TIPE Le théorème des nombres premiers : approche par les fonctions holomorphes Céline Nadal Préliminaires I La fonction ζ de Riemann II Le théorème des résidus III Le théorème des nombres premiers 1 Préliminaires Le théorème des nombres premiers donne un équivalent en l’infini de π(x), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x : π(x) ∼ lnxx (cela revient à donner un équivalent du nième nombre premier : pn ∼ n ln n). Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème. La preuve présentée ici est historiquement la première, celle de Hadamard et La Vallée Poussin (1896). Elle s’appuie sur l’étude de la fonction ζ de Riemann en faisant appel à la théorie des fonctions holomorphes. 1 Les fonctions π et ψ Définitions : π(x) = X ψ(x) = 1 p≤x avec : ( Λ(n) = X Λ(n) n≤x ln p si n = pν ν ≥ 1 0 sinon Théorème : lim inf π(x) ln x x = lim inf ψ(x) x lim sup π(x) ln x x = lim sup ψ(x) x x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ Corollaire : les propriétés suivantes sont équivalentes (i) π(x) ∼ (ii) x ln x ψ(x) ∼ x Cette équivalence permet une démonstration du théorème des nombres premiers par l’étude de la fonction ψ dont on verra qu’ elle est directement liée à la fonction ζ de Riemann. Proposition : X x ψ( ) = ln([x]!) n n≤x Les fonctions x → ln([x]!) et ψ constituent alors un µ-couple de Möbius. A l’aide de la formule de Stirling, ln([x]!) = x ln x − x + O(xβ ), 0 < β < 1, on montre le deuxième théorème de Tchebytchef : ψ(x) = O(x) 2 (1) 2 Formule sommatoire d’Abel Théorème Soit (an ) une suite de complexes, soit φ : [1, ∞[−→ une application C 1 P pour x > 1 ; soit A(x) = n≤x an ; alors, pour tout x ≥ 1, Z x X an φ(n) = A(x) φ(x) − A(u) φ0 (u) du (2) 1 n≤x Dém. : A(x) φ(x) − X an φ(n) = n≤x = X = Z = X an [φ(x) − φ(n)] n≤x x Z an φ0 (u) du n n≤x xX an φ0 (u) du 1 n≤u Z x A(u) φ0 (u) du 1 Corollaire : avec les mêmes hypothèses, si de plus lim A(x) φ(x) = 0, x→∞ alors Z ∞ ∞ X an φ(n) = − (3) A(u) φ0 (u) du 1 n=1 sous réserve d’existence de l’un des deux membres de l’égalité. 1 La fonction ZETA de Riemann Définition : ζ(s) = ∞ X s = σ + it n−s σ>1 n=1 (la série converge absolument pour σ > 1, et normalement pour σ ≥ 1 + δ, δ > 0). Prop. Y ζ(s) = (1 − p−s )−1 p 3 1.1 Les fonctions holomorphes Soit f : Ω → , Ω ouvert de . Définition on dit que f est holomorphe dans l’ouvert Ω si ∀z0 ∈ Ω, ∃ lim z→z0 f (z) − f (z0 ) = f 0 (z0 ). z − z0 On note H(Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes dans Ω. Proposition si ( f, g) ∈ H(Ω)2 , alors f + g et f g sont holomorphes