad/s)
Exercice 2:
1. Expression de courant: I(p)=
2. I(p)=
2mw 0 .p
E(p) .
R.(1+2mw 0 .p+w 02 )
2p
E(p) ; i(0) = 0, i(+) = 0.
(p +2p+1)
2
3. Expression de courant: I(p)=
20
, d’ou i(t)=20te-t .u(t)
(p+1) 2
4. Temps et courant maximums: tmax=1s et i max =i(t max )=20e-1 =7.35A .
Asservissement & Régulation
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Eléments de solutions d’Exercices
10
e:Entrée
i:Sortie
9
X: 1.01
Y: 7.357
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
Temps(s)
8
10
Exercice 3:
1. Transformée de Laplace de:
 L  f(t) =F(p)=
E (1-e-PT )
E
.
et f(t)= . tu(t)-(t-T)u(t-T) 
2
T
p
T
 L  g(t) =G(p)=
E (1-e-PT )
e-PT
E
.
-E.
et g(t)=  t.u(t)-(t-T).u(t-T)  -E.u(t-T)
2
T
p
p
T
2
E  1-e-PT  E 1 2e-PT e-2PT
 L  h(t)  =H(p)= . 
+ 2 ).
 = .( T  p  T P2 P2
P
h(t)=
E
 tu(t)-2.(t-T)u(t-T)+(t-2T)u(t-2T)
T
E.(1-e-PT ) E.(e-PT -e
 L  k'(t)  =K'(p)=pK(p)-pk(0) , d’ou K'(p)=
Tp
Tp
On obtient: K(p)=
k(t)=
-
3PT
2
) E.e-PT
.
2
3PT
E
E
-PT
2
(1-2e
+e
)- e-PT ;
2
Tp
2P
E
3
3  E
tu(t)-2(t-T)u(t-T)+(t- T)u(t- T)  - (u(t-T)

T
2
2  2
Asservissement & Régulation
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Eléments de solutions d’Exercices
dk(t)
=k'(t)
dt
E
T
t(s)
0
E
2
E
T
3T
2
T
Exercice 4:
1. Fonction de transfert du processus: G(p)=
Y(p)
5
=
U(p) 1+2p
p
1
2
2. Réponse du processus: Y(p)=50.( ).(1-e 10 ) , d’où
P 1+2p
y(t)=50.  (1-e-0.5t )u(t)-(1-e-0.5(t-0.1) )u(t-0.1) .
10
u:Entree
y:Sortie
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
Asservissement & Régulation
0.2
0.4
0.6
Temps(s)
Page: 66
0.8
1
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Eléments de solutions d’Exercices
Exercice 5:
1. Fonction de transfert du processus: H(p)=
Y(p) 8.(p+1)
=
.
U(p) (p+3)2
2. Réponse du procédé à une impulsion unitaire: Y(p)=H(p).U(p)=8(
1
2
).
p+3 (p+3)2
3. Valeurs initiale et finale de y(t) :
 8p+8p 2 
 8p+8p 2 


 =0 .
;
y(0)= lim [p.Y(p)]= lim 
=8
y(+

)=
lim
[p.Y(p)]=
lim

2 
p
p®+¥  (p+3) 2 
p 0+
p 0 + 
 (p+3) 
4. Expression et allure de y(t)=8e-3t (1-2t).u(t) .
8
y:Sortie
7
6
5
4
3
2
1
X: 0.77
Y: -0.4288
0
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps(s)
3
3.5
4
4.5
5
 y(t)min =-0.46 , pour t1 =0.77
Exercice 6:
1. Fonction de transfert : H(p)=
1
Mp +hp+k
2
K.w 20
1
h
k
2. Expression de H(p)= 2
, avec K= ; m=
et w 0 =
.
2
p +2mw 0 .p+w 0
k
M
2 M.k
3. Expression de X(p)=
K.w 20
.
p 2 +2mw 0 .p+w 20
Asservissement & Régulation
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Eléments de solutions d’Exercices
4. Pour K=1, w0=1 et m=0.5, l’expression devient
X(p)=
3
2
1
1
2
=
=
.
1
3
p +p+1 (p+ ) 2 +
3
1
3 2
(p+ ) 2 +(
)
2
4
2
2
2
5. Expression temporelle de x(t)=
2 - 2t
3
e .sin(
t) , pour f(t)=δ(t)
2
3
6. Réponse Impulsionnelle de x (t):
0.6
y:Sortie
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
5
10
15
Temps(s)
Ce régime est appelé pseudopériodique, le système est stable car ( x(+)=0 ).
7. Fonction de transfert en boucle fermée:
T(p)=
8. K B =
K.w 02
K B .w B2
=
.
p 2 +2mw 0 .p+K.w 20 +w 20 p 2 +2m B w B .p+w 2B
K
1
m
1
= ; w B =w 0 1+K = 2 et m B =
=
, d’où la fonction de transfert en
1+K 2
1+K 2 2
boucle fermée: T(p)=
1
.
p +p+2
2
Asservissement & Régulation
Page: 68
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Eléments de solutions d’Exercices
9. Expression de x(t) en boucle fermée pour un échelon f(t)=10.u(t) , on a donc:
X(p)=

