Approximations affines

APPROXIMATIONS AFFINES
2 1/ Soit r la fonction définie sur r par r(x) =
a/ Sans utiliser la touche
1 La courbe ci-dessous représente une fonction f dérivable sur un intervalle I.
T est la tangente à Cf au point A d'abscisse a.
M est un point de Cf d'abscisse a + h où h est un réel tel que a + h ∈ I.
N est le point de la tangente T de même abscisse que M.
x.
de la calculatrice, donner une valeur approchée de f(4,01),
f(3,99), f(4,001) et f(3,999) à l'aide d'une approximation affine de r.
b/ Donner une valeur approchée de f(4,01), f(3,99), f(4,001) et f(3,999) grâce à la touche
de la calculatrice puis comparer ces valeurs aux résultats de la question précédente.
3 Un exemple d'approximation de courbe intégrale
Soit f une fonction définie sur ] 0; +∞ [ dont on ne connaît pas l'expression et soit Cf sa
courbe représentative.
On dispose cependant des informations suivantes :
•
f(1) = 0,
•
f est dérivable sur ] 0; +∞
∞ [ et f '(x) = 1 , pour tout x ∈ ] 0; +∞
∞ [.
x
L'objectif de l'exercice est de construire une approximation de la courbe Cf dans un
voisinage du point de Cf d'abscisse 1.
Pour cela, on va utiliser le fait qu'au voisinage d'un point, la courbe reste proche de sa
tangente en ce point (cf approximations affines).
1/ Déterminer l'ordonnée du point N.
2/ Que peut-on dire des points N et M lorsque h tend vers 0 ?
Définition
Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I et soit a un nombre réel appartenant à I.
Comme l i m f(a + h) – f(a) = f '(a) , alors , pour h proche de 0, on peut écrire que :
h
h →0
f(a + h) – f(a) ≈ f '(a) soit encore : f(a + h) f(a) + h f '(a).
≈
h
La fonction affine g définie sur r par g(h) = f '(a) h + f(a) est appelée une
approximation affine de f en a + h.
Remarque : Elle permet de calculer rapidement une approximation de f(a + h) pour h
proche de 0.
Partie A : mise en œuvre de la démarche
On décide de partager l'intervalle [1;4] en 30 parties égales de longueur 0,1.
On pose h = 0,1 et on dit que h est le pas de la subdivision réalisée.
Soit A0 le point de Cf d'abscisse x0 = 1 et d'ordonnée y0 = 1.
1/ Soit A1 le point d'abscisse x1 = x0 + h = 1,1 dont l'ordonnée est obtenue par
approximation affine de f en x1. Calculer son ordonnée y1.
Le point A1 n'appartient pas à la courbe Cf mais la méthode utilisée permet d'affirmer
qu'il est proche du point de Cf de même abscisse.
On a ainsi approché la courbe Cf par le segment de droite A0A1 sur l'intervalle [1 ; 1,1].
2/ Reproduire la démarche précédente à partir du point A1en introduisant le point A2
d'abscisse x2 = x1 + h.
La courbe inconnue Cf est ainsi approchée par la ligne brisée A0A1A2 sur l'intervalle
[1 ; 1,2]
Partie B : utilisation d'un tableur
On souhaite déterminer, grâce à un tableur, les coordonnées des points A0, A1, …, A30 de
manière à visualiser la ligne brisée ainsi construite.
APPROXIMATIONS AFFINES
Ouvrir le fichier méthode d'Euler2 : la fenêtre suivante apparaît :
Ce procédé de construction d'une approximation de courbe utilisant les approximations
affines s'appelle la méthode d'Euler.
Partie C
Soit f la fonction définie sur ] 0; +∞ [ par f(x) = ln x, où ln est une fonction encore
inconnue en classe de 1ère mais dont on constate la présence sur les calculatrices
scientifiques : touche ln
1/ Construire dans la colonne F les valeurs de ln (xk) pour toutes les valeurs de k
considérées (dans un tableur cette fonction se note LN( )).
2/ Utiliser à nouveau l'outil "diagramme" pour faire apparaître dans le même repère que
précédemment, l'allure de la courbe représentative de la fonction f dans l'intervalle [1 ; 4]
On admettra que la fonction f ainsi définie est la fonction dont on a cherché à approcher
la courbe représentative.
L'approximation obtenue dans la partie C est-elle de bonne qualité ?
Comment aurait-on pu améliorer le résultat ?
Remarques : On appelle courbe intégrale d'une fonction dérivable la courbe
représentative d'une fonction f dont on connaît seulement un point particulier ainsi que
l'expression de f '(x).
La fonction f définie ci-dessus s'appelle la fonction logarithme népérien.
(programme de terminale)
1/ Définir les cellules D5 et E5 en fonction des cellules D4, E4 et A2 de manière à ce
qu'une simple recopie vers le bas de la ligne 5 permette d'obtenir les coordonnées des 31
points recherchés.
2/ Sélectionner les cellules des colonnes D et E complétées puis l'outil "diagramme".
Choisir ensuite comme type de diagramme : XY (dispersion) : points et lignes.
Imprimer la représentation graphique obtenue.