Lycée Berthollet PCSI2 2016-17 DS6 de mathématiques, samedi 1er avril 2017 (3h00) Les documents, téléphones portables, ordinateurs et calculatrices sont interdits Exercice 1 Analyse et algèbre On rappelle que RN est l’espace vectoriel des suites réelles. On note les suites u = (un )n∈N et on définit ¶ © A = u ∈ RN | u CV et ¶ B = u ∈ RN | X © un CV . 1. Y a-t-il des inclusions entre ces deux ensembles ? Justifier vos réponses en vous aidant, le cas échéant, d’un contrexemple. 2. Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de RN ? 3. Montrer que l’application lim qui, à un élément u ∈ A, fait correspondre lim u est linéaire. 4. Y a-t-il des inclusions entre les deux ensembles B et Ker (lim) ? Justifier vos réponses en vous aidant, le cas échéant, d’un contrexemple. Exercice 2 Algèbre linéaire dans R3 On considère le R-espace vectoriel E = R3 , ainsi que les deux sous-ensembles F et G de E définis par : F = {(x, y, z) ∈ E , x + 2y = 3z} G = {(a, a, a) , a ∈ R} . et 1. Prouver que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E. 2. Déterminer une base de F. 3. Déterminer F ∩ G. Les espaces F et G sont-ils supplémentaires dans E ? On définit l’application f de E dans lui-même définie par : ∀(x, y, z) ∈ E , Å ã x z f (x, y, z) = 2x + 3y − 5z, − , x + y − 2z . 2 2 4. Prouver que f est une application linéaire. 5. Déterminer une base de Ker f . L’application f est-elle injective ? 6. Soit (a, b, c) ∈ R3 . Échelonner le système linéaire f (x, y, z) = (a, b, c), d’inconnues réelles x, y, z. En déduire que Im f = F. L’application f est-elle surjective ? 7. Prouver que, pour tout (x, y, z) ∈ R3 , f ( f (x, y, z)) ∈ G. En déduire, sans calcul supplémentaire, que f 3 = f ◦ f ◦ f = 0. Exercice 3 Des polynômes et des probabilités Soit n ≥ 2. On considère l’expérience aléatoire suivante : on dispose de deux urnes. Dans chacune d’elles se trouvent 200 boules numérotés de −99 à 100. On tire au hasard une boule dans chacune des deux urnes, et on nomme respectivement a et b les deux numéros obtenus. On considère alors l’univers Ω = [[−99, 100]]2 = (i, j) ∈ N2 | −99 ≤ i ≤ 100 et − 99 ≤ j ≤ 100 . ¶ © On construit à l’aide des deux numéros obtenus le polynôme Q = X 2 + 2aX + b. Pour i et j dans [[−99, 100]], on note Ai l’évènement “ a vaut i ” et B j l’évènement “ b vaut j ”. Ä ä Ä ä 1. Pour (i, j) ∈ [[−99, 100]]2 , déterminer P (Ai ) et P B j et en déduire P Ai ∩ B j . Les évènements élémentaires Ai ∩ B j de Ω sont-ils équiprobables ? 2. Exprimer en fonction de a et b : le discriminant ∆ de Q, les polynômes Q0 et Q00 , ainsi que le polynôme composé Q0 (X − 1) = Q0 ◦ (X − 1). 3. On définit les évènements suivants : • Z0 : “ 0 n’est pas racine de Q ” ; • Z1 : “ 0 est racine simple de Q ” ; • Z2 : “ 0 est racine double de Q ”. (a) Que dire de (Z0 , Z1 , Z2 ) ? (b) Exprimer Z0 en fonction de B0 et en déduire P (Z0 ). En exprimant Z1 et Z2 à l’aide des Ai et B j , calculer P (Z1 ) et P (Z2 ). On définit un nouveau polynôme R de la manière suivante : • Si 0 n’est pas racine de Q, on pose R = Q0 ; • Si 0 est racine simple Q, on pose R = Q0 (X − 1) ; • Si 0 est racine double de Q, on pose R = Q00 . (c) Déterminer la probabilité de l’évènement C : “ 0 est racine de R ”. (d) Sachant que 0 est racine de R, déterminer la probabilité que 0 soit aussi racine (simple ou double) de Q. 4. On pose U l’évènement “ 1 est racine de Q ”, et D l’évènement “ 2X − 2 divise Q ”. Déterminer P (U), puis P (D). 5. Déterminer la probabilité de l’évènement M : “ Q admet une racine double ”. 6. Montrer que l’évènement E ; “ Q admet deux racines réelles non nulles de signes opposés “ est égal à l’évènement “ b < 0 ”. Déterminer la probabilité de E sachant que a = 42. 7. (a) Déterminer la probabilité de l’évènement I1 : “ le polynôme Q est irréductible dans C[X] ”. (b) Prouver que la probabilité de l’évènement I2 : “ le polynôme Q est irréductible dans R[X] ” est inférieure ou égale à 12 . Exercice 4 Endomorphismes d’espaces de matrices Soit n ∈ N tel que n ≥ 2. • On note Mn (R) ¶ l’espace vectoriel des © matrices carrées de taille n. • On note Sn = M ∈ Mn (R)|tM = M l’ensemble des matrices symétriques de taille n. ¶ © • On note An = M ∈ Mn (R)|tM = −M l’ensemble des matrices antisymétriques de taille n. 1. Soit T l’application qui, à toute matrice M ∈ Mn (R), associe T (M) = tM. (a) Montrer que T est une symétrie vectorielle de Mn (R) . (b) Préciser le sous-espace par rapport auquel (resp. parallèlement auquel) agit cette symétrie. (c) Que peut-on en déduire sur Sn et An ? On se donne une matrice S ∈ Sn et on note uS l’application qui, à toute matrice M ∈ Mn (R), associe la matrice uS (M) = S M S. 2. Montrer que uS est un endomorphisme de Mn (R). 3. Montrer que si S est inversible, alors uS est un automorphisme de Mn (R), en explicitant u−1 S . 4. (a) Rappelez sans preuve la formule exprimant t(MN), pour M et N dans Mn (R). (b) Montrer que uS (Sn ) ⊂ Sn et uS (An ) ⊂ An . 2