w, t

Mathematics. - SUl' deux, trois OU quatre nombres premiers. Par
J. G. VAN DER CORPUT. (Cinquième communication.)
(Communicated at the meeting of March 26, 1938.)
Traitons d'abord quelques cas spéciaux de la proposition 3; dans ces
cas spéciaux (les propositions 4, 5, 6 et 7) y désigne un nombre positif,
m un nombre naturel, N un nombre
3, s un entier qui est en valeur
absolue inférieur à r Ne n Y ou n = log N, et tp (x) un polynöme du
degré précis 9 =- 1 qui prend une valeur entière pour toute valeur entière
de x; les nombres Ci6' CH' ••• ,C51' figurant dans ces cas spéciaux, sont
des nombres convenablement choisis, dépendant uniquement de y. m et
du choix du polynöme tp (x).
Proposition of: Désignons par F (t) ie nombre des manières dont on
peut écrire t comme la somme de deux nombres premiers> 3 et posons
>
du du'
log u log u'·
q; (t) =
u>3
u'>3
lu+"'-tl<i
Si
tp
(x)
+s
est pair pour tout entier x, on a
w-l I <ci6 Ne
,,:1 I F(tp(x)+s)-C'q>(tp(x)+s)llw_2
[N)
+1
n-m;
1
Ie produit II w - 2 est étendu à tous les facteurs premiers impairs de
wtp (x) + s. tandis que C' est la constante absolue
Démonstration: Pour tout nombre naturel x-=:' N on a
donc
Itp (x) I-=:' Ci7 Ng ,
Posons
A =A'=3;
F (tp (x)
p
+ p',
+
B=B' =tZe =(CH
+ y) Ne n
Y
+~"
+
Z> O.
s) est Ie nombre des manières d' écrire tp (x)
s sous la forme
ou les nombres premiers p et p' sont supérieurs à 3 et inférieurs
345
+ s, done inférieurs
A' < p' < B'. En outre
à 'Ijl (x)
+ r)
à (C12
N
B
g
n ", d'ou il suit A
A
et
B'
.fJ'
cp ('Ijl (x) + s) =
<p <B
dudu'
log u
u"
log
A'
I u + U'-'I'(x)-5l <; I
ear les inégalités
u
+ u'
entrainent u
-oe::
-oe::
'Ijl (x)
+ s + 1-
B et u'
appliquée avee m
-oe::
-oe::
+ r) N g n + -~ =
Y
(CH
B
= B'
B'. En vertu de Z> N la proposition 3.
+ 1 + [I' + ; Jau
lieu de m, nous donne par eon-
séquent
[N]
~
I
F(If'(x)
+ S)-CP (If' (x) + s)
x=1
00
~ H(q.'Ijl(x)+s) I< C48Ng
+1
n- m •
q=1
En outre
i
q=1
+ H (w, t))
H (q, t) = 2 IJ (1
w>2
est d'après Ie lemme 18 pour tout nombre pair t égal à
(1 + _1_) (1 - . __1-) - C' II
2 TI
TI
w-I' w> 2
w> 2
(w-l)2
wt,
wl'
-
w> 2
wl'
1+ w-I
I
.
1- ---(w-l)2
d'ou suit l'assertion en vertu de l'identité
1
+ ;;--=1
I
I
1-
(w-~lp
-
w-l
w-2'
En utilisant les lemmes 18, 19 et 20 il est faeile de déduire les propositions 5. 6 et 7 de la proposition 3.
Proposition 5: Soit 3 -oe:: A
B; désignons par F (t) Ie nombre des
manières dont on peut écrire t sous la forme p
p'. ou les nombres
premiers p et p' sont situés entre A et B; posons
<
+
dudu'
log u log u"
cp (t) =
I,,+u'-' I<\
g
Si 'Ijl (x) + s est pair pour tout entier X, on a pour tout nombre Z =- V 4 B
~
Ixl<z
I
F ('Ijl (x)
+ s) -
CI
cp ('Ijl (x) + s) TI w-l
-2 I < C49 zg + 1 z-m;
W
346
w-l
C' et IJ w _ 2 sont la constante absolue et Ie produit, figurant dans la
proposition précédente.
