Cours CH 10 Loi binomiale

Loi binomiale et applications
Chapitre n°10
I.
Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝 est une expérience aléatoire qui admet
exactement deux issues :
 une appelée « succès », notée 𝑆, de probabilité 𝑝 ;
 l’autre appelée « échec », notée 𝑆, de probabilité 1 − 𝑝.
Définition 1 :
𝑆
𝑝
Exemple : On lance un dé équilibré et on s’intéresse à l’évènement « Obtenir un six ».
1
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝 = 6 où « Obtenir un six »
1−𝑝
1
est considéré comme le succès 𝑆 de probabilité 6 et « Ne pas obtenir six » est considéré
𝑆
5
comme l’échec 𝑆 de probabilité 6 .
Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝, la variable aléatoire 𝑋 qui prend la
valeur 1 si 𝑆 est réalisé et la valeur 0 sinon est appelée variable aléatoire de Bernoulli.
On dit alors que 𝑿 suit une loi de Bernoulli de paramètre 𝒑.
Définition 2 :
𝒙𝒊
0
1
𝒑(𝑿 = 𝒙𝒊 )
1−𝑝
𝑝
Propriété :
Si 𝑋 suit une loi de Bernoulli de paramètre 𝑝 alors 𝑬 𝒙 = 𝒑 et 𝑽 𝑿 = 𝒑(𝟏 − 𝒑) .
Démonstration :
𝐸 𝑋 = 0× 1−𝑝 +1×𝑝 = 𝑝;
𝑉 𝑋 = 0² × 1 − 𝑝 + 1² × 𝑝 − 𝐸 𝑋
II.
2
= 𝑝 − 𝑝² = 𝑝(1 − 𝑝).
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définition 3 :
On appelle schéma de Bernoulli d’ordre 𝑛, la répétition de 𝑛 épreuves de Bernoulli de
paramètre 𝑝 identiques et indépendantes les unes des autres.
Définition 4 :
Soit 𝑋 la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de
Bernoulli à 𝑛 épreuves.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire 𝑋 est appelé loi binomiale de paramètres
𝑛 et 𝑝. Elle se note 𝓑(𝒏; 𝒑) .
Exemple :
Objectif :
On lance un dé équilibré trois fois de suite et on s’intéresse à l’évènement « Obtenir un six ».
1) Vérifier que cette répétition de trois lancers est un schéma de Bernoulli.
2) Construire un arbre pondéré représentant cette situation et en déduire la probabilité de
l’évènement 𝐴: "𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑖𝑥 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑜𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑟𝑠" ?
3) Soit 𝑋 la variable aléatoire donnant le nombre de six obtenus lors des trois lancers.
Déterminer la loi de probabilité de 𝑋 puis son espérance. Interpréter 𝐸(𝑋).
Savoir reconnaitre des situations relevant de la loi binomiale.
pl
III.
Coefficients binomiaux
1. Définition
On représente à l’aide d’un arbre un schéma de Bernoulli, répétition de 𝑛
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Définition 5 :
𝒏
𝒌
Pour tout entier 𝑘 tel que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, on note
le nombre de chemins de
l’arbre correspondant à 𝑘 succès lors des 𝑛 répétitions.
Les nombres entiers 𝑛𝑘 sont appelés coefficients binomiaux.
Remarque :
Exemple :
𝑛
𝑘
se lit « 𝑘 parmi 𝑛 » et par convention
0
0
= 1.
En utilisant l’arbre réalisé dans l’exemple du II. , déterminer
3
𝑘
pour 𝑘 = 0,1,2 ou 3.
2. Propriétés des coefficients binomiaux
Propriété 1 :
Pour tout entier 𝑛 :
Démonstration 1 :
𝑛
0
𝑛
𝑛
𝑛
1
𝒏
𝟎
= 𝟏;
𝒏
𝒏
= 𝟏;
𝒏
𝟏
=𝒏
= 1 : un seul chemin conduit à 0 succès lors de 𝑛 répétitions : 𝑆𝑆 … 𝑆
= 1 : un seul chemin conduit à 𝑛 succès lors de 𝑛 répétitions : 𝑆𝑆 … 𝑆
= 𝑛 : lors de 𝑛 répétitions, il y a 𝑛 façons d’obtenir exactement 1 succès : un
succès lors de la 1ère expérience suivi de 𝑛 − 1 échecs ; ou un succès lors de la
2ième expérience suivi de 𝑛 − 1 échecs ; etc.… ; ou un succès lors de la 𝑛ième
expérience suivi de 𝑛 − 1 échecs.