dans Ω. Si g ∈ H(Ω1 ) et f ∈ H(Ω2 ), avec g(Ω1 ) ⊂ Ω2 , alors f og ∈ H(Ω1 ). Proposition Si f est développable en série entière dans Ω, alors f ∈ H(Ω). Application : ln(1 + z) est holomorphe pour |z| < 1. On admet ici que ζ est holomorphe pour σ > 1. Ceci est une conséquence de la formule de Cauchy qui sera présentée en II. Définition (pôle) Soit f ∈ H(Ω\{a}), on dit que f a un pôle d’ordre m en a si ∃ (c1 , ..., cm ) ∈ m , cm , 0, tq. m X ck f (z) − (z − a)k k=1 se prolonge en fonction holomorphe dans Ω. On dit que c1 est le résidu de f en a, on note c1 = Res( f, a). Définition (zéro) soit f ∈ H(Ω), a ∈ est appelé zéro de f si f (a) = 0. 4 1.2 ζ et le théorème des nombres premiers ζ n’a pas de zéro dans le 1/2 plan σ > 1, on peut donc en prendre le logarithme (détermination principale) : X ln ζ(s) = − ln(1 − p−s ) p On dérive au sens des fonctions holomorphes (dérivation complexe): X ζ 0 (s) = − p−s ln p (1 − p−s )−1 ζ(s) p = − X p−s ln p X ∞ X ln p p−νs ν=1 p X = − p−νs ν=0 p = − ∞ X n≥1, n=pν ∞ X ln p Λ(n) = − s n ns n=1 On pose Z(s) = − Or, par définition : ψ(x) = ζ est donc très liée à ψ. 1.3 P ∞ X Λ(n) ζ 0 (s) = ζ(s) ns n=1 n≤x (4) Λ(n) Relation entre Z et ψ Rx On pose ψ1 (x) = 1 ψ(u) du pour x ≥ 1 Théorème : pour s = σ + it et σ > 1, Z ∞ dx Z(s) = s(s + 1) ψ1 (x) s+2 x 1 P∞ Λ(n) Dém. : σ > 1, Z(s) = n=1 ns . On applique (3) (Abel) à : X an = Λ(n) A(x) = an = ψ(x) n≤x φ(x) = A(x)φ(x) = 1 xs ψ(x) x→∞ −→ 0 xs 5 (5) car ψ(x) = O(x). D’où Z(s) = ∞ X ∞ an φ(n) = − Z = s Z A(u)φ0 (u) du 1 n=1 ∞ 1 ψ(u) du u s+1 Intégrons par parties : ψ1 (x) Z(s) = s [ s+1 ]∞ 1 + s(s + 1) x ∞ Z 1 ψ1 (u) du u s+2 ψ(x) = O(x) ⇒ ψ1 (x) = O(x2 ) donc ψ1 (x) x→∞ −→ 0. x s+1 De plus ψ1 (1) = 0 d’où (5). Par inversion de la formule, on montrera que, pour x ≥ 1 et c > 1 : ψ1 (x) = 1.4 1 2iπ Z c+i∞ c−i∞ Z(s) x s+1 ds s(s + 1) Prolongement analytique de ζ Théorème On peut prolonger ζ de façon holomorphe au 1/2 plan σ > 0 privé de s = 1 en lequel le prolongement a un pôle simple de résidu 1. P 1 Dém. : soit σ > 1 ; ζ(s) = ∞ n=1 n s On applique (3) (Abel) à an = 1 1 φ(x) = xs avec A(x)φ(x) = [x] xs A(x) = [x] x→∞ ≤ x1−s −→ 0 car Re(1 − s) = 1 − σ < 0 : Z ∞ ∞ X 1 A(u) φ0 (u) du = − s n 1 n=1 Z ∞ [u] = s du s+1 1 u ζ(s) = 6 et comme [u] = u − {u}, pour σ > 1 s ζ(s) = − s s−1 ∞ Z 1 {u} du u s+1 1 Or | u{u} s+1 |≤ u s+1 est intégrable sur [1, +∞[ pour σ > 0, et, u étant fixé, s → u{u} s+1 est holomorphe pour σ > 0. Le prolongement de ζ est donc holomorphe pour σ > 0, s , 1 (on applique le théorème de convergence dominée qui reste valable pour la dérivation complexe). 