Analyse (2) - Plate-forme SILLAGES V6.2

Analyse (2) : Séries numériques
Les incontournables :
1. Convergence et somme des séries :
X
arctan
1
n2
+ 3n + 3
X
3n−1 sin3
α
3n
.
X
un est une SATP (série à termes dans R+ ).
1
1
– arctan t ∼ t donc un ∼ 2
∼ 2 , ce qui est le TG (terme général) d’une série
t→0
n + 3n + 3
n
de Riemann convergente.
X
Par thm de comparaison,
un est convergente.
Ou bien directement :
n
X
tan vk − tan vk−1
sn =
uk et uk = arctan
= arctan(tan(vk −vk−1 )) en notant k+2 = tan vk .
1 + tan vk tan vk−1
k=0
k + 2 ∈ R+ donc on peut choisir vk ∈ [0, π/2[ et alors vk − vk−1 ∈] − π/2, π/2[ (en fait
∈ [0, π/2[) donc uk = vk − vk−1 .
sn est une somme partielle télescopique
: sn = vn − v−1 = arctan n + 2 − arctan 1.
X
(sn ) a une limite S = π/4 donc
un est convergente de somme S.
X
(b)
|un | est une SATP.
α 3
1
= O(( )n ) qui est le TG d’une série géométrique conversin t ∼ t donc un n−1
∼
n
t→0
3
9
3
gente.
X
Par thm de comparaison,
un est absolument convergente.
Ou bien directement :
n
X
1
α
α
1 k
α α
k−1
sn =
uk et uk = 3
(3 sin k − sin 3 k ) =
3 sin k − 3k−1 sin k−1 ) .
4
3
3
4
3
3
k=0
1 n
α
α
sn est télescopique : sn =
3 sin n − 3−1 sin −1 ) .
4
3
3
X
α
α
1
sin 3α
sin n ∼ n donc (sn ) a une limite S = (α −
) donc
un est convergente de
3
3
4
3
somme S.
X ln n 3
X nln n
X
X
1
1
2. Etudier
.
√
n
(ln n)
n
n(ln n)2
n ln n
+∞
X
1
Valeur approchée à 10−2 près de
.
n(ln n)2
n=2
(a) –
(a)
X
un est une SATP.
ln un = (ln n)2 − n ln ln n ∼ −n ln ln n donc il existe n0 ∈ N tel que
ln un
≥ 1/2 si
−n ln ln n
n ≥ n0 . Soit un tel n0 .
ln un ≤ 1/2(−n ln ln n) ≤ −n/2 si n ≥ n0 et ln ln n ≥ 1.
un ≤ (e−1/2 )n pour n ≥ n1X
et on reconnait le TG d’une série géométrique convergente.
Par thm de comparaison,
un est convergente.
X
(b)
un est une SATP.
1
3
ce qui est le TG d’une série de Riemann convergente.
(ln n) = o(n) donc un = o
n2
X
X
1
Par thm de comparaison,
un est convergente.(C’est une série de Bertrand
nα (ln n)β
avec α > 1)
X
(c)
un est une SATP.
1
1
ln n = o(n) donc = o(un ) et
est le TG d’une série de Riemann divergente.
n
n
X
X
1
Par thm de comparaison,
un est divergente.(C’est une série de Bertrand
nα (ln n)β
avec α < 1)
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
D1-17
Analyse (2) : Séries numériques
(d)
X
un est une SATP.
Z n
1
φ = vn
est une fonction continue et décroissante sur [2, +∞[ donc un = φ(n) ≤
φ : t 7→
t(ln t)2
n−1
Z
n
n
X
1
1
1
si n ≥ 3 et tn =
φ=
vk =
−
est le TG d’une suite qui a une limite (
)
ln
2
ln
n
ln
2
2
k=3
X
donc
vn est une série convergente.
X
X
1
Par thm de comparaison,
un est convergente.(C’est une série de Bertrand
nα (ln n)β
avec α = 1 et β > 1)
n
+∞
X
X
Pour tout n ≥ 2, sn =
uk est une valeur approchée de la somme S et rn =
uk = S−sn .
k=2
Z
k=n+1
+∞
1
1
φ=
donc si on choisit
≤ 0, 02 (ie n ≥ e50 : c’est une convergence
0 ≤ rn ≤
ln n
ln n
n
très lente), alors S = sn + 0, 01 à 0, 01 près.
X
2
2
arctan n .
3. Etudier la série
arccos
π
X
un est une SATP.
r r
p
2
2 π
2
Soit cn = arctan n . lim cn = 1 donc lim un = 0 et un ∼ sin un = 1 − c2n =
− arctan n2 .
π
π
2
r
π
1
1
21
− arctan n2 = arctan 2 ∼ 2 donc un ∼
ce qui est le TG d’une série (harmonique)
2
n
n
πn
divergente.
