U.J.F. (Grenoble I) UE Mat243 Probabilité : Contrôle Continu du 8/03/07 Durée 1h30. Notes de cours polycopiées autorisées. Pas de calculette. Exercice A Soit A, B, C, D des événements d'un espace probabilisé ni (Ω, P ). 1. On suppose que A ∩ B ⊂ C . Montrer que P (A) + P (B) ≤ 1 + P (C). 2. On suppose que A ∩ B ∩ C ⊂ D. Montrer que P (A) + P (B) + P (C) ≤ 2 + P (D). [on pourra passer au complémentaire] Exercice B Un jour, Damien essaye d'appeler au téléphone Alice, Benoît et Carole pour leur proposer une sortie en montagne. On suppose que les événements A = Damien parvient à joindre Alice, B = Damien parvient à joindre Benoît, C = Damien parvient à joindre Carole, sont indépendants et de probabilités respectives a, b, c. 1. Soit J =Damien parvient à joindre au moins un de ses trois amis. Exprimer J à l'aide de A, B et C puis calculer la probabilité P (J) en fonction de a, b, c. 2. Que représente la variable N = 11A + 11B + 11C ? Indiquer l'ensemble E de ses valeurs possibles. 3. Pour tout n ∈ E , on pose pn = P ([N = n]). Calculer directement p0 et p3 . 4. Calculer l'espérance et la variance de la variable N . 5. Calculer la fonction génératrice de N , dénie par GN (t) = E[tN ] pour t ∈ R. En déduire la loi de la variable N . 6. Sachant que Damien n'a réussi à joindre qu'une seule personne, quelle est la probabilité que ce soit Alice ? Exercice C On range au hasard n objets numérotés de 1 à n dans trois boîtes numérotées de 1 à 3. On se place sur l'espace probabilisé (Ω, P ), où Ω est l'ensemble des répartitions possibles et P la loi uniforme sur Ω. 1. Quel est le cardinal de Ω ? 2. On note N1 , N2 et N3 les nombres d'objets placés dans les boîtes 1, 2,et 3. Quelles sont les valeurs possibles pour les variables N1 , N2 et N3 ? Que peut-on dire de leur somme ? 3. Soit n1 ∈ {0, ..., n}. Combien y-a-t-il de répartitions des objets avec exactement n1 objets dans la première boîte ? En déduire P [N1 = n1 ]. 4. Soient n1 , n2 et n3 trois entiers naturels de somme n. Combien y-a-t-il de répartitions des objets avec exactement n1 , n2 et n3 objets dans les boîtes 1 1, 2 et 3 ? En déduire que P ([N1 = n1 ; N2 = n2 ]) = n! 1 . n 3 n1 !n2 !(n − n1 − n2 )! 5. Les variables N1 et N2 sont-elles indépendantes (justier la réponse) ? Exercice D On considère un espace probabilisé ni (Ω, P ) et deux événements A et B . On suppose que P (A) = 2/3, P (B) = 1/2 et P (B|A) = PA (B) = 1/4. 1) Calculer P (A ∩ B), P (A ∪ B), P (Ac ∩ B) et P (Ac ∩ B c ). 2) On considère la variable aléatoire X = 211A − 11B a) Quelle est la loi de X ? b) Calculer l'espérance E(X) et la variance Var (X) de X . 2