1.5 Zéros de ζ Théorème ζ n’a pas de zéro pour σ ≥ 1. Démonstration Pour σ > 1, ζ(s) = σ > 1. P∞ 1 n=1 n s = Q p (1 − p−s )−1 , donc ζ n’a pas de zéro pour Cas σ = 1 : (a) ∀σ > 1, | ζ(σ) |3 | ζ(σ + it) |4 | ζ(σ + 2it) | ≥ 1. Preuve : ln ζ(σ + it) = − X −(σ+it) ln(1 − p ) = ∞ XX ν−1 p−ν(σ+it) p ν=1 p ln | ζ(σ + it) | = Re(ln ζ(σ + it)) ∞ XX = ν−1 p−νσ cos(νt ln p) p ν=1 or 0 ≤ 2(1 + cos φ)2 = 3 + 4 cos φ + cos 2φ donc 3 ln | ζ(σ) | +4 ln | ζ(σ + it) | + ln | ζ(σ + 2it) |≥ 0. 7 (b) Par l’absurde : supposons qu’il existe t0 tel que ζ(1 + it0 ) = 0. Alors t0 , 0, car s = 1 est un pôle de ζ. 1 Pour σ > 1, σ → 1, ζ(σ) = O( σ−1 ). ζ(1 + it0 ) = 0 et ζ holomorphe (σ > 0, s , 1), donc pour σ → 1, ζ(σ + it0 ) = O(σ − 1), et ζ(σ + 2it0 ) = O(1) car ζ holomorphe. Dès lors | ζ(σ) |3 | ζ(σ + it0 ) |4 | ζ(σ + 2it0 ) | = O( 1 . (σ − 1)4 . 1) = O(σ − 1) (σ − 1)3 ce qui tend vers 0 pour σ → 1, et donc contredit (a). 2 Le théorème des résidus 2.1 Intégrale sur un chemin Définitions • γ : [α, β] −→ est un chemin si γ est continu de classe C 1 par morceaux. Par définition, Z f (z)dz = γ Z α β f (γ(t)) γ 0 (t) dt • γ est fermé si γ(α) = γ(β). Proposition si f ∈ H(Ω) et f 0 C 0 sur l’ouvert Ω, et γ chemin fermé dans Ω, alors Z f 0 (z)dz = 0. γ Application : Z γ zn dz = 0 pour n ∈ \{−1} 0 < γ∗ 8 Proposition ∗ ∗ Soient γ chemin R dζ (γ = γ[α, β]) et Ω un ouvert tq. γ ∩ Ω = ø. Alors f (z) = γ ζ−z est développable en série entière dans Ω. Dém. ∀z ∈ D(a, r) ⊂ Ω, +∞ X (z − a)n 1 = ζ−z (ζ − a)n+1 n=0 (ζ ∈ γ∗ et inf ζ∈γ∗ | ζ − a | > r). La série converge normalement sur γ∗ , donc f (z) = +∞ X Z γ n=0 +∞ X (z − a)n dζ = cn (z − a)n (ζ − a)n+1 n=0 dζ γ (ζ−a)n+1 où cn = R 2.2 Indice d’un point par rapport à un chemin γ fermé Définition (indice) On appelle indice du point z par rapport au chemin γ fermé le complexe : Z dζ 1 Indγ (z) = 2iπ γ ζ − z pour z ∈ Ω, où Ω = − γ∗ . Théorème Soient γ un chemin fermé et Ω = − γ∗ . On a alors les résultats suivants : • Indγ (z) ∈ • Indγ est constant sur chaque composante connexe de Ω • Indγ est nul sur la composante connexe non bornée de Ω. 9 Dém. (a) R t γ0 (s) ds). soit φ(t) = exp( α γ(s)−z Indγ (z) ∈ ⇔ φ(β) = 1 φ0 (t) γ0 (t) φ(t) φ(t) = γ(t)−z , donc γ(t)−z est constant sur [α, β]. φ(α) = 1 donc φ(β) = γ(β)−z γ(α)−z = 1 car γ est fermé. (b) z −→ Indγ (z) est holomorphe donc continue sur Ω. Si C est une composante connexe de Ω, alors Indγ (C) est un connexe de . Or Indγ (C) ⊂ , donc Indγ (C) = {a}. (c) z→∞ Indγ (z) −→ 0, donc sur la composante