10
, vaut alors: x(t)=5 1-e
2
p(p +p+2)

1
- .t
2

1
8
7
).
.cos(
.t-φ)  u(t) et φ=arctan(
7
2
7

 Allure de x(t):
10
f:Entrée
x:Sortie
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
Temps(s)
8
10
Exercice 7:
1. H(p)=
p+1
p +(λ+1)p 2 +(λ+1)p+2
3
2. Equation caractéristique: p 3 +(λ+1)p 2 +(λ+1)p+2=0
3. Table de Routh
Asservissement & Régulation
p3
1
λ+1
0
p2
λ+1
1
0
p1
(λ+1) 2 -2
λ+1
0
0
p0
2
0
0
Page: 69
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Eléments de solutions d’Exercices
4. Conditions de stabilité
λ+1>0

 λ>-1+ 2
λ+1) 2 -2>2
Exercice 8:
1. Fonction de transfert H(p)=
1
1
1
=
=
.
1+RCp 1+τp 1+0.5p
2. Fonctions de transfert: F1 (p)=
3. L e(t)  =
1
1
et F2 (p)=
.
R
C.p
E -pT
e .
p
4. On a S(p)=H(p).E(p)=
E.e-pT
.
p(1+0.5p)
5. On a s(t)=E(1-e-2(t-T) ).u(t-T)
20
u:Entrée
y:Sortie
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
Temps(s)
8
10
Le temps de reponse: t r =2.5s .
Asservissement & Régulation
Page: 70
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Eléments de solutions d’Exercices
Exercice 9:
1. H(p)=
45
, c’est système d’ordre (2).
p +3p+9
2. H(p)=
k.w 20
1
; on trouve k=5; m= et w 0 =3(rad/s) .
2
2
p +2mw 0 .p+w 0
2
2
1
3. Le facteur d’amortissement vaut ( m= <1 ), donc le système est pseudopériodique.
2
4. S(p)=H(p).E(p)=
45
2 3 - 32 t
3 3 π
,
d’où
s(t)=[1e .sin(
t+ )] .
2
p(p +3p+9)
3
2
3
6
u:Entrée
y:Sortie
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
Temps(s)
4
5
T
2
2
5. Tp =
=2.418s ; t p = p =
=1.209s et D(%)=100.e
wp
2 wp
Asservissement & Régulation
Page: 71
π.m
1-m 2
=16.3 .
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Eléments de solutions d’Exercices
6. Diagramme de Bode.
20
G(dB)
0
-20
-40
-60
-1
10
0
1
10
10
2
10
0
 (°)
-50
-100
-150
-200
-1
10
0
1
10
10
2
10
(rad/s)
Exercice 10:
1. F(p)=
NumF (p)
k
.
= 3 2
Den F (p) 2p +p +3p+k+1
2. L’équation caractéristique est obtenue par: D F (p)=2p 3 +p 2 +3p+k+1=0 .
3. Table de Routh
p3
2
3
0
p2
1
k+1
0
p1
1-2.k
0
0
p0
k+1
0
0
1-2k>0
1
Les conditions de stabilité sur k pour que le système soit sont fournies par: 
 0  k< .
2
 k+1>0
Asservissement & Régulation
Page: 72
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Eléments de solutions d’Exercices
Signaux Usuels
Impulsion
Porte
1
P(t)
(t)
1
0.5
0
-10
-5
0
5
0.5
0
-10
10
-5
Echelon
5
10
5
10
1
Signe(t)
u(t)
1
0.5
0
-10
-5
0
5
0
-1
-10
10
Rampe
-5
0
Peigne de Dirac
1
Pgn(t)
10
r(t)
0
Signe
5
0
-10
-5
0
Temps(s)
5
0
-1
-10
10
-5
0
Temps(s)
5
10
1
Ds(t)
Ds(t):Signal-Dent-Scie
0
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
1
Rect(t)
Rect(t):Signal-Carre
0
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
1
Tri(t)
Trit(t):Signal-Triangulaire
0.5
0
0
0.02
Asservissement & Régulation
0.04 0.06
Temps(s)
0.08
Page: 73
0.1
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