ENONCE : Partie A : Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 6 boules numérotées 0, 3 boules numérotées 1 et une boule numérotée 2 . On tire successivement et sans remise 2 boules de cette urne. On considère les événements A : « les deux boules portent le même numéro » , B : « la première boule porte le numéro 0 » et C : « la somme des numéros égale 2 ». a) Déterminer les probabilités P(A), P(B) et P(C). b) On désigne par X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres des deux boules. Déterminer la loi de probabilité de X et préciser son espérance mathématique. Partie B : a) On lance un dé cubique équilibré un grand nombre de fois. On note P( n ) la probabilité que le 6 apparaisse pour la première fois au n-ième lancer. Calculer P( 1 ) et P( 2 ). Montrer que la suite (P( n )) définie pour n entier supérieur ou égal à 1 est une suite géométrique dont on précisera la raison. b) Cette fois-ci, on lance n fois le dé et on désigne par X le nombre de fois où le 6 apparaît. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et préciser son espérance mathématique. CORRIGE : Partie A : Les tirages sont des tirages successifs sans remise, donc il s’agit de 2-listes à éléments distincts ; P(A) = P(« obtenir deux boules numérotées 0 » ou « obtenir deux boules numérotées 1 ») = 6! 3! 30 6 2 6 4! 1! + = . P(B) = . P(C) = P(« obtenir deux boules numérotées 1 » ou « obtenir une boule numérotée 0 10! + 10! = 90 90 5 10 8! 8! 3! 6! ×2 6 12 1 1! + 5!10! = + = . et la boule numérotée 2 ») = 10! 90 90 5 8! 8! La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 2 et 3. On a P(X = 0) = P(« obtenir deux boules numérotées 0 ») = 30 1 36 2 1 = ; P(X = 1) = P(« obtenir une boule 0 et une boule 1 ») = = ; P(X = 2) = P(C) = ; et P(X = 3) = 90 3 90 5 5 6 1 1 2 1 1 = . Son espérance mathématique est E(X) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = 1 . 90 15 3 5 5 15 Partie B : a) Le lancer d’un dé est une épreuve de Bernouilli ; avec n lancers, il s’agit d’un schéma de Bernouilli de paramètres n et 1/6. P(1) est la probabilité d’obtenir le 6 au premier lancer est 1/6 ; P(2) est la probabilité d’obtenir le 6 n−1 5 1 5 1 5 × = ; et la probabilité d’obtenir le 6 au n-ième lancer est P(n) = × ; c’est une 6 6 36 6 6 suite géométrique de raison 5/6 et de premier terme 1/6. b) La loi de probabilité de la variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres n et 1/6 ; d’où au deuxième lancer, soit k n 1 5 p( X = k ) = k 6 6 n−k . L’espérance mathématique de X est égale au produit des paramètres = n . 6