1/3 TD Physique n°13 : Forces conservatives – énergie potentielle * Exercice 1 : Etude du mouvement d’un satellite On étudie le mouvement d’un satellite autour de la Terre. La Terre est supposée sphérique, de centre O et de rayon R T. Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le satellite, assimilé à un point matériel de masse m, décrit une trajectoire circulaire et uniforme de centre O et de rayon r. On négligera dans un premier temps toute force de frottement. 𝑅 2 L’accélération de la pesanteur, à la distance r du centre de la Terre, est 𝑔 (𝑟) = 𝑔0 × ( 𝑇) 𝑟 a. Rappeler l’expression des vecteurs vitesse et accélération pour un mouvement circulaire uniforme dans une base adaptée. 1. b. Déterminer l’expression de la vitesse du satellite sur son orbite à l’altitude h. c. En déduire la période T de révolution du satellite. La calculer. On donne : g 0 = 10 m/s2. ; RT = 6400 km et h = 850 km. 2. Déterminer, pour le satellite, en fonction de m, r, RT et g0 : a. l’énergie cinétique Ec. c. l’énergie mécanique E. b. l’énergie potentielle Ep(r). On prendra Ep() = 0 3. Dans la haute atmosphère, le satellite est soumis, en plus de l’attraction terrestre, à une force de frottement. a. Montrer que, lors d’une variation d’altitude, le travail des forces de frottement est égal à la variation d’énergie mécanique. b. Calculer ce travail pour une perte d’altitude de 200 m, si m = 500 kg. ** Exercice 2 : Etude du mouvement d’un enfant sur un toboggan Un enfant glisse le long d’un toboggan de plage. Pour l’exercice, l’enfant sera assimilé à un point matériel G et on négligera tout type de frottement ainsi que toutes les actions dues à l’air. L’enfant sort du toboggan sous un angle avec l’horizontale. D h y Données : Masse de l’enfant : m = 35 kg ; Intensité de la pesanteur : g = 10 m.s-2 ; Dénivellation h = 5,0 m ; Hauteur H = 0,50 m ; Angle = 30°. Déterminer la valeur de l’abscisse xP du point d’impact P de l’enfant dans l’eau. O x H P ** Exercice 3 : Etude du mouvement d’un enfant sur un igloo Un enfant de masse m = 30 kg se laisse glisser, sans frottement, depuis le haut d’un igloo hémisphérique de rayon R = 2,5 m. Sa position sur l’igloo est repérée par un angle . L’enfant quitte le sommet de l’igloo avec une vitesse négligeable. On donne : g = 9,8 m.s—2. 1. Exprimer la vitesse v de l’enfant, lorsqu’il est en contact avec l’igloo, en fonction de g, R et . 2. a. Etablir l’expression des vecteurs accélération et vitesse d’un point matériel M pour un mouvement circulaire. b. Exprimer alors la force exercée par l’igloo sur l’enfant en fonction de m, g, R, et v. 3. Pour quel angle 0 l’enfant quitte-t-il la surface de l’igloo ? Quelle est alors sa vitesse v0 ? Réalisez les applications numériques. 2/3 * Exercice 3 : Etude des positions d’équilibre d’un système On s’intéresse au dispositif dans lequel un ressort de raideur k, de longueur au repos ℓ0 , et de masse négligeable, est relié par l’une des extrémités au point fixe I(0,a) et l’autre extrémité à un anneau, assimilé à un point matériel M de masse m, coulissant sans frottement sur un axe Ox horizontal (voir Figure 1 ci-dessous). Fig.2 Fig.1 1. Que dire de l’énergie mécanique du point matériel M au cours de son déplacement ? 2. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique. Montrer alors que l’énergie potentielle du système s’écrit : 1 1 𝐸𝑝 = 𝑘𝑥 2 − 𝑘ℓ0 (𝑎2 + 𝑥 2 )2 + 𝑐𝑠𝑡𝑒 2 3. Déterminer la ou les positions d’équilibre du point matériel M. Montrer que le comportement du système est différent pour 𝑎 < ℓ0 et pour 𝑎 > ℓ0 . 4. Identifier alors les profils d’énergie potentielle sur la Figure 2 ci-dessus, au cas décrits à la question précédente. Caractériser la nature stable ou instable des positions d’équilibre identifiées. * Exercice 4 : Etude des oscillations amorties d’une masse suspendue à un ressort vertical 1. On considère une sphère de rayon r, entièrement plongée (ce sera le cas dans tout l’exercice) dans un liquide de masse volumique et de viscosité dynamique . Cette sphère de masse m est suspendue à l’extrémité d’un ressort de raideur k et de longueur à vide 0 . Le champ de pesanteur 𝑔⃗ est supposé uniforme. On prendra l’axe des z orienté vers le bas. a. Faire un bilan des forces s’exerçant sur la sphère à l’équilibre. b. Déterminer la longueur 2. eq du ressort à l’équilibre. La sphère n’est plus à l’équilibre. a. Faire un bilan des forces s’exerçant sur la sphère. On indique que la force de frottement fluide s’écrit : ⃗⃗⃗⃗ 𝑓𝑣 = −6𝜋𝜂𝑟𝑣⃗ b. Etablir l’équation différentielle du mouvement en fonction de z (t ) (t ) 3. eq . Lorsque la sphère est lâchée sans vitesse initiale après avoir été écartée de sa position d’équilibre, on observe des oscillations amorties du dispositif. a. Etablir l’expression de la pseudo-période T des oscillations en fonction de la période propre T0 et, de , r et m. b. En déduire l’expression de la viscosité en fonction de T, T0, r et m. c. Comment pourrait-on déterminer expérimentalement ? 3/3 * Exercice 5 : Etude d’un pendule pesant amorti Un pendule pesant est constitué par une boule d’acier de masse m = 470 g, suspendue par un fil souple tel que la distance entre le point d’attache et le centre de la boule soit L. L’air freine ce pendule avec la force f v où v est le vecteur vitesse de la boule. L’inclinaison du pendule est repérée par son angle avec la verticale. On observe des oscillations amorties d’amplitude suffisamment faible pour les assimiler à des petites oscillations. 1. Etablir l’équation différentielle du second ordre vérifiée par 2. A quelle condition obtient-on un régime pseudo-périodique ? Comment s’exprime alors (t) ? 𝜃(𝑡) On rappelle que le décrément logarithmique s’écrit 𝛿 = 𝑙𝑛 (𝜃(𝑡+𝑇)). 3. Exprimer 𝛿 en fonction de la pseudo-période T et du coefficient d’amortissement 𝜆. 4. On donne ci-dessous les variations de avec le temps. Calculer, à partir des valeurs expérimentales : a) la pseudo-période. b) le décrément logarithmique. 1 c) la constante de temps 𝜏 = 𝜆. On donnera la signification de 𝜏. d) la constante .