CHAPITRE 3 GROUPES DE LIE (GROUPES LINÉAIRES) ET ALG

CHAPITRE 3
GROUPES DE LIE (GROUPES LINÉAIRES) ET ALGÈBRES DE LIE
COURS M1 ’GROUPES ET REPRÉSENTATIONS’ - X 2011/12
(ANNA CADORET)
Contents
1. Introduction
2. L’application exponentielle
3. Groupes linéaires
3.1. Algèbre de Lie d’un groupe linéaire
3.1.1. Algèbres de Lie
3.1.2. Algèbre de Lie d’un groupe linéaire
3.2. ’Groupes de Lie’
3.3. Connexité
4. Correspondance de Lie
4.1. Le foncteur Lie
4.2. Essentielle surjectivité
4.3. Morphismes de groupes linéaires, revêtements
5. Représentations de dimension finie des groupes linéaires connexes
References
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1. Introduction
Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser aux groupes linéaires, c’est à dire aux sous-groupes topologiques
de GLn (R). Il s’agit en fait d’un cas particulier de groupes de Lie réels mais nous avons préféré nous limiter
à ce cadre élémentaire pour éviter d’introduire le formalisme de la géométrie différentielle. Bien sûr, le lecteur
initié lira cette théorie en filigrane des preuves et définitions introduites ci-après.
Notre objectif est de présenter un cas particulier de ’théorie de Lie’ i.e. expliquer comment associer fonctoriellement à un groupe linéaire G un objet a priori plus simple - son algèbre de Lie Lie(G) puis expliquer comment
certains problèmes sur les groupes linéaires peuvent être résolus en considérant leur transposition aux algèbres
de Lie.
Dans le même ordre d’idée que la théorie de la semisimplicité pour les groupes finis, il s’agit là d’une nouvelle
illustration du principe général de linéarisation.
K désigne indifféremment R ou C.
2. L’application exponentielle
Pour tout M ∈ Mn (K) la série
X Mn
n≥0
n!
est normalement convergente; on note
exp:
Mn (K) →
→
M
Mn (K)
X Mn
n≥0
la fonction qu’elle définit.
1
n!
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Lemme 2.1.
(1) Pour tout M ∈ Mn (K) et P ∈ GLn (K) on a P exp(M )P −1 = exp(P M P −1 );
(2) Pour tout M, N ∈ Mn (K) tels que M N = N M on a exp(M + N ) = exp(M )exp(N ). En particulier,
pour tout M ∈ Mn (K) on a exp(M ) ∈ GLn (K) et exp(M )−1 = exp(−M );
(3) exp : Mn (K) → GLn (K) est C ∞ et d0 exp = Id;
(4) Pour tout M ∈ Mn (K) l’application
eM : R
t
→ Mn (K)
→ exp(tM )
est un morphisme de groupes topologiques que l’on peut caractériser comme
- L’unique solution de l’équation différentielle a0 (t) = a(t)M , a(0) = Id;
- L’unique solution de l’équation fonctionnelle a(s + t) = a(s)a(t), a(0) = Id, a0 (0) = M .
Preuve. L’assertion (1) résulte de la continuité de M → P M P −1 et l’assertion (2) résulte de la formule du
binôme de Newton. La première partie de l’assertion (3) résulte du fait que exp est analytique; la seconde partie
de l’égalité
X M n−1
X Mn
=M
exp(M ) − exp(0) − M =
n!
n!
n≥2
n≥2
qui montre que
lim
M →0
||exp(M ) − exp(0) − M ||
= 0.
||M ||
L’assertion (4) résulte immédiatement des assertions (2) et (3) modulo l’unicité de la solution de l’équation
différentielle a0 (t) = a(t)M , a(0) = Id et l’unicité de la solution de l’équation fonctionnelle a(s + t) = a(s)a(t),
a(0) = Id, a0 (0) = M . Dans le premier cas, soit a : R → GLn (K) une autre solution. Alors, pour tout t ∈ R on
d
(exp(−tM )a(t)) = −M exp(−tM )a(t) + exp(−tM )M a(t) = 0 donc exp(−tM )a(t) = exp(−0M )a(0) = Id.
a dt
Dans le second cas, soit a : R → GLn (K) une solution de l’équation fonctionnelle a(s + t) = a(s)a(t), a(0) = Id,
a0 (0) = M . Alors
(a(s) − Id)
a(t + s) − a(t)
= a(t) lim
= a(t)a0 (0) = a(t)M.
s→0
s
s
L’unicité de la solution de l’équation fonctionnelle résulte donc de celle de la solution de l’équation différentielle.
a0 (t) = lim
s→0
En particulier, d’après le théorème d’inversion locale, il existe un voisinage ouvert U de 0 dans Mn (R) et un
voisinage ouvert V de Id dans GLn (R) tels que exp|VU : U →V
˜ est un C ∞ -difféomorphisme.