Proposition 6: Désignons par F (t) Ie nombre des manières dont on
peut écrire t sous la forme Pl2
pl
p', ou PI' P2 et p' désignent des
nombres premiers > 3; posons
+
cp (t)
=
+
JJJ
u, :> 3
log
dUI dU2 du'
UI log U2 log u' .
u, :> 3 u,:> 3
I u,'+ u,'+ u'-tl <1
I ou
Si 1jJ (x) est IN]
I
_3 (mod. 6) pour tout entier x, on a
I F(1jJ(x)+s)-2cp(1jJ(x)+s)
(I+H(w,1jJ(x)+s)) I <csoNg
IJ
w> 2
x=l
+1
n- m ;
w premier
>2
pour tout nombre premier w
(mod. 6), on a
et pour tout entier t _ 1 ou
w+1
H (w, t) = - (~-=-lr' lorsque w
-
lorsque w
-
w-I
3
I (mod.4) et west un facteur de t;
=- I
3w+ 1
(w-I)3' lorsque w
(mod. 4) et west un facteur de t;
1 (mod.4) et test un
reste quadratique de w;
I
- (w-TP'
lorsque w - -- I (mod. 4) et test un non-reste de w;
w+1
(;:;-1)3' lorsque w = -
I (mod.4) et test un
reste quadratique de w;
3w--1
- (w _ fr' lorsque w --- - I (mod. 4) et test un non-reste de w.
Proposition 7: Désignons par F (t) Ie nombre des manières dont il
est possible d'écrire t comme la somme des carrés de quatre nombres
premiers > 3. et posons
cp (t)
f J'
=•
UI
:> 3
Ul
>- 3
Jf
•
UI':::>
log
dUI dU2 dUl'----,d,--::u2,--' - ,
log U2 log UI' log u/ .
UI
3 u~,:::> 3
I u,' + .,'+ u,"+ .,"-tl < 1
Si 1jJ (x)
IN]
~
x= 1
+s _
4 (mod. 24) pour tout entier x, on a
IF(1jJ(x)+s)-8cp(1jJ(x)+s)
IJ
lP
premier
w>2
(I+H(w,1jJ(x)+s)l<csIN
g+1
n- m ;
347
on a pour tout nombre premier w > 2 et pour tout nombre t _ 4 (mod. 24)
H(w, t)=
w2
+
+
6w
1
(w-l)3
, lorsque w
=
1 (mod. 4) et west un
facteur de t;
, lorsque w -- - 1 (mod. i) et west un
facteur de t;
5w 2
+
lOw
(w-l)4
+1
3w+ 1
(w-lP
lorsque w
, lorsque w
- - -
=
1 (mod. 4) et test un
reste quadratique de w;
= 1 (mod. 4) et test un
non~reste
de w;
(w+ 1)(3w-l)
(w-l)4
lorsque w :~'-- - 1 (mod.4) et test un
reste quadratique de w;
5w 2 - 10w
(w-l)4
+1
lorsque w _- - 1 (mod. 4) et test un
non~reste de w.
LeIIlIIle 25: Les fonctions H (q, t), définies par (35), (36) et (37)
satisfont pour tout entier t 0 qui satisfait à la congruence correspon~
dan te, à l' inégalité
*-
dans ce lemme CS2' CS3' • • • ,CS8 sont des constantes absolues et positives,
convenablement choisies.
DéIIlonstration: O'après la remarque, ajoutée à la proposition 3,
on a
.. H(q,t)=e
I
IJ (1 +H(w, t»,
... > 2
w premier
q=1
+
e = 2 ou 8 et 1 H (W , t) > O.
Pour tout nombre premier w > 2, qui n'est pas un facteur de t, on a,
d' après les lemmes 18, 19 et 20,
ou
-~~
+ H (w, t) > e w' ,
n (1 + H (w, t», étendu
1
de sorte que Ie produit
à ces nombres premiers.
est supérieur à cs 4 ,
Pour tout facteur premier impair w de t on a, d'après les mêmes
Iemmes,
1
+ H(w, t) > e
W
348
de sorte que Ie produit TI (1
est supérieur à
e
-~-
%
+ H(w, t)),
étendu à ces nombres premiers,
I
C
> e-c., -loe1og(3+ltl) _
sa
- log (3 I ti)'
w<ltl w
+
Le membre de gauehe de (56) est done supérieur à log?;
~8ltlr
Finissons eet article en démontrant la proposition 1 (première eommunieation, p. 847). Dans eette démonstration CS9' C60' ••• ,C69 désignent
des nombres positifs, eonvenablement ehoisis et dépendant uniquement
de r, m et du ehoix du polynöme V' (x).
Pour tout nombre x qui est en valeur absolue """'" Z, nous avons
IV' (x) I"""'" CS9 zg,
done IV' (x)
+ si"""'" (cS9 + r) ze zr.
Posons
= A' = AI = A = AI' = A/ = 3;
B = B' = BI2 = B 22 = B I'2 = B/2 = t Ne = 4 (CS9 + r) ze zr.
A
2
La proposition 3, appliquée avee N au lieu de Z et avee m + 1 +
+ [r + ; ]
I'
N> Z
au lieu de m, nous apprend en vertu de
IF (V' (x) + s) - ~ (V' (x) + s) i
1"I<z
H(q, V' (x)+s) 1< C60 ze+ I-m z. (57)
q=1
=
=
Examinons d'abord les expressions fl
P + p'; f2 PI2 + P2 2 + P' et
f 3 = PI 2+ P2 2+ PI'2+ P2'2.
Pour ehaeune de ees expressions, la fonetion ~ (t), définie dans (32),
(33) ou (34), jouit de la propriété
~ (t)
> C61
t
log" t
(1
+ -4 • 3
i
"""'"
t"""'"
tB).
(58)
Désignons par A Ie nombre des entiers positifs x"""'" Z tels que
V' (x)
+ s ==- ze z-lm
et F (V' (x)
+ 5) =
O.
Il suit de (56) et (58) que tous ees nombres x satisfont à l'inégalité
~ (V' (x)
+ s) i
H (q, V' (x)
q=1
de sorte que (57) nous apprend
done
+ s) > C62 ze z-t
m - S,
349
Le nombre des entiers positifs tels que !f1(x)+s<zg z-i m est inférieur
m
à
CM
Z
Z -:I
U.
Par conséquent Ie nombre des entiers positifs --=== Z tels
+ =
+
m
que F(1jJ (x)
s) 0, est inférieur à C63 Z z-!m+5 CM Z Z- 29.
Ceei vaut pour tout nombre naturel m, d'ou il suit que Ie nombre des
entiers [positifs --=== Z tels que F (1jJ (s)
s) = 0 est inférieur à C65 Z z-m.
Ainsi la proposition 1 est démontrée pour les expressions fl' f2 et f3'
Examinons finalement les expressions
+
et
t: _
IS-PI
2
+
2
'2
P2 - P I
-P2 '2 .
Maintenant nous avons
(I t
1-= +B),
done en vertu de (56)
4J (t)
i
H (q, t)
> C67 ZfJ Z- 5
(i t I--===+B).
q=1
De (57) il résulte par eonséquent que Ie nombre des entiers x tels que
.x l --===Z, 1jJ(x}+s*,O et F(!f1(x}+s}=O, est inférieur à C68ZZ - m+5.
Ceei vaut pour tout nombre naturel m et il y a tout au plus g
nombres x tels que 1/1 (x)
s
O. Le nombre des entiers x tels que
I xl--=== Z et F (1jJ (x)
s)
0 est done inférieur à C69 Z z-m, de sorte que
la proposition 1 est eomplètement démontré.
+ =
+ =
Proceedings Royal Netherlands Acad. Amsterdam, Vol. XLI, 1938.
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