X
Par thm de comparaison,
un est divergente.
X
4. Prouver que
(−1)n
ln n
de sa somme.
n
d1-016
est semi-convergente et donner une valeur approchée à 10−3 près
X
un est une série alternée.
ln t
1 − ln t
– t 7→
est C 1 sur [1, +∞[ de dérivée t 7→
négative sur [3, +∞[ donc (|un |)n≥3
t
t2
décroit.
– lim un = 0.
X
D’après le TSSA (thm des séries alternées),
un est convergente.
X
1
1
Mais |un | ≥
si n ≥ 3 et
est le TG d’une série divergente donc
|un | est divergente ie
n
n
X
un est semi-convergente.
+∞
X
D’après le TSSA, si n ≥ 3, alors rn =
uk est du signe de un+1 et |rn | ≤ un+1 .
–
k=n+1
ln(n + 1)
Soit n impair (par exemple) tel que
≤ 0, 002. Alors 0 ≤ rn ≤ 0, 002 donc S = sn +0, 001
n+1
à 0, 001 près.
X Z (n+1)π
√
5. Etudier la série
e− x sin x dx.
nπ
1
t 7→ x = nπ + t est C de [0, π] sur [nπ, (n + 1)π] donc un = (−1)
sante. Z
|un | ≤
Z
π
e−
π
e−
e−
√
nπ
dt = πe−
√
nπ
nπ+t
sin t dt est le
√
(n+1)π+t
sin t dt = |un+1 | ie (|un |) est une suite décrois-
0
π
√
0
TG d’une
alternée.
Z πsérie
Z
√
− nπ+t
|un | =
e
sin t dt ≥
0
n
donc lim un = 0.
0
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
d1-042
Analyse (2) : Séries numériques
X
D’après le TSSA,
un est une série convergente.
3
√
1
1
e− nπ = O( √
) = O( 3/2 ) donc la convergence est absolue.
nπ
n
p
p
3
6. Etudier la série de terme général un =
n6 + n4 + n2 − 1 − n4 + an2 + bn + 1 pour
(a, b) ∈ R2 .
p
1
1
1
1
3
n6 + n4 + n2 − 1 = n2 (1 + t)1/3 où t = 2 + 4 − 6 ∼ 2 .
n
n
n
n
p
1
1
1
2
3
On a donc n6 + n4 + n2 − 1 = n2 (1 + t − t2 + o(t2 )) = n2 + + 2 + o(1/n2 ).
3
9
3
9n
p
a b 4−a
2 − 3a b
De même, n4 + an2 + bn + 1 = n2 + + +
+o(1/n2 ) d’où un =
− +O(1/n2 ).
2
2 2n 8n
6
2n
X
2 − 3a
donc (lim un = 0) est faux :
un est grossièrement divergente.
Si a 6= 2/3, alors un ∼
6
X
−b
donc
un est à termes réels de signe constant pour n ≥ n0
Si a = 2/3 et b 6= 0, alors un ∼
n
X1
X
et
est divergente donc, par comparaison,
un est divergente.
n
X
2
Si a = 2/3 et b = 0, alors |un | = O(1/n ) donc
un est absolument convergente.
p
X
7. Etudier la série
cos(π n2 + n + 2).
p
7
7
7π
1
+
−
+ o(1/n3 )) donc un = cos(nπ + π/2 + t) où t ∼
donc
n2 + n + 2 = n(1 +
2n 8n2 16n3
8n
3
t
7π
un = (−1)n+1 sin t = (−1)n+1 (t − + o(1/n3 )) = (−1)n+1
+ O(1/n2 ).
6
8n
−7π (−1)n
vn =
est le TG d’une série semi-convergente.
8
n
2
w
n = O(1/n ) est le TG d’une série absolument convergente.
X
un est donc semi-convergente.
8. Prouver que le produit de Cauchy de 2 séries exponentielles est une série exponentielle.
Valeur approchée à 10−5 près de exp(1/3).
X
X xn X
X yn
X
Soit
un =
,
vn =
et
wn leur produit de Cauchy.
n!
n!
n
n
n
k
n−k
X x y
X
(x + y)n
1 X n k n−k
uk vn−k =
x y
=
wn =
=
ce qui est le TG d’une
k
k!(n − k)!
n!
n!
k=0
k=0
k=0
série exponentielle.
n
+∞
X
X
1
exp(1/3) = sn + rn où sn =
ak et rn =
ak avec ak = k .
3 k!
k=0
k=n+1
1
1
α
Si k ≥ n, alors ak = an k−n
≤ an k−n
=
où α = an 3n (n+1)n
3
(n + 1)...k
3
(n + 1)k−n
(3(n + 1))k
k
1
est le TG d’une série géométrique convergente donc
ne dépend pas de k, et bk =
3(n + 1)
n+1
1
3(n+1)
1
0 ≤ rn ≤ α
=
.