Exercice 2.2. (Sous-groupes arbitrairement petits de GLn (K)) Montrer que GLn (K) ne contient pas de sousgroupes arbitrairement petits i.e. qu’il existe un voisinage ouvert U de Id dans GLn (K) ne contenant pas d’autres
sous-groupes que {Id}1.
Exercice 2.3. (Sous-groupes à 1 paramètre de GLn (K)) On appelle sous-groupe à un paramètre de GLn (K)
tout morphisme de groupe topologique φ : R → GLn (K). Montrer que tout sous-groupe à un paramètre de
GLn (K) est différentiable et en déduire que tout sous-groupe à 1 paramètre est de la forme
eM : R
t
→ GLn (K)
→ exp(tM )
pour un (unique) M ∈ Mn (K). on dit que M est le générateur infinitésimal de eM .
Exercice 2.4. (Différentielle de l’exponentielle)
(1) Pour tout A ∈ Mn (K) et H ∈ Kn , résoudre l’équation différentielle f 0 (t) = Af (t), f (0) = H. En
déduire que pour tout X, H ∈ Mn (K) on a exp(X)Hexp(−X) = exp(ad(X))(H), où ad(X)(H) :=
[X, H] = XH − HX (on pourra introduire la fonction f (t) = exp(tX)Hexp(−tX));
1Cela implique immédiatement qu’aucun sous-groupe de GL (K) ne contient de sous-groupe arbitrairement petit.
n
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(2) Posons
d A(t) := exp(−tX)
exp(t(X + uH)).
du u=0
Calculer A0 (t) et en déduire que
dX exp = exp(X)
X (−ad(X))n
.
(n + 1)!
n≥0
Exercice 2.5. Soit X, Y ∈ gln (K).
(1) Montrer qu’au voisinage de 0 dans R, on a
(i) exp(tX)exp(tY ) = exp(t(X + Y ) +
t2
2 [X, Y
] + O(t3 ));
(ii) exp(tX)exp(tY )exp(−tX)exp(−tY ) = exp(t2 [X, Y ] + O(t3 )).
(2) En déduire que
X
Y
)exp( ))n = exp(X + Y );
n
n
2
X
Y
X
Y
(ii) lim (exp( )exp( )exp(− )exp(− ))n = exp([X, Y ]);
n→+∞
n
n
n
n
(i)
lim (exp(
n→+∞
3. Groupes linéaires
On appelle groupe linéaire tout sous-groupe d’un GLn (R).
Exemple 3.1. (Groupes linéaires classiques)
-
tout groupe fini;
tout sous-groupe de GLn (C) (pourquoi?);
SLn (K) := {M ∈ GLn (R) | det(M ) = 1};
Bn (K) := {M ∈ GLn (R) | mi,j = 0, 1 ≤ j < i ≤ n};
Un (K) := {M ∈ GLn (R) | mi,j = 0, 1 ≤ i < j ≤ n, mi,i = 1, i = 1, . . . , n};
O(n) := {M ∈ GLn (R) | t M M = In }, SO(n) := O(n) ∩ SLn (R);
U (n) := {M ∈ GLn (C) | t M M = In }, SU (n) := U(n) ∩ SLn (C).
3.1. Algèbre de Lie d’un groupe linéaire.
3.1.1. Algèbres de Lie. Etant donné un corps k, la catégorie des k-algèbres de Lie de dimension finie est la
catégorie Lie/k définie par
- Objets: k-espace vectoriel L de dimension finie muni d’une forme k-bilinéaire
[−, −] : L ⊗k L → L
appelée crochet de Lie et telle que
– [x, y] + [y, x] = 0, x, y ∈ L;
– (Identité de Jacobi) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, x, y, z ∈ L.
- Morphismes: un morphisme de k-algèbres de Lie φ : L → L0 est une application k-linéaire telle que
φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)], x, y ∈ L.
Exemple 3.2. (Algèbres de Lie)
(1) Tout k-espace vectoriel de dimension finie V peut être muni d’une structure de k-algèbre de Lie en
prenant pour crochet de Lie la forme nulle. Une telle k-algèbre de Lie est dite commutative.
(2) Toute k-algèbre associative A peut être munie d’une structure de k-algèbre de Lie en prenant pour
crochet de Lie
[a, b] = ab − ba, a, b ∈ A.
Classiquement Mn (k) (resp. Endk (V ) pour un k-espace vectoriel V de dimension finie) munie de cette
structure de k-algèbre de Lie est notée gln (k) (resp. gl(V )).
