Chap 1 addition soustraction relatifs

ADDITION ET SOUSTRACTION DES DECIMAUX RELATIFS
I Généralités
Rappels : - Un nombre entier est un nombre dont la partie décimale est constituée uniquement de zéros
- Un nombre décimal s'écrit avec des chiffres après la virgule
Définition : Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe " + " ou d'un signe " – ".
Exemple : (+13) ; (+2,5) ; (– 8) ; (– 3,675) sont des nombres relatifs
Définition : On appelle distance à zéro d'un nombre décimal relatif le nombre lui-même s'il est positif et le
nombre privé du signe " – " s'il est négatif
Exemple : la distance à zéro de (+8) est 8 mais la distance à zéro de (– 4) est 4
II Addition et soustraction : rappel de 5ème
1 ) Règles pour l'addition
Règle n°1 : la somme de deux décimaux relatifs de même signe est un décimal relatif ayant :
- pour signe : le signe commun aux deux nombres
- pour distance à zéro : la somme des distances à zéro des deux nombres
Exemples :
(+8)+(+5) = + (8+5)
= (+ 13)
( – 9 ) + ( – 4, 5 ) = – ( 9 + 4,5 )
= (– 13,5)
Règle n°2 : la somme de deux décimaux relatifs de signe contraire est un décimal relatif ayant :
- pour signe : le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro
- pour distance à zéro : la différence entre la plus grande et la plus petite des distances à zéro
des deux nombres
Exemples : ( – 6 ) + ( + 2 )
– 6 a pour distance à zéro 6
2 a pour distance à zéro 2
Comme 6 > 2 , le signe du résultat celui de ( – 6 )
( – 6 ) + ( + 2 ) = – ( 6 – 2) = (– 4)
( + 3,7 ) + ( – 2,5)
3,7 a pour distance à zéro 3,7
– 2,5 a pour distance à zéro 2,5
Comme 3,7 > 2,5 , le signe du résultat celui de ( + 3,7 )
( + 3,7 ) + ( – 2,5) = + ( 3,7 – 2,5 ) = (+ 1,2)
( – 9,6 ) + ( + 11)
11 a pour distance à zéro 11
– 9,6 a pour distance à zéro 9,6
Comme 11 > 9,6 , le signe du résultat celui de ( + 11 )
( – 9,6 ) + ( + 11) = + ( 11 – 9,6 ) = (+ 1,4)
2 ) Opposé d'un nombre
Définition : deux décimaux relatifs sont opposés l'un de l'autre signifie que leur somme est égale à 0
Remarque importante : deux nombres opposés sont uniquement différenciés par leur signe. Ils sont de signe
contraire
Exemples : (+12,5) et ( – 12,5) sont opposés car (+12,5) + ( – 12,5 ) = 0
(– 3,7485) et (+3,7485) sont opposés car (– 3,7485) + (+3,7485) = 0
3 ) Règle pour la soustraction
Règle : soustraire un décimal relatif , c'est ajouter son opposé. On applique ensuite les règles de
l'addition.
Exemples :
(–9)–(–8)=(–9)+(+8)
car l'opposé de ( – 8 ) est + 8
8 a pour distance à zéro 8
– 9 a pour distance à zéro 9
( – 6,5 ) – ( + 3 ) = ( – 6,5 ) + ( – 3 ) car l'opposé de ( + 3 ) est – 3
Comme 9 > 8 , le signe du résultat celui de ( – 9 )
= – ( 6,5 + 3)
( – 9 ) – ( – 8 ) = ( – 9 ) + ( + 8 ) = – ( 9 – 8 ) = (– 1)
= (– 9,5)
III Somme algébrique :
1) Règles de simplification d'écriture :
Lorsque on écrit des nombres relatifs, il est possible de supprimer des signes + lorsqu’il n’y a pas d’erreurs
possibles :
• Quand on écrit 5 , on considère que c’est le nombre relatif (+5)
• En général, le nombre relatif (+7) s’écrira 7 et le nombre relatif (−6) s’écrira −6
• Lorsque l’opération est une addition , le signe de l’opération est sous-entendu
Exercice type avec l’addition
A = (−3) + (+ 6)
A = −3
+ 6 on fait –3 suivie de +6 , on descend de 3 et on remonte de 6
A = + 3 donc A = 3
•
B = 3 + (−1)
B = 3 −1
B=2
Lorsque l’opération est une soustraction , cela revient à ajouter l’opposé : ajouter signifie une addition et on
ne met plus ce signe d’opération et il suffit d’écrire l’opposé du nombre
Exercice type avec la soustraction
C = (−4) − (+2)
C = − 4 (+ sous entendu) − 2
C=−6
D = −5 − (−6)
D = −5 +6
D=1
2) Exercices types :
Calcule
S = (+3) + (+4) + (-2) + (-7) + (+2) + (-6) + (-4) + (+9) on supprime les opposés
S = (+3) + (+9) + (-7) + (-6)
on regroupe les termes en fonction des signes
S=
S = -2
(+11)
+
(-13)
on calcule séparément (plus de pb de signe)
On commence par entourer les signes – qui sont devant une
Calcule :
parenthèses (cela signifie qu’il va y avoir changement)
A= (+5) − (−9) + (+6)−
− (+8) + (−7) + (−9) On transforme la soustraction en addition en changeant le
A= (+5) + (+9) + (+6)+ (−8) + (−7) + (−9) signe des ( )
On supprime les signes de l’addition et les ( )
+ 9 +6
−8
−7 −9
A=5
On élimine les opposés s’il y en a
Et on regroupe les nombres positifs entre eux et les nombres
A = 5 +6
−8 −7
négatifs entre eux
A = 11
−15
On calcule séparément les + et les –
A = −4
Et on conclut
Calcule
V= −5 − (−8) −7 + 6 + (−9)
V = −5 +8 −7 + 6 −9
V= −5 −7 −9 +8 +6
V = −21
+14
V = −7
On commence par simplifier la somme S
On regroupe les nombres positifs entre eux et
les nombres négatifs entre eux
On calcule
O = −5 − (−6 + 4) + (7 −11) − 2
O = −5 +6 −4 +7 −11 − 2
Etc…
O=−9
On commence par entourer les signes – qui sont devant une
parenthèses (cela signifie qu’il va y avoir changement)
On simplifie l’écriture en supprimant les ( ) et on change le
signe des ( ) repérées
N = 10 + (-15+17) - (1-4+8) - (-5) + 4 + (-8) + 9 + (-14) + 9
…
N = 12