1
(3n + 2)3n n!
1 − 3(n+1)
1
Soit n tel que
≤ 2.10−5 ; alors exp(1/3) = sn + 10−5 à 10−5 près.
(3n + 2)3n n!
!
n
X
1
9. Prouver que la suite (
− ln n) est convergente.(Sa limite s’appelle la "constante
k
1
d’Euler")
!
n
X
1
Soit un =
− ln n pour n ≥ 1 et (an = un − un−1 si n ≥ 2; a1 = u1 ).
k
1
n
X
X
Alors ∀n ≥ 1, un =
ak et on étudie la série
an .
k=1
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
d1-066
d1-006
Analyse (2) : Séries numériques
X
1
1
1
an est absolument convergente. La
+ ln(1 − ) = − 2 + o(1/n2 ) = O(1/n2 ) donc
n
n
2n
suite (un ) a donc une limite.
an =
10. Convergence et somme de la série de terme général
2n3 − 3n2 + 1
(n + 3)!
d1-106
.
P (n) = 2n3 −3n2 +1 = a(n+3)(n+2)(n+1)+b(n+3)(n+2)+c(n+3)+d et a = 2, b = −15, c = 53, d = −80.
X
a
b
c
d
un =
+
+
+
donc
un est la somme de 4 séries convergentes.
n! (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
X
1
1
1
1
un = a
+b
+c
+d
= ae+b(e−1)+c(e−2)+d(e−5/2) = 109−40e.
n!
n!
n!
n!
n=0
n=0
n=1
n=2
n=3
+∞
X
11. On admet que
n=1
n
X
k=0
1
n2
=
π2
6
. Calculer
n=0
1
(2n + 1)2
et
+∞
X
n=1
(−1)n
n2
.
2n+1
n
X 1 X
1
1
1
=
−
= s2n+1 − sn où (sn ) est la suite des sommes partielles de
(2k + 1)2
k2
(2k)2
4
k=1
k=1
la série (convergente de somme S =
n
X
(−1)k
k=1
+∞
X
k2
+
n
X
X
1
=2
2
k
k=1
1≤2h≤n
+∞
X
1
1
π2
π2 X 1
)
donc
existe et vaut S − S =
.
2
2
6
n
(2n + 1)
4
8
n=0
n
+∞
X
X
1
1
(−1)k
1
(−1)n
=
s
donc
=
s
−
s
donc
n
[n/2]
[n/2]
(2h)2
2
k2
2
n2
n=1
k=1
1
π2
existe et vaut S − S = − .
2
12
Pour aller plus loin :
X
X
X
(−1)n
(−1)n
(−1)n
p
,
c
=
12. Pour n ≥ 2, on pose an = √ , bn = √
;
étudier
les
séries
a
,
b
,
cn .
n
n
n
n
n + (−1)n
n + (−1)n
X
X
X
[TSSA :
an converge ; DL en O(1/n3/2 ) :
bn diverge ; DL en O(1/n3/2 ) :
cn converge.
Et pourtant les TG sont des équivalents.]
13. ’Critère d’Abel (1802-1829)’
Soit (sn ) et (tn ) deux suites réelles et Sn =
n
X
sk et Tn =
k=0
n
X
tk .
k=0
On suppose que (sn ) et (tn ) vérifient les conditions suivantes :
(i) ∃M ∈ R
∀n ∈ N
|Tn | ≤ M
(ii)
lim Sn = 0 et la suite (Sn ) est décroissante
n→+∞
X
Tk sk+1 est absolument convergente puis que la série
tk Sk est convergente.
X cos nθ
pour α > 0 et θ 6= 0 (2π).
Application : Démontrer la convergence de la série
nα
X
[Comparer avec
M (Sk+1 − Sk ) qui est convergente ;
Démontrer que la série
n
X
k=0
tk Sk = t0 S0 +
X
n
X
k=1
(Tk − Tk−1 )Sk = t0 S0 −
n−1
X
Tk sk+1 + Tn Sn − T0 S1 = Tn Sn −
k=1
n−1
X
Tk sk+1
k=0
(transformation d’Abel) d’où la convergence.
1
sin(k − 1/2)θ − sin θ/2
(θ/2 6= 0 (π))]
Pour k ≥ 1, tk = cos kθ, Sk = α , Tk =
k
2 sin θ/2
X
(−1)n
14. Soit (un ) = √
. Vérifier que la série produit de Cauchy de
un avec elle-même n’est pas
n+1
convergente. (On montrera que son terme général ne tend pas vers 0)
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
D1-117
D1-141
Analyse (2) : Séries numériques
[Soit vn le TG de la série produit. vn = (−1)n
n
X
1
p
k=0
(k + 1)(n − k − 1)
et |vn | ≥
n
X
1
p
k=0
(n/2)(n − n/2)
=
2(n + 1)
.]
n
15. ’Le cas
Xdouteux de la règle de d’Alembert’
Soit
un une série numérique à termes strictements positifs. On suppose qu’il existe α ∈ R et une série
X
absolument convergente
vn tels que :
un+1
α
= 1 − + vn
un
n
∀n ∈ N
K
Démontrer qu’il existe K ∈ R?+ tel que un ∼ α .