Propriété 2 :
Symétrie des coefficients
Pour tous entiers 𝑛 et 𝑘 tel que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 :
𝒏
𝒌
=
𝒏
𝒏−𝒌
Démonstration 2 : Sur l’arbre, il y a autant de chemins contenant 𝑘 succès lors de 𝑛 répétitions que
de chemins contenant 𝑘 échecs. (il suffit de permuter les notations « succès » et
« échec »). Donc, il y a autant de chemins contenant 𝑘 succès que de chemins
𝑛
contenant 𝑛 − 𝑘 succès. D’où, 𝑛𝑘 = 𝑛−𝑘
.
Propriété 3 :
Formule de Pascal
Pour tous entiers 𝑛 et 𝑘 tel que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 :
𝒏
𝒌
+
𝒏
𝒌+𝟏
=
𝒏+𝟏
𝒌+𝟏
Démonstration 3 : On considère l’arbre qui représente les (𝑛 + 1) répétitions d’un schéma de
Bernoulli. Le nombre de chemins réalisant (𝑘 + 1) succès est donné par 𝑛+1
.
𝑘+1
Ces chemins se décomposent en deux parties disjointes :
 Ceux qui commencent par un succès, il reste à choisir 𝑘 succès parmi 𝑛
répétitions et il y en a 𝑛𝑘 ;
 Ceux qui commencent par un échec, il reste à choisir (𝑘 + 1) succès
𝑛
𝑛
parmi 𝑛 répétitions et il y en a 𝑘+1
. Donc, 𝑛𝑘 + 𝑘+1
= 𝑛+1
𝑘+1
pl
Exemple :
Sans calculatrice et en utilisant les propriétés précédentes, déterminer les coefficients
binomiaux 25
, 42 .
24
Utilisation de la calculatrice pour calculer les coefficients binomiaux :
Avec la calculatrice, calculer les coefficients binomiaux
6
4
et
8
5
.
3. Le triangle de Pascal
En 1654, Blaise Pascal (1623 − 1662) écrit le Traité du Triangle arithmétique. Pascal y présente son
triangle arithmétique, appelé triangle de Pascal. (ce triangle était déjà connu du mathématicien chinois
Zhu Shi Jie vers la moitié du 𝑋𝐼𝐼 ième siècle et du mathématicien arabe Al Kashi vers 1400).
Ce triangle permet de calculer de proche en proche les coefficients binomiaux
formule de Pascal. L’entier
On place 𝑛0 = 1 𝑒𝑡
tout le tableau.
𝒌
𝒏
0
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
𝑛
𝑛
𝑛
𝑘
à l’aide de la
est à l’intersection de la ligne 𝑛 et de la colonne 𝑘.
= 1 puis on utilise la formule de Pascal,
1
𝑛
𝑘
2
3
4
𝒏
𝒌
5
+
𝒏
𝒌+𝟏
6
=
𝒏+𝟏
𝒌+𝟏
, pour remplir
…
1
1
1
1
1
1
…
a) Compléter les lignes 2 et 3 du triangle de Pascal.
b) Existe-t-il un moyen pour passer de la ligne 2 à la ligne 3 ?
c) Compléter alors la suite du tableau. En déduire 62 , 63 et 64 .
Remarque : Chaque élément du tableau est alors la somme de deux éléments situés sur la ligne
précédente, l’un dans la même colonne et l’autre dans la colonne précédente.
Objectif :
Savoir déterminer des coefficients binomiaux et savoir utiliser le triangle de
Pascal.
pl
IV.
Application à la loi binomiale
Dans un schéma de Bernoulli d’ordre 𝑛 de paramètre 𝑝, soit 𝑋 la variable aléatoire
suivant la loi binomiale.
Propriété 4 :
Pour tout entier 𝑘 tel que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 :
𝒑 𝑿=𝒌 =
𝒏
𝒌
𝒑𝒌 × (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌
Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre 𝑛 et 𝑝.