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(3) (Produit) étant donnée deux k-algèbres de Lie L et L0 , on peut munir leur produit L × L0 du crochet
de Lie
[(x, y), (x0 , y 0 )] = ([x, x0 ], [y, y 0 ]),
qui fait des projections canoniques pL : L × L0 → L et pL0 : L × L0 → L0 des morphismes de k-algèbres
de Lie et on vérifie immédiatement que (L × L0 , pL , pL0 ) est le produit de L et L0 dans la catégorie des
k-algèbres de Lie.
(4) Etant donné une k-algèbre de Lie L, on dit qu’un sous k-espace vectoriel H ⊂ L est
- une sous-k-algèbre de Lie si [x, y] ∈ H, x, y ∈ H;
- un idéal si [x, y] ∈ H, x ∈ H, y ∈ L.
Par exemple le noyau (resp. l’image) d’un morphisme φ : L → L0 de k-algèbres de Lie est un idéal de
L (resp. une sous-k-algèbre de Lie de L0 ). Réciproquement, étant donné un idéal H ⊂ L, l’application
[x, y] = [x, y], x, y ∈ L
est bien définie et muni le k-espace vectoriel quotient L/H d’une structure de k-algèbre de Lie qui fait
de la projection canonique L → L/H un morphisme de k-algèbres de Lie.
(5) (Dérivations) Etant donné une k-algèbre de Lie L, on appelle k-dérivation de L tout endomorphisme
de k-espaces vectoriels d : L → L tel que
d([x, y]) = [x, d(y)] + [d(x), y]
et on note D(L) l’ensemble des k-dérivations de L. On vérifie facilement que D(L) ⊂ gl(L) est une
sous-k-algèbre de Lie. L’identité de Jacobi peut se reformuler en disant que
adL : L
x
→ D(L)
→ ad(x) = [x, −]
est un morphisme de k-algèbres de Lie.
(6) (Changement de corps de base) Soit k ⊂ K une extension finie de corps. Alors on a un foncteur d’oubli
ou de restriction naturel
−|k : Lie/K → Lie/k
et, dans l’autre sens un foncteur d’induction
− ⊗k K : Lie/k → Lie/K
En outre, pour toute k-algèbre de Lie L et K-algèbre de Lie M on a, par propriété universelle du
produit tensoriel, un isomorphisme fonctoriel
HomLie/k (L, M|k )→Hom
˜
Lie/K (L ⊗k K, M).
Etant donné un sous-corps k ⊂ K et une k-algèbre de Lie L on appelle représentation linéaire de dimension
finie de L sur K tout morphisme de k-algèbres de Lie τ : L → gl(V ), où V est un K-espace vectoriel de
dimension finie. Comme pour les groupes, on peut définir les notion de morphisme de représentations, de sousreprésentations, de représentations irréductibles, les opération élémentaires sur les représentations etc..
L’une des raisons justifiant le rôle central des algèbres de Lie est l’existence de ’théories de Lie’ dont la philosophie consiste à construire des foncteurs ’espace tangent’ de certaines catégories de groupes (linéaires, de Lie,
analytiques, algébriques etc) vers la catégorie des algèbres de Lie (sur un corps k dépendant de la catégorie de
groupes considérée) qui ont de bonnes propriétés (exactitude, plénitude etc.). Dans la pratique, cela permet
souvent de ramener des problèmes concernant les groupes (linéaires, de Lie, analytiques, algébriques etc) à
des problèmes sur les algèbres de Lie qui, par nature, sont des objets linéaires donc nettement plus simples à
appréhender. Dans ce qui suit, nous allons illustrer cette idée dans le cadre des groupes linéaires.
Pour s’initier à la riche théorie des algèbres de Lie, on pourra consulter [FH91], [H72], [K02] ou [S66] voire la
’bible’ [B].
3.1.2. Algèbre de Lie d’un groupe linéaire. Etant donné un groupe linéaire G ⊂ GLn (R), on notera g ⊂ gln (R)
le sous-ensemble des matrices a0 (0) ∈ gln (R) où a : I → GLn (R) est une application C 1 définie sur un voisinage
ouvert I de 0 dans R telle que a(I) ⊂ G et a(0) = In .
Lemme 3.3. Pour tout groupe linéaire G ⊂ GLn (R), l’ensemble g est une sous-R-algèbre de Lie de gln (R).
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GROUPES DE LIE (GROUPES LINÉAIRES) ET ALGÈBRES DE LIE
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On dit que g est l’espace tangent à G en In ou encore, l’algèbre de Lie de G.