connexe non bornée de Ω, Indγ est nul. Application : calcul de l’indice d’un point par rapport à un cercle. Soit un cercle γ de centre a ∈ et de rayon r > 0. Alors ( 1 si | z − a | < r Indγ (z) = 0 si | z − a | > r Dém. Soit z ∈ tq. | z − a |< r. Indγ (z) = Indγ (a). Indγ (a) = 1 2iπ Z γ dζ 1 = ζ−a 2iπ 2π Z 0 i r eit dt = 1 r eit car γ(t) = a + r eit , pour 0 ≤ t ≤ 2π, et γ0 (t) = i r eit . On admet le théorème de Jordan : si γ est à points simples (injectif sur [α, β[ ), γ∗ sépare l’espace en deux composantes connexes, l’une bornée, l’autre non. On admettra que l’on peut montrer, par déformation continue de γ, que dans ce cas, l’indice d’un point intérieur (appartenant à la composante connexe bornée) par rapport à γ vaut toujours 1. 10 2.3 Théorème de Cauchy dans un ensemble convexe Théorème Soit Ω un ouvert convexe de ; f ∈ H(Ω\{p}), C 0 sur Ω ; γ chemin fermé dans Ω ; R Alors γ f (z)dz = 0. 2.4 Théorème des résidus Théorème Soient Ω un domaine (ouvert, connexe) convexe, (a1 , ..., an ) ∈ Ωn des points distincts, f ∈ H(Ω\{a1 , ..., an }) tq f a un pôle en ak pour tout 1 ≤ k ≤ n. Soit γ un chemin fermé dans Ω tel que ∀k, ak < γ∗ Alors : Z n X 1 f (z)dz = Res( f, ak ) Indγ (ak ). 2iπ γ k=1 Dém. On note Qk la partie principale de f en ak . f − Q1 − ... − Qn est holomorphe sur Ω\{a1 , ..., an }, et prolongeable en une fonction holomorphe sur Ω. Donc d’après Cauchy, R γ ( f − Q1 − ... − Qn )dz = 0. pour 1 ≤ j ≤ n fixé, Q j = j ck γ (z−a j )k R j ck k=1 (z−a j )k Pm j j , c1 = Res( f, a j ). dz = 0 pour k ≥ 2 car a j < γ∗ . Par définition de l’indice, Indγ (a j ) = R Q j dz = Res( f, a j ) Ind j (a j ). γ 1 2iπ R dz , γ z−a j donc Application : formule de Cauchy dans un ensemble convexe Soit γ un chemin fermé, Ω un ouvert convexe tel que γ∗ ⊂ Ω, et f ∈ H(Ω) ; pour z ∈ Ω − γ∗ : Z 1 f (ξ) f (z) Indγ (z) = dξ (6) 2iπ γ ξ − z 11 On peut alors démontrer un théorème fondamental sur les fonctions holomorphes : toute fonction holomorphe dans Ω est développable en série entière dans Ω. 3 Théorème des nombres premiers 3.1 Application du théorème des résidus On pose E(x) = 0 si x ≤ 1 = x − 1 si x > 1 Théorème (a) ∀σ > 0, 1 s(s+1) = R∞ E(x) x s+2 0 dx (b) si c > 0 fixé, alors ∀x ≥ 0, 1 E(x) = 2iπ c+i∞ Z c−i∞ x s+1 ds s(s + 1) Dém. s+1 s+1 s+1 x (b) f (s) = s(s+1) = x s − xs+1 ∈ H(\{−1, 0}) Res( f, 0) = x, Res( f, −1) = −1 • x ≥ 1 : c > 0, T > 1, R = √ c2 + T 2 on applique le théorème des résidus sur Γ ∪ [c − iT, c + iT ] (voir figure 1a) Z Z c+iT 1 1 f (s)ds + f (s)ds = x − 1 = E(x) 2iπ Γ 2iπ c−iT on prend la limite T −→ ∞ or Z | Γ f (s)ds | ≤ ∞ (R ∼ T ) 12 2πRx1+c T →∞ −→ 0 R(R − 1) • 0 ≤ x < 1 : On applique le théorème des résidus sur Γ1 ∪ [c − iT, c + iT ] (voir figure 1b) 1 2iπ Z Γ1 1 f (s)ds + 2iπ c+iT Z Or Z | Γ1 f (s)ds = 0 = E(x) c−iT f (s)ds | ≤ 2πRx1+R T →∞ −→ 0 R(R − 1) (car x < 1). 