08- Cours cinématique, calcul vitesse

Sciences Industrielles de l’Ingénieur
Chapitre 8 « cinématique »
CINEMATIQUE
Compétences attendues :
Au terme de ce cours et des exercices qui l’accompagnent vous devez connaître :
La dérivation vectorielle et la notation à utiliser.
Différentes méthodes de calcul des vecteurs vitesses.
Les résultats propres aux mouvements de translation et de rotation.
La méthode de calcul d’un vecteur accélération.
Ce qu’est une fermeture géométrique.
1)- CINEMATIQUE DU POINT
1-1) Point mobile M par rapport à un repère R :
Soit le point M défini par ses trois coordonnées
r r r
(cartésiennes par exemple) dans un repère R( 0 , x , y , z )
On définit le vecteur position OM :
1-2) Trajectoire du point M : lieu de l’espace décrit par M au cours du temps t.
1-3) Vitesse du point M par rapport à un repère R :
Dérivation du vecteur position
il s’agit d’une vitesse instantanée et qui peut évoluer dans le temps.
le point O doit être un point fixe dans R.
1-4) Accélération du point M par rapport à un repère R :
il s’agit d’une accélération instantanée.
le point O doit être un point fixe dans R.
Dérivation du vecteur vitesse
2)- DERIVATION VECTORIELLE
2-1) Dérivation d’un vecteur mobile par rapport à un repère R :
r r r
Soit le repère R( 0 , x , y , z )
 x(t ) 
Soit le vecteur U de composantes : U =  y (t )


 z (t )  R
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2-2) Changement de repère de dérivation d’un vecteur mobile :
r r r
r r r
Soient deux repères R (O , x , y , z ) et R1 (O , x1 , y1 , z1 )
Soit le vecteur U écrit dans R1 :
 x(t ) 
r
r
r 
U = x(t ) × x1 + y (t ) × y1 + z (t ) × z1 =  y (t )
 z (t )  R
1
V
r
r
r
d 
&
&
&
[
x
(
t
)
×
x
+
y
(
t
)
×
y
+
z
(
t
)
×
z
]
U
=
1
1
1
 dt 

 /R
r
r
r

 d x1 (t ) 
 d y1 (t ) 
 d z1 (t )  
+  x(t ) × 
 + y (t ) × 
 z (t ) × 
 
dt
dt
dt





/ R 
/R
/R

Plaçons-nous dans le cas particulier où la position du repère
R1 par rapport au repère R est définie par le seul angle α :
r
r
rotation autour de l’axe z = z1
r
x1 =
r
y1 =
r
z1 =
Calculons la dérivée de chaque vecteur unitaire du repère R1 :
d r 
 dt x1  =

 /R
d r 
 dt y1  =

 /R
d r 
 dt z1  =

 /R
On en déduit :
r r
r r
r r
V = x(t ) × (α& z1 ∧ x1 ) + y (t ) × (α& z1 ∧ y1 ) + z (t ) × (α& z1 ∧ z1 )
r
r
r
r
= α& z1 ∧ [x(t ) × x1 + y (t ) × y1 + z (t ) × z1 ]
r
V = α& z ∧ U
En utilisant les angles d’Euler (pour orienter R1 par rapport à R) et en généralisant le calcul précédent
on obtient :
r & r
r
d 
d 
r
r
r
V = ψ& z + θ& u + ϕ& z1 ∧ U
 U  =  U  + ψ& z + θ u + ϕ& z1 ∧ U
(
)
 dt
 /R
2/6
 dt
 / R1
(
)
Ω R1 / R
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Définition : on appelle vecteur rotation de R1 par rapport à R le vecteur Ω :
Ce vecteur rotation caractérise à tout instant l’orientation du repère R1 par rapport à R c’est-à-dire
qu’il précise :
l’axe instantané autour duquel tourne R1 par rapport à R
la valeur de la vitesse angulaire instantanée en rad/s (sa norme)
le sens de la rotation (son signe) :
Nota : ce vecteur rotation est indépendant d’un quelconque point d’application.
On obtient ainsi la formule de changement de repère de dérivation (ou formule de Bour) :
Formule de Bour
3)- CINEMATIQUE DU SOLIDE
3-1) Solide indéformable : en cinématique on fait l’hypothèse que les solides sont
indéformables :
la distance entre deux points de ce solide reste constante au cours du temps.
la position d’un point quelconque M reste constante dans un repère affecté à ce solide.
on confond en général le repère affecté au solide et le solide lui-même.
3-2) Points géométriques et matériels : un même point peut appartenir à plusieurs solides et
donc avoir des vitesses différentes.
Exemple : soit un cylindre C (repère R1) qui roule sur un plan
fixe P (repère R).
On appelle I le point de contact entre C et P.
En I on a en fait trois points « différents » :
• le point I matériel appartenant au cylindre en
mouvement.
• le point I matériel appartenant au plan fixe.
• le point I géométrique qui traduit le contact
cylindre/plan.
Nota : ces trois points sont confondus seulement à l’instant t.
On notera les différentes vitesses de la façon suivante :
3-3) Vitesse d’un point appartenant à un solide : pour un point matériel quelconque M on a :
Dérivation du vecteur position
il s’agit d’une vitesse instantanée et qui peut évoluer dans le temps.
le point O doit être un point fixe dans R.
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3-4) Changement de point pour les vecteurs vitesses : un solide indéformable est un ensemble
de points matériels dont on peut calculer, pour chacun, la vitesse en appliquant la dérivation vectorielle.
Toutefois la cinématique d’un solide en mouvement possède des particularités qui permettent une
étude simplifiée du mouvement global sans avoir à étudier chaque point individuellement.
Cherchons la relation entre les vitesses de deux points A et B d'un même solide S en mouvement par
rapport à un repère R.
Formule de Bour :
Par ailleurs :
d

d

+ Ω R1 / R ∧ AB
 dt AB  =  dt AB 

 /R

 / R1
d

 dt AB  =
/R
AB = AO + OB = − OA + OB
On en déduit :
Formule de changement de point
3-5) Cas de la translation : pour un mouvement de translation du solide S/R on a :
Tous les points ont la même vitesse à un instant donné.
Nota : cas de la translation circulaire.
3-6) Cas de la rotation autour d’un axe fixe :
R1 est le repère associé au solide S.
r
Supposons une simple rotation autour de l’axe fixe O z
Pour une vitesse angulaire ω donnée, la vitesse d’un point est proportionnelle à l’éloignement du
centre de rotation.
"V = R ω "
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Un triangle traduit graphiquement la proportionnalité
de la vitesse du point avec le rayon (pour une vitesse
angulaire donnée).
3-7) Composition des vecteurs vitesses :
Soient deux solides S1 (repère R1) et S2 (repère
R2) en mouvement l'un par rapport à l'autre et en
mouvement par rapport au repère R.
 d OA 

V A∈S 2 / R = 

 dt  / R
 d OO1 


 +  d O1 A 
=
 dt 



 / R  dt  / R
Formule de composition des vecteurs vitesses
Nota : cette formule se généralise en faisant une relation de Chasles sur les indices.
3-8) Composition des vecteurs rotation : utilisons trois fois la formule de Bour :
d 
d 
U
=
 dt 
 dt U  + Ω R1 / R2 ∧ U
/ R2
/ R1
1
d 
d 
=  U  + Ω R / R1 ∧ U
 dt U 

 / R1  dt  / R
2
d 
d 
U
=
+ Ω R2 / R ∧ U
 dt 
 dt U 

 /R 
 / R2
3
5/6
1
+ 2 + 3
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Formule de composition des vecteurs rotation
Nota : cette formule se généralise en faisant une relation de Chasles sur les indices.
3-8) Accélération d’un point appartenant à un solide :
Dérivation du vecteur vitesse
3-9) Changement de point pour les vecteurs accélérations :
Soient deux points A et B d'un même solide S (associé au
repère R1) en mouvement par rapport à un repère R.
Dérivons la formule de changement de point des vecteurs
vitesses :
VB∈S / R = V A∈S / R + BA ∧ Ω S / R
(
)
d

d

d

BA ∧ Ω S / R 
 VB∈S / R  =  V A∈S / R  + 
 dt
 / R  dt
 / R  dt
/ R
d

d

ΓB∈S / R = ΓA∈S / R +  BA  ∧ Ω S / R + BA ∧  Ω S / R 
 dt
/ R
 dt
/ R
 d


d

ΓB∈S / R = ΓA∈S / R +   BA  + Ω S / R ∧ BA  ∧ Ω S / R + BA ∧  Ω S / R 
/ S
 dt
/ R
  dt

d

ΓB∈S / R = ΓA∈S / R + BA ∧  Ω S / R  + Ω S / R ∧ BA ∧ Ω S / R
 dt
/ R
(
)
On ne retrouve pas une formule aussi « simple » que pour les vecteurs vitesses.
3-10) Composition des vecteurs accélération : dérivons la
formule de composition des vecteurs vitesses :
Dérivons cette expression :
V A∈2 / 0 = V A∈2 / 1 + V A∈1 / 0
d

d

d

 VA∈2 / 0  =  VA∈2 / 1  +  V A∈1 / 0 
 dt
 / 0  dt
 / 0  dt
/ 0
(
)
d

ΓA∈2 / 0 = ΓA∈2 / 1 + Ω1 / 0 ∧ V A∈2 / 1 + Γ01∈1 / 0 + 
AO1 ∧ Ω1 / 0 
 dt
/ R
(
)
d
ΓA∈2 / 0 = ΓA∈2 / 1 + Ω1 / 0 ∧ VA∈2 / 1 + Γ01∈1 / 0 + Ω1 / 0 ∧ V A∈2 / 1 + Ω1 / 0 ∧ O1 A + AO1 ∧  Ω1 / 0 
 dt
/ R
Formule de composition des
vecteurs accélération
6/6