104 : Nombres premiers

104 : Nombres premiers.
Prérequis : Bézout, Gauss, indicatrice d’Euler ϕ
On considèrera uniquement les nombres premiers
positifs.
II- Propriétés
III- Applications
I- Définitions et exemples
Prop : On a équivalence entre :
(i) p ∈ P.
(ii) Z/pZ est un corps.
(iii) Z/pZ est intègre.
Th : Soit p ∈ P, p est somme de 2 carrés ssi p = 2
ou p ≡ 1 (mod 4). Per p. 57
(Nécessite : si A principal alors p irred ⇔ (p) premier que l’on peut trouver dans X-ENS p. 93 )
Déf : p ∈ N est premier s’il a exactement 2
diviseur : 1 et p. Dans le cas contraire on dit qu’il
est composé. On note P l’ensemble des nombres
premiers.
Prop : Soit un entier composé n > 2 alors il existe
√
p ∈ P tel que p|n et p 6 n
Appli : Crible d’Eratosthène.
Appli : La caractéristique d’un anneau unitaire
intègre est 0 ou p ∈ P Gd p. 30
√
Exo :(p1 , . . . , pn ) ∈ Pn 2 à 2distincts p1 . . . pn ∈
6 Q
Cryptographie (RSA) : p, q ∈ P distincts. n = pq.
Si cd ≡ 1 (mod ϕ(n)) alors ∀t ∈ Z tcd ≡ t (mod n)
Gd p. 34
Th de Fermat : Si p ∈ P, ϕ(p) = p − 1 et donc
∀a ∈ Z,
p 6 |a ⇒ ap−1 ≡ 1 (mod p)
Récip. fausse : nbr de Carmichael 561 = 3.11.17
Critère d’Eisenstein : P ∈ Z[X], P (X) =
n
P
ak X k .
k=0
Prop : Card(P) = +∞
Th (fond. de l’arith.) : Tout n ∈ N∗ \{1} s’écrit
de manière unique à l’ordre près : n = pα1 1 . . . pαk k
avec : ∀i pi ∈ P, αi ∈ N∗ .
Appli : Gd p. 31 + Per p. 74
Si p ∈ P alors (Z/pZ)∗ ' Z/(p − 1)Z (cyclique)
Th (Wilson) : p ∈ P ⇐⇒ (p − 1)! ≡ −1 (mod p)
Gd p. 9, X-ENS p. 128
Appli : PGCD et PPCM de deux entiers.
Exo : Mq les nombres premiers p ≡ −1 (mod 6)
sont infinis. Gd p.13
Même chose avec p ≡ 3 (mod 4).
X-ENS p.134
Exemples : Gd p. 11
Nombres de Mersenne : an − 1 ∈ P ⇒ a = 2, n ∈ P
Réciproque fausse : 211 − 1 = 23 × 89.
On ne sait pas s’il y en a une infinité.
Nombres de Fermat : 2m +1 ∈ P ⇒ ∃n ∈ N, m = 2n
5
n=0,1,2,3,4 Ok.Récip fausse : 641|22 + 1
On ne sait même pas s’il y en a d’autre premier.
Exo :
1) 2 < p ∈ P. Mq −1 est un carré dans Z/pZ ssi
p ≡ 1 (mod 4).
2) En déduire qu’il existe une infinité de nbr premier p ≡ 1 (mod 4). Gd p. 37
Exo : Soit la suite
(pn )n≥1 = P.
Pcroissante
1
1) Montrer que
diverge.
pn
Si (∃p ∈ P) p|ak k = 0, 1, ..., n − 1; p 6 |an ; p2 6 |a0
alors P est irreductible sur Q[X]
Gd p. 58
Th. Cauchy (groupes finis) : Soit G un groupe fini
et p ∈ P. Si p|Card(G) alors G contient un élément
d’ordre p.
Gd p. 27
Prop : Le centre d’un p-groupe est non trivial.
Appli : Les groupes d’ordre p2 , p ∈ P sont abéliens.
Gd p. 27
n≥1
2) Déduire que Card{p ∈ P; p 6 n} = π(n) = o(n)
X-ENS (analyse) p. 153
Théorèmes admis :
th. des nbres premiers : π(x) ∼ lnxx
th. Dirichlet : a ∧ b = 1 =⇒ (∃∞p ∈ P) p = an + b
th. Tchebychev : (∀n > 2)(∃p ∈ P) n < p < 2n
José Gregorio : http://agregorio.net