Preuve du lemme 3.3. Soit a : Ia → GLn (R) et b : Ib → GLn (R) des applications C 1 telles que a(0) = b(0) = In
et a(Ia ), b(Ib ) ⊂ G. Alors
- Pour tout α, β ∈ R, l’application c : α1 Ia ∩ β1 Ib → GLn (R) définie par c(t) = a(αt)b(βt) est C 1 et vérifie
c(0) = In et c( α1 Ia ∩ β1 Ib ) ⊂ G. Par conséquent,
c0 (0) = αa0 (0) + βb0 (0) ∈ g,
ce qui montre que g est un sous-R-espace vectoriel de gln (R).
- Pour tout s ∈ Ia , l’application cs : Ib → GLn (R) définie par c(t) = a(s)b(t)a(s)−1 est C 1 et vérifie
c(0) = In et c( α1 Ia ∩ β1 Ib ) ⊂ G. Par conséquent,
c0s (0) = a(s)b0 (0)a(s)−1 ∈ g.
En particulier, l’application c : Ia → Mn (R) défine par c(s) = a(s)b0 (0)a(s)−1 est C 1 et à valeur dans
g, qui est un R-espace vectoriel. Donc
c0 (0) = a0 (0)b0 (0) − b0 (0)a0 (0) = [a0 (0), b0 (0)] ∈ g,
ce qui montre que g est une sous-R-algèbre de Lie de gln (R). Dans la pratique, on utilisera souvent la caractérisation suivante de g.
Théorème 3.4. Pour tout groupe linéaire G ⊂ GLn (R), on a
g = {M ∈ gln (R) | exp(tM ) ∈ G, t ∈ R}.
En particulier, exp(g) ⊂ G.
Preuve. Notons
g0 := {M ∈ gln (R) | exp(tM ) ∈ G, t ∈ R}.
Par définition de g, on a g0 ⊂ g. Inversement, il y a un cas facile et un cas plus délicat. Commençons par le
cas facile, qui est celui où G est fermé dans GLn (R). Soit M = a0 (0) ∈ g (avec a : I → ⊂ GLn (R) comme
d’habitude). Alors, pour tout t ∈ R et n ∈ Z>0 on a
t
1
t
a( ) = In + M + O+∞ ( 2 )
n
n
n
donc, pour n 0
t
t
1
a( )n = exp(nlog(a( ))) = exp(tM + O+∞ ( )).
n
n
n
En faisant tendre n vers +∞ on obtient donc exp(tM ) ∈ G = G i.e. M ∈ g0 .
Passons maintenant au cas général. Il suffit de montrer qu’il existe un voisinage ouvert U de 0 dans g tel que
pour tout M ∈ U on a exp(M ) ∈ G. En effet, pour tout M ∈ g et pour tout t ∈ R il existe n := n(M, t) ∈ Z≥1
tel que nt M ∈ U donc
t
exp(tM ) = exp( M )n ∈ G.
n
Autrement dit, M ∈ g0 .
Fixons une base X1 = a01 (0), . . . , Xr = a0r (0) de g, où ai : I → G ⊂ GLn (R) est une application C 1 définie sur
un voisinage ouvert I de 0Pdans R et telle que ai (0) = In , i = 1, . . . , r. Notons VI le voisinage de 0 dans g formé
r
des éléments de la forme i=1 ti Xi , t ∈ I r . Fixons également un R-espace vectoriel h supplémentaire de g dans
gln (R). Introduisons enfin les applications C 1
φ: VI P
r
X = i=1 ti Xi
→
→
G ⊂ GLn (R)
a1 (t1 ) · · · ar (tr )
et
f : h × VI → gln (R)
(H, X) → (In + H)φ(X).
On a
d0 f (H, X) = H +
r
X
I=1
ti Xi = H + X
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i.e. d0 f = Id. Par le théorème d’inversion locale, il existe donc un voisinage ouvert U de 0 dans h, un voisinage
ouvert V de 0 dans VI et un voisinage ouvert W de In dans GLn (R) tels que f |W
U ×V : U × V → W soit un
C 1 -difféomorphisme. Notons
f −1 := g = (gU , gV ).
Par définition de f : h × VI → gln (R), on a
f ({0} × V ) = {P ∈ W | gU (P ) = 0} ⊂ G.
Il suffit donc de montrer qu’il existe un voisinage ouvert V de 0 dans g tel que pour tout M ∈ V on a exp(M ) ∈ W
et gU (exp(M )) = 0. Comme gU (In ) = 0, cela revient à montrer qu’il existe un voisinage ouvert V de 0 dans
g tel que pour tout M ∈ V on a exp(M ) ∈ W et dexp(M ) gU ◦ dM exp = 0. Comme l’exponentielle réalise un
C ∞ -difféomorphisme d’un voisinage ouvert de 0 dans Mn (R) sur un voisinage de In dans GLn (R), quitte à
diminuer U, V et W , on peut supposer que l’exponentielle réalise un C ∞ -difféomorphisme de U × V sur W .