3.2 Inversion de la formule liant Z et ψ1 On a montré en 1.3, pour σ > 1 : Z(s) = s(s + 1) ∞ Z ψ1 (x) 1 dx x s+2 Théorème ∀x ≥ 1, ∀c > 1, ψ1 (x) = 1 2iπ Z c+i∞ c−i∞ Z(s) x s+1 ds s(s + 1) Dém. Z(s) = − or | xc+1 Λ(n) Λ(n)x s+1 | ≤ n s s(s + 1) nc (t2 + c2 ) donc Z c+i∞ c−i∞ (car t −→ ∞ Z X n=1 xc+1 Λ(n) nc (t2 +c2 ) c+i∞ c−i∞ ∞ X ζ 0 (s) Λ(n) = ζ(s) ns n=1 Λ(n)x s+1 ds n s s(s + 1) pour s = c + it est définie intégrable sur ), Z +∞ ∞ X Λ(n)x s+1 Λ(n) xc+1 | s | ds ≤ dt 2 2 n s(s + 1) nc −∞ (t + c ) n=1 | {z } | {z } Z(c) 13 K(x) < ∞ Par le théorème de Fubini on a Z c+i∞ Z(s) x s+1 ds s(s + 1) c−i∞ Z c+i∞ x s+1 ∞ ∞ X X (n) x ds = 2iπ nΛ(n) E( ) = nΛ(n) s(s + 1) n c−i∞ n=1 n=1 X X x = 2iπ nΛ(n) ( − 1) = 2iπ Λ(n) (x − n). n n≤x n≤x Appliquons (2) (Abel) avec : an = Λ(n), A(x) = ψ(x), et φ(x) = x. Z x Z x A(u) φ0 (u) du = ψ(u)du = ψ1 (x) 1 d’où 1 X Λ(n) (x − n) = ψ1 (x) n≤x 3.3 Choix d’un contour On a ψ1 (x) 1 = 2 2iπ x Z c+i∞ c−i∞ Z(s) x s−1 ds s(s + 1) On pose A(s) = Z(s) x s−1 s(s + 1) avec Z(s) = − ζ 0 (s) ζ(s) On se place sur Ω = {s = σ + it | σ > 0}. x s−1 s(s+1) est holomorphe sur Ω. Z est holomorphe en tout point s , 1 de Ω tel que ζ(s) , 0. En s = 1 : 1 ζ(s) a un pôle simple en s = 1 : ζ(s) = s−1 + h(s), avec h holomorphe pour σ > 0. 1 ζ 0 (s) a donc un pôle double en s = 1 : ζ 0 (s) = − (s−1) + h0 (s), avec 2 0 h holomorphe pour σ > 0. D’où : ζ 0 (s) 1 − (s − 1)2 h0 (s) Z(s) = − = ζ(s) (s − 1)(1 + (s − 1)h(s)) Z a donc un pôle simple en 1 et : Res(Z, 1) = 1, Res(A, 1) = 1/2. 14 Pour déterminer l’équivalent de ψ1x(x) en l’infini, on veut appliquer le théorème 2 des résidus sur un contour C délimitant une surface S telle que : (a) S soit contenue dans le demi plan σ > 0 (b) l’unique pôle de Z (donc de A) dans S soit le pôle s = 1 (l’équivalent recherché est 1/2, ce qui correspond à Res(A, 1)). Un pôle de Z en s ∈ Ω tq s , 1 est un zéro de ζ. On peut donc remplacer (b) par : ζ(s) , 0 pour s ∈ S . ζ n’a pas de zéro pour σ ≥ 1 ; mais on ne sait pas trouver facilement un σ0 tel que ζ n’ait pas de zéro dans tout le demi plan σ ≥ σ0 . Cependant, on peut se contenter d’un rectangle dans la zone 0 < σ ≤ 1. Or (s − 1)ζ(s) est holomorphe pour σ > 0, donc pour tout T > 0, ζ a un nombre fini de zéros dans l’intervalle −T ≤ t ≤ T , 0 < β ≤ σ < 1. Par conséquent ∀T > 0, ∃ β ∈]0, 1[, ζ(σ + it) , 0 pour β ≤ σ < 1. − T ≤ t ≤ T, (7) On peut donc choisir pour contour la réunion de deux rectangles (voir figure 2) : C = {s = σ + it tq β ≤ σ ≤ 1 et − T ≤ t ≤ T } U {1 ≤ σ ≤ c et − T 0 ≤ t ≤ T 0 } où T 0 > 0 qu’on fera tendre vers l’infini, et c > 1. 3.4 Théorème des nombres premiers Théorème Pour x → ∞, ψ1 (x) ∼ 1 2 x 2 (8) Dém. A(s) = Z(s) x s−1 s(s + 1) Soit > 0. On applique le théorème des résidus sur C : 1 1 = [ 2 2iπ Z A(s)ds + HA Z A(s)ds + Z A(s)ds + L(T,T 0 ) AB 15 Z A(s)ds] GH (a) Lemme : ∃ c0 > 0, ∃ β > 1, ∀σ ≥ 1, ∀t, | t | ≥ 8, | Z(σ + it) | ≤ c0 (ln |t|) β On en déduit : Z T 0 →∞ A(s)ds = O(T 0−2 (ln T 0 )β ) −→ 0. AB De même pour GH. Or Z Z T 0 →∞ A(s)ds −→ AH c+i∞ c−i∞ Z(s) x s−1 ψ1 (x) ds = 2iπ 2 s(s + 1) x En prenant la limite T 0 → ∞ dans (a), Z ψ1 (x) 1 1 | | ≤ | − A(s)ds | 2 2π x2 L(T,∞) On peut alors jouer sur le paramètre T qui peut être pris aussi grand que l’on veut. Z 1−i∞ Z 1+i∞ T →∞ | A(s)ds | + | A(s)ds | = O(T −1 (ln T )β ) −→ 0 1−iT donc : ∃ T 1 , ∀T ≥ T 1 , | 1+iT R 1−i∞ 1−iT A(s)ds | + | R 1+i∞ 1+iT A(s)ds | ≤ π. T ≥ T 1 étant fixé, on peut trouver un β(T ) vérifiant (7), ce qui détermine le contour C. Enfin, comme on s’intéresse au comportement de ψ en l’infini, on peut imposer à x d’être suffisamment grand. Z ∃ X, ∀x ≥ X, | A(s)ds | ≤ π CDEF donc pour x ≥ X, | π + π ψ1 (x) 1 − |≤ ≤ . 2 2 2π x CQFD. 16 A partir de l’équivalent (8) de ψ1 , primitive de ψ, on en déduit l’équivalent de ψ : ψ(x) ∼ x (9) D’après les préliminaires, on a donc obtenu par (9) l’équivalent cherché : Théorème des nombres premiers Pour x → ∞, π(x) ∼ 17 x ln x (10) t c+iT Γ R -1 c 0 σ c-iT (a) t c+iT R -1 0 c Γ1 σ c-iT (b) Figure 1: (a) (en haut) cas x ≥ 1 ; (b) (en bas) x < 1. 18 t B A 1+iTO β+iT β c 1 E β-iT C C D 0 c+iTO σ F 1-iT c-iTO O G H Figure 2: Contour d’application du théorème des résidus 19 Bibliographie • Ellison W. J., Les nombres premiers, Hermann, Paris, 1975 (essentiellement les deux premiers chapitres qui exposent la preuve du théorème des nombres premiers présentée ici). • Rudin W., Analyse réelle et complexe, Masson, Paris, 1992 (principalement pour comprendre les bases de la théorie des fonctions holomorphes). • Serre J.-P., Cours d’arithmétique, Presses Universitaires de France, 2nde édition, 1977 (plus particulièrement pour les méthodes analytiques). • Tenenbaum G. et Mendès France M., Les nombres premiers, collection ”Que sais-je ?”, Presses Universitaires de France, 1997 20