sujet de juin 2016

Université de Rouen
L2 Math/Info
Année 2015-2016
Algèbre
Examen du 15 juin 2016, durée 2h
L’ USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE .
I L EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Questions de cours.
(a) Donner l’énoncé et la démonstration du lemme de Gauss dans l’anneau (Z, +, ·).
(b) Démontrer que si α est racine d’ordre k (k ≥ 2) du polynôme P alors α est racine
d’ordre k − 1 de P 0 . Donner un exemple de polynôme P à coefficients réels tel que 0
n’est pas racine de P et tel que 0 est racine double de P 0 .
Exercice 1. Une suite (u n )n∈N est périodique s’il existe T ∈ N∗ tel que u n+T = u n pour tout
n dans N. Le plus petit entier T vérifiant la propriété précédente est appelé période de la
suite. On définit la suite (F n )n∈N par F 0 = F 1 = 1 et pour tout n ≥ 0, F n+2 = F n+1 + F n .
(a) Calculer (et donner) les valeurs de F 0 , F 1 , F 2 , . . . , F 8 et F 9 .
(b) Montrer (par récurrence par exemple) que pour tout n ∈ N
F n+8 = F 7 F n+1 + F 6 F n .
(1)
(c) On se place dans (Z/3Z, +, ·) et on pose v n = cl(F n ). Donner les valeurs de v 0 , v 1 ,
v 2 , . . . , v 8 et v 9 (comme Z/3Z = {cl(0), cl(1), cl(2)} il faut écrire les valeurs attendues
parmi cl(0), cl(1), cl(2)). Exprimer, à l’aide de (1), v n+8 en fonction de v n+1 et v n . En
déduire que (v n )n∈N est périodique et déterminer sa période.
(d) On se place dans (Z/7Z, +, ·) et on pose w n = cl(F n ). Donner les valeurs de w 0 , w 1 ,
w 2 , . . . , w 8 et w 9 (même remarque qu’à la question précédente sachant que Z/7Z =
{cl(0), cl(1), . . . , cl(6)}). Exprimer, à l’aide de (1), w n+8 en fonction de w n+1 et w n . En
déduire l’expression de w n+16 en fonction de w n+1 et w n et démontrer que la suite
(w n )n∈N est périodique.
(e) Soit m ∈ N∗ . On se place dans Z/mZ et on pose u n = cl(F n ).
-i- Montrer que f : (x, y) 7→ (y, x + y) est une bijection de (Z/mZ)2 dans lui-même.
-ii- Montrer que (u n )n∈N est périodique de période T ≤ m 2 −1.
[indication : on pourra
dans un premier temps établir un lien entre u n+2 , u n+1 , u n à l’aide de f , puis exprimer
u n à l’aide de f , u 0 , u 1 et n.]
Exercice 2. Soit G un ensemble à 4 éléments, notés {a, b, c, d }. On considère une loi de composition interne sur G dont la table est la suivante
a b c d
a a b c d
b b a d c
c d c b a
d c d a b
1
La table donnée est-elle celle d’une loi de groupe ?
Exercice 3. Soient σ1 la permutation et t la transposition
µ
¶
1 2 3 4 5 6 7 8 9
σ1 =
,
6 8 4 7 3 9 2 5 1
t = (1 2).
(a) Décomposer σ1 en produit de cycles à supports disjoints et calculer la signature de σ1 .
(b) Calculer l’ordre de σ1 et exprimer σ2017
.
1
(c) Calculer σ1 ◦ t ◦ σ−1
1 .
(d) Soit σ une permutation de {1, . . . , 9} telle que σ ◦ t = t ◦ σ. On cherche à caractériser σ.
-i- Montrer que σ(1) ∈ {1, 2} et que σ(2) ∈ {1, 2}.
-ii- Montre que σ est de la forme σ = t ◦ τ ou σ = τ avec τ une permutation dont le
support est inclus dans {3, . . . , 9}.
Exercice 4. Soit λ et µ deux paramètres réels. Réaliser la division euclidienne du polynôme
P = X 4 + X 3 +λX 2 +µX +1 par Q = X 2 +2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur
λ et µ pour que Q divise P .
Exercice 5. Décomposer en éléments simples dans C[X ] la fraction rationnelle
F=
X +4
.
(X 2 + 1)2
Donner la décomposition en éléments simples de F dans R[X ].
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