Propriété 5 :
𝑬 𝑿 = 𝒏𝒑 et 𝑽 𝑿 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)
Vocabulaire :
𝑝(𝑋 = 𝑘) : probabilité d’avoir exactement 𝑘 succès.
𝑝(𝑋 ≤ 𝑘) : probabilité d’avoir au plus 𝑘 succès.
𝑝(𝑋 ≥ 𝑘) : probabilité d’avoir au moins 𝑘 succès.
Remarque importante :
Si on a un schéma de Bernoulli à 𝑛 épreuves, lorsqu’on connait 𝑝 𝑋 = 𝑘 , alors il est possible de connaitre
𝑝(𝑋 ≤ 𝑘) ainsi que 𝑝(𝑋 ≥ 𝑘).
On a tout simplement :
 𝑝 𝑋 ≤ 𝑘 = 𝑝 𝑋 = 0 + 𝑝 𝑋 = 1 + ⋯ + 𝑝(𝑋 = 𝑘).
 𝑝 𝑋 ≥ 𝑘 = 𝑝 𝑋 = 𝑘 + 𝑝 𝑋 = 𝑘 + 1 + ⋯+ 𝑝 𝑋 = 𝑛
D’où, 𝒑 𝑿 ≥ 𝒌 = 𝟏 − 𝒑(𝑿 ≤ 𝒌 − 𝟏) .
Exemple :
Une expérience aléatoire consiste à lancer cinq fois un dé tétraédrique équilibré dont les
faces sont numérotées de 1 à 4. Un lancer est gagnant si le 4 est sur la face cachée.
On appelle 𝑋 la variable aléatoire qui associe à chaque issue de l’expérience le nombre de
lancers gagnants.
a) Montrer que 𝑋 suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Déterminer la probabilité d’obtenir un lancer gagnant.
c) Déterminer la probabilité d’obtenir au plus deux lancers gagnants.
d) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de la loi de probabilité de 𝑋.
Utilisation de la calculatrice pour calculer 𝑝(𝑋 = 𝑘) et 𝑝(𝑋 ≤ 𝑘) :
On utilise pour cela respectivement les fonctions 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝑭𝒅𝒑( et 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝑭𝑹é𝒑( .
(1) La variable aléatoire 𝑋 suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 = 50 et 𝑝 = 0,3.
a) Déterminer, à 10−4 près : 𝑝 𝑋 = 25 , 𝑝(𝑋 ≤ 20) et 𝑝(𝑋 > 13).
b) Déterminer, à 10−4 près : 𝑝(10 ≤ 𝑋 ≤ 20) et 𝑝(10 < 𝑋 ≤ 20).
Méthode :
Pour déterminer 𝑝 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 , on calcule 𝑝 𝑋 ≤ 𝑏 − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎 − 1).
(2) Construire une table de valeurs de 𝑝 𝑋 = 𝑘 et de 𝑝(𝑋 ≤ 𝑘) d’une variable aléatoire 𝑋 qui suit
une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 10 et 𝑝 = 0,4.
pl
Propriété 6 :
Représentation graphique d’une loi binomiale
La représentation graphique d’une loi binomiale est un diagramme en bâtons avec le
nombre de succès 𝑘 en abscisses et les probabilités 𝑃(𝑋 = 𝑘) en ordonnées.
Remarque : Les valeurs de 𝑋 les plus probables sont situées autour de 𝐸 𝑋 .
Pour des valeurs éloignées de 𝐸 𝑋 , la probabilité que 𝑋 prenne ces valeurs est très faible.
Exemple :
On considère la loi binomiale de paramètres 𝑛 = 10 et 𝑝 = 0,4 .
On obtient la représentation graphique suivante :
Utilisation de la calculatrice pour représenter une loi binomiale :
Soit 𝑋 une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 9 et 𝑝 = 0,25.
Représenter graphiquement cette loi binomiale.
Objectifs :
Savoir calculer une probabilité dans le carde de la loi binomiale et savoir utiliser
l’espérance d’une loi binomiale dans des contextes variés.
Savoir représenter graphiquement une loi binomiale.
pl