+∞ n
X
Application : Etudier la série
n−n n! en .
D1-145
[La suite de TG an = ln(un nα ) a une limite parce que la série
16. (an ) est une suite convergente de limite α et φ(λ) = e−λ
+∞
X
an
n=0
Pour an =
+∞
X
(−1)p (2p + 2)n
p=0
(2p + 1)!
X
an − an−1 est convergente.]
λn
. Démontrer que lim φ(λ) = α.
λ→+∞
n!
, étudier φ(λ) ; conclusion ?
D1-129
[an = α − a0n ramène au cas α = 0.
On découpe "à la Cesaro" : ∀ε > 0, ∃N0 , |Φ(λ)| ≤ e−λ |P (λ)|+εe−λ
+∞
X
n=N0 +1
N0
X
λn
λn
où P (λ) =
an
n!
n!
n=0
est o(eλ ) quand λ → +∞.
Ex : Φ(λ) = sin(eλ ) n’a pas de limite quand λ → +∞ donc (an ) n’a pas de limite.]
an
17. Soit a une suite à termes dans R+ et la suite u définie par u0 > 0 , ∀n ≥ 0, un+1 = un +
. Prouver
un
X
que la suite u converge si et seulement si la série
an converge.
[(un ) est croissante à termes dans R+ .
X
an
un+1 − un ≤
donc si
an converge, alors u converge.
u0
X
Si u converge, alors an = O(un+1 − un ) donc
an converge.]
Pour s’entraîner :
18. Etudier la série de terme général un =
+∞
X
(−1)k
k=n
[
X
k2
D1-147
.
un converge et en sommant nun = (n + 1)un+1 − un+1 +
(−1)n
, S = − ln 2.]
n
19. Soit un = a ln n + b ln(n + 1) + c ln(n + 2). Convergence et somme éventuelle de la série
X
un .
D1-036
[Convergence ssi a + b + c = 0 et b + 2c = 0 et S = −a ln 2.]
20. Montrer que, pour tout n ∈ N, l’équation ln(t) = arctan t + nπ a une unique solution xn strictement positive.
X 1
.
Etudier la série :
xn
D1-137
[xn > enπ d’où convergence.]
21. Etude de la série de terme général un =
1! + 2! + ... + n!
. CCP
(n + p)!
d1-107
[Majorer/minorer le numérateur. Convergence ssi p ≥ 2.]
22. an est laX
somme des chiffres de l’écriture de n en base 2. Calculer a2n ; calculer a2n+1 .
an
Etudier
. Centrale
n(n + 1)
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
d1-120
Analyse (2) : Séries numériques
[a2n = an et a2n+1 = an + 1. an ∼
23. Etudier la série
[un ∼
X
ln n
d’où la convergence. S = 2 ln 2.]
ln 2
n1/(n+1) − (n + 1)1/n .
d1-004
− ln n
] d’où convergence absolue.
n2
24. Nature de la série de terme général (−1)n
[Par développement en O(
ln n
. CCP
n − ln n
d1-104
ln2 n
, semi-convergence.]
n2
25. Soit un = an et vn = (−1)n an . Etudier la somme et le produit des séries
26. Etudier la série de terme général un = sin π
X
un et
X
vn .
D1-051
n3 + 1
.
n2 + 1
d1-128
[Semi-convergence par TSSA ou développement limité.]
27. Montrer qu’il existe K ∈ R tel que :
n
X
1
k k =n→+∞ n +
k=1
[an =
n
X
1
kk − n −
k=1
28.
ln2 n
+ K + o(1).
2
D1-139
X
ln2 n
a une limite parce que
an − an−1 est une série convergente.]
2
Soit t ∈]0, 1[.
(a) Montrer que la série de terme général un = ln(1 + tn ) est convergente.
(b) En déduire que la suite définie par pn =
n
Y
(1 + tk ) est convergente.
k=1
(c) On considère la suite v définie par ses deux premiers termes v0 , v1 tels que 0 < v0 < v1 et la relation de
récurrence :
∀n ∈ N vn+2 = vn+1 + tn vn .
D1-111
Montrer que la suite v est convergente.
n
[(c) :vn+2 ≤ (1 + t )vn+1 .]
29. Convergence et somme de la série de terme général
[S = Re(
cos nx
.
2n
1
).]
1 − eiθ /2
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
D1-131