D’après l’exercice 2.4, on a, pour tout M ∈ g
dM exp = exp(M )ΛM : g → exp(M )gln (R),
où
ΛM : g
X
→ g
X −ad(M )n
→
(X).
(n + 1)!
n≥0
Il suffit donc de montrer que, quitte à diminuer V (donc W ), pour tout P ∈ W et pour tout Z ∈ g on a
dP gU (P Z) = 0.
Or, pour tout H ∈ U , M ∈ V , on a gU f (H, M ) = H donc en notant P := f (H, M ) et en différentiant pa
rapport à U , on a
dP gU P φ(M )−1 dM φ = dP gU (In + H)dM φ = 0.
L’application
A: V × g → Mn (R)
(M, Z) → AM (Z) := φ(M )−1 dM φ(Z)
est continue en M , linéaire en Z et à valeur dans g (en effet, l’application a : IX,Z → GLn (R) définie par
a(t) = φ(M + tZ)φ(M )−1 est C 1 et vérifie a(IM,Z ) ⊂ G, a(0) = In et a0 (0) = dM φ(Z)φ(M )−1 ). Notons
encore A := A|gU ×g . Comme A0 = Idg , il résulte de la continuité du déterminant que, quitte à diminuer V , on peut supposer AM ∈ GL(g) pour tout M ∈ V . Mais alors, pour tou M ∈ V et Z ∈ g, on a
dP gU (P Z) = dP gU (P AM (A−1
M Z)) = 0. Exercice 3.5. Calculer les algèbres de Lie de GLn (C), SLn (R), Bn (R), Un (R), O(n), SO(n), U(n), SU(n)
(Cf. exemple 3.1).
3.2. ’Groupes de Lie’. Tout groupe linéaire G ⊂ GLn (R) peut être muni naturellement de deux topologies.
- La topologie induite qui, comme son nom l’indique est la topologie induite sur G par celle de GLn (R)
et a pour ouverts les
G ∩ U,
où U décrit l’ensemble des ouverts de GLn (R).
- La topologie intrinsèque qui est définie en utilisant la proposition 3.4. Plus précisément, fixons un
voisinage ouvert U de 0 dans gln (R) et un ouvert V de GLn (R) tels que exp|VU : U →˜V soit un
homéomorphisme. On considère alors la topologie sur G ayant pour base d’ouverts les gexp(g ∩ U 0 ), où
g décrit G et U 0 une base d’ouverts de 0 contenus dans U . Notons que par construction G est encore
un groupe topologique pour la topologie intrinsèque (multiplication et inverse sont continus).
La topologie induite est toujours moins fine que la topologie intrinsèque et, en général, ces deux topologies ne
coincident pas. Par exemple, si on considère l’inclusion canonique
Q× ⊂ R× = GL1 (R),
CHAPITRE 3
GROUPES DE LIE (GROUPES LINÉAIRES) ET ALGÈBRES DE LIE
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la topologie intrinsèque est la topologie discrète, qui est strictement plus fine que la topologie induite.
Par définition de la topologie intrinsèque, la restriction de l’exponentielle exp: g → G est un homéomorphisme
local pour la topologie intrinsèque.
Dans la suite, un groupe linéaire G ⊂ GLn (R) sera toujours muni de sa topologie intrinsèque. On a le
résultat remarquable suivant.
Théorème 3.6. (Cartan) Soit G ⊂ GLn (R) un groupe linéaire et H ⊂ G un sous-groupe fermé. Alors la
topologie intrinsèque sur H définie par le plongement H ⊂ G ⊂ GLn (R) et la topologie induite sur H par la
topologie intrinsèque de G coincident.
Preuve Nous allons procéder en trois étapes. Munissons g d’une norme euclidienne || − || : g → R≥0 .
Lemme 3.7. Soit (Xn )n≥0 une suite d’éléments non nuls de g telle que
(i)
exp(Xn ) ∈ H, n ≥ 0;
(ii) (Xn )n≥0 converge vers 0 dans g;
Xn
)n≥0 converge vers Y ∈ g.
(iii) (Yn := ||X
n ||
Alors Y ∈ h.
Preuve du lemme 3.7. Il suffit de montrer que exp(tY ) ∈ H pour tout t ∈ R. Soit t ∈ R. Pour tout n ≥ 0
notons en la partie entière de ||Xtn || . Alors
en Xn =
tXn
t
+(
− en )Xn → tY.
||Xn ||
||Xn ||
{z
}
|
→0
Comme exp:g → G est continue (pour la topologie intrinsèque sur G définie par G ⊂ GLn (R)), on a donc
exp(Xn )en = exp(en Xn ) → exp(tY ) ∈ H = H. Soit maintenant s un supplémentaire de h dans g.
Lemme 3.8. Il existe un voisinage ouvert Vs de 0 dans s tel que
exp(Vs ) ∩ H = {1}.
Preuve du lemme 3.8. Sinon, en se fixant un voisinage ouvert V de 0 dans s tel que exp|V : V →GLn (R) est
injective, on peut construire une suite (Xn )n≥0 d’éléments non nuls (c’est ici qu’on utilise l’injectivité de exp
Xn
)n≥0
sur V ) de V telle que (Xn )n≥0 converge vers 0 dans s et exp(Xn ) ∈ H, n ≥ 0. La suite (Yn := ||X
n ||
prend alors ses valeurs dans la sphère unité Ss de s, qui est compacte. Quitte à extraire, on peut donc supposer
également que (Yn )n≥0 converge vers Y ∈ Ss . Mais d’après le lemme 3.7, on a Y ∈ h, ce qui contredit h∩s = 0. Considérons maintenant l’application C ∞
φ: h ⊕ s
→ G
(X, Y ) → exp(X)exp(Y ).
On a d0 φ = Idg donc, par le théorème d’inversion locale, il existe des voisinages ouverts Uh de 0 dans h, Us
de 0 dans s et W de 1 dans G tels que φ|W
˜
soit un C ∞ -difféomorphisme. D’après le lemme
Uh ×Us : Uh × Us →W
3.8, quitte à remplacer Us par Us ∩ Vs , on peut supposer en outre que exp(Us ) ∩ H = {1}. Par construction
exp(Uh ) = φ(Uh × {0}) ⊂ H ∩ W . Inversement, pour tout φ(X, Y ) ∈ H ∩ W on a exp(Y ) =exp(−X)φ(X, Y ) ∈
exp(Us ) ∩ H = {1} donc par injectivité de l’exponentielle sur Uh × Us , on a Y = 1. Autrement dit
exp(Uh ) = H ∩ W.
3.3. Connexité. D’après la proposition 3.4, on a toujours exp(g) ⊂ G. En particulier, G0 := hexp(g)i ⊂ G et
il est naturel de se demander si G0 = G. Cela n’est pas vrai en général car G0 est connexe par arcs. En effet,
si g, g 0 ∈ G0 , on peut écrire g 0 g −1 = exp(X1 ) · · · exp(Xr ) et donc construire un chemin continu
[0, 1] → G
t
→ exp(tX1 ) · · · exp(tXr )g
reliant g à g 0 dans G. Autrement dit, g détermine, au plus, la composante connexe par arcs de 1 dans G. En
fait, pour les groupes linéaires, les notions de connexité et connexité par arcs coincident. Cela résulte de
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Lemme 3.9. Soit G ⊂ GLn (R) un groupe linéaire (muni de sa structure intrinsèque de groupe de Lie réel).
Les propriétés suivantes sont équivalentes.
(1) G est connexe par arcs;
(2) G est connexe;
(3) Pour tout voisinage ouvert V de 1 dans G on a hV i = G;
(4) Pour tout voisinage ouvert U de 0 dans g on a hexp(U )i = G.
Preuve. (1) ⇒ (2) est toujours vrai et (3) ⇒ (4) est immédiat par définition de la topologie intrinsèque sur G.
Pour (2) ⇒ (3), soit G0 := hV i. Alors pour tout g ∈ G0 , gV est un voisinage ouvert de g dans G contenu dans
G0 , ce qui montre que G0 est ouvert dans G. Mais alors G0 est automatiquement fermé dans G puisque
G
gG0 .
G=
g∈G/G0
Enfin, pour (4) ⇒ (1), c’est l’argument ci-dessus. Soit G ⊂ GLn (R) un groupe linéaire, on appelle composante neutre de G la composante connexe G0 de G
contenant 1.
Lemme 3.10. Soit G un groupe de Lie. Alors G0 ⊂ G est un sous-groupe ouvert, fermé, normal dans G et
G0 = hexp(g)i.
Preuve. Cela résulte des propriétés élémentaires suivantes de la connexité:
(i) Le produit de deux espaces topologiques connexes est connexe;
(ii) L’adhérence d’un connexe est connexe;
(iii) L’image d’un connexe par une application continue est connexe.
Comme l’application
φ: G × G → G
0
(g, g 0 ) → gg −1
est continue et envoie (1, 1) sur 1, on a φ(G0 × G0 ) ⊂ G0 i.e. G0 ⊂ G est un sous-groupe de G. En outre, G0
est stable par toute application continue f : G → G telle que f (1) = 1; en appliquant cela à la conjugaison par
les éléments de G, on en déduit que G0 est normal dans G. Comme G0 est une composante connexe, G0 = G0
est fermé dans G et, d’après le lemme 3.9, G0 contient exp(g) donc, par définition de la topologie intrinsèque
sur G, G0 est aussi ouvert dans G. Le groupe quotient G/G0 est le groupe des composantes connexes de G.
Exercice 3.11. (Etude de la connexité de SO(n), O(n), GLn (R) etc.)
(1) Décomposition polaire. Notons Sn++ (R) ⊂ GLn (R) le sous-ensemble des matrices symétriques définies
positives et Sn+ (R) ⊂ Mn (R) le sous-R-espace vectoriel des matrices symétriques positives.
(a) Montrer que Sn++ (R) ⊂ Sn+ (R) est un cône convex ouvert et que O(n) est compact.
(b) Montrer que l’application naturelle Sn++ (R)×O(n) → GLn (R), (S, O) → SO est un homéomorphisme.
(2) Montrer que SO(n) est connexe. Donner les composantes connexes de O(n), GLn (R), SLn (R).
4. Correspondance de Lie
4.1. Le foncteur Lie. On note GL/R la sous-catégorie pleine de la catégorie des groupes topologiques dont
les objets sont les groupes linéaires G ⊂ GLn (R) muni de leur topologie intrinsèque. On a déjà défini une
correspondance Lie : GL/R → Lie/R sur les objets. On va maintenant étendre cette correspondance en un
foncteur et en étudier les propriétés.
Pour tout morphisme f : G → H de groupes de Lie et pour tout X ∈ g, on dispose du sous-groupe à 1 paramètre
φX : R
t
→ H
→ f (exp(tX)),
qui est dérivable d’après l’exercice 2.3. On pose alors
CHAPITRE 3
GROUPES DE LIE (GROUPES LINÉAIRES) ET ALGÈBRES DE LIE
9
d f (exp(tX)).
Lie(f )(X) :=
=
dt t=0
Par définition, Lie(f )(X) ∈ h et d’après l’exercice 2.3, Lie(f )(X) est l’unique élément de h tel que
φ0X (0)
f (exp(tX)) = φX (t) = exp(tLie(f )(X)).
Autrement dit, le diagramme suivant commute
g
/H
O
exp
f
GO
exp
Lie(f )
/ h.
Proposition 4.1.
(1) L’application Lie(f ) : g → h est un morphisme de R-algèbres de Lie;
(2) On a Lie(IdG ) = Idg et Lie(g ◦ f ) = Lie(g) ◦ Lie(f ).
Autrement dit, Lie : GL/R → Lie/R définit bien un foncteur.
Preuve.
(1) - R-linéarité: Pour tout X ∈ g et λ, t ∈ R on a
exp(tLie(f )(λX)) = f (exp(t(λX))) = f (exp((λt)X)) = exp(tλLie(f )(X)).
- Additivité: Pour tout X, Y ∈ g, d’après l’exercice 2.5 (i) et par continuité de f : G → H, on a
t
t
exp(tLie(f )(X + Y )) = f (exp(t(X + Y )) = lim (f (exp( X))f (exp( Y )))n
n→+∞
n
n
t
t
= lim (exp( Lie(f )(X))exp( )Lie(f )(Y ))n
n→+∞
n
n
= exp(t(Lie(f )(X) + Lie(f )(Y ))).
- Compatibilité au crochet de Lie: se montre de la même façon que l’additivité en utilisant l’exercice
2.5 (ii).
(2) Se montre de la même façon que la R-linéarité. Nous allons maintenant étudier plus en détails les propriétés de ce foncteur. Nous allons notamment voir qu’il
est ’presque exact’ et que c’est ’presque’ une équivalence de catégories.
4.2. Essentielle surjectivité. Notons GL0/R ⊂ GL/R la sous-catégorie pleine dont les objets sont les groupes
linéaires connexes.
Théorème 4.2. Le foncteur Lie : GL0/R → Lie/R est essentiellement surjectif. Plus précisément, pour tout
n ≥ 0, Le foncteur Lie : GL0/R → Lie/R induit une correspondance bijective des sous-groupes connexes de
GLn (R) sur les sous-R-algèbres de Lie de gln (R) de réciproque
Γ : g ⊂ gln (R) →
hexp(g)i ⊂ GLn (R).
Remarque 4.3. En fait, nous n’allons prouver effectivement que la deuxième partie de l’énoncé. La première
partie s’en déduit modulo le théorème d’Ado [B, Chap. I, page 99] qui affirme que toute k-algèbre de Lie de
dimension finie se plonge dans gln (k) pour un certain n ≥ 0. Combiné à ce résultat, le théorème 4.2 montre
donc que toute R-algèbre de Lie de dimension finie est l’algèbre de Lie d’un groupe linéaire. Notons que ce
résultat est propre à la théorie de Lie des groupes de Lie mais ne s’étend pas en général à d’autres théories de
Lie; par exemple, il n’est pas vrai que toute k-algèbre de Lie de dimension finie est l’algèbre de Lie d’un groupe
algébrique sur k.
Preuve. D’après la proposition 3.10, on a déjà Γ(Lie(G)) = G pour tout groupe linéaire connexe G ⊂ GLn (R).
Il reste donc à voir que pour toute sous-R-agèbre de Lie g ⊂ gln (R) on a Lie(Γ(g)) = g. D’après le théorème
3.4, on sait déjà que
g ⊂ Lie(Γ(g)).
10
COURS M1 ’GROUPES ET REPRÉSENTATIONS’ - X 2011/12 (ANNA CADORET)
Pour montrer l’inclusion réciproque, il suffit de montrer que g contient un ouvert U de Lie(Γ(g)) (puisqu’alors
Lie(Γ(g)) = RU ...). Munissons donc g d’une norme euclidienne || − || : g → R≥0 et fixons un voisinage ouvert
Ũ de 0 dans gln (R) et Ṽ de In dans GLn (R) tels que exp|ṼŨ : Ũ → Ṽ soit un homéomorphisme. Notons
U := Ũ ∩ g ⊂ g et V := exp(U ) ⊂ Γ(g). Considérons une boule fermée B dans g de centre 0, contenue dans U
et telle que exp(B)exp(B) ⊂ V .
Lemme 4.4. Il existe une boule fermée B 1 dans g centrée en 0, contenue dans B, il existe g1 , . . . , gr ∈ exp(B 1 )
tels que, en notant P l’ensemble (dénombrable) des produits finis des g1 , . . . , gr , on a
[
exp(B 1 )k ⊂
pexp(B), k ≥ 1.
p∈P
Preuve du lemme 4.4. Notons φ : V → U l’inverse de exp: U → V . Considérons deux boules ouvertes B1 ⊂ B2
de centre 0 dans g telles que B 1 ⊂ B2 ⊂ B 2 ⊂ B et
exp(B 1 )exp(B 2 ) ⊂ exp(B).
Introduisons l’application continue
Φ : B1 × B2
(X, Y )
→ B
→ φ(exp(X)exp(Y )).
Alors, pour tout X ∈ B 1 , UX := Φ(X, B2 ) est ouvert dans B et contient X; c’est donc un voisinage ouvert de
X dans g. Par construction, on a
[
K := Φ(B 1 × B 1 ) ⊂
UX .
X∈B 1
Mais K est compact, comme image continue d’un compact. Il existe donc X1 , . . . , Xs ∈ B 1 tels que
[
K⊂
UXi .
1≤i≤s
Alors
exp(B 1 )exp(B 1 ) = exp(K) ⊂
[
exp(Xi )exp(B2 ) ⊂
1≤i≤s
[
exp(Xi )exp(B)
1≤i≤s
et on conclut par récurrence. Lemme 4.5. Soit G ⊂ GLn (R) un groupe linéaire et Sn , n ∈ Z≥0 une famille dénombrable de sous-ensembles
de G tels que
[
G=
Sn .
n≥0
Alors il existe n ≥ 0 tel que l’adhérence S n de Sn dans G est d’intérieur non vide dans G.
Preuve du lemme 4.5. Munissons g d’une norme euclidienne || − || : g → R≥0 . Déjà, comme
[
[
G=
Sn =
Sn,
n≥0
n≥0
on peut supposer que Sn = S n est fermé, n ≥ 0. Supposons que Sn est d’intérieur vide dans G pour tout n ≥ 0.
En particulier, G \ S0 6= ∅. Comme G \ S0 est ouvert dans G il contient un ensemble de la forme
T0 := g0 exp(B 0 ),
où B0 est une boule ouverte de centre 0 dans g telle que exp: G → g induise un homéomorphisme de B 0 sur
son image. Considérons l’ouvert T00 := g0 exp(B0 ). On a encore T00 \ (T00 ∩ S1 ) 6= ∅ et comme T00 \ (T00 ∩ S1 ) est
ouvert dans G, il contient un ensemble de la forme
T1 := g0 exp(B 1 ),
où B1 est une boule ouverte (non nécessairement centrée en 0 cette fois-ci) dans g. En itérant le procédé, on
construit une suite décroissante de boules non vides dans g
B 0 ⊃ B0 ⊃ B 1 ⊃ B1 ⊃ · · · B n ⊃ Bn ⊃ B n+1 ⊃ Bn+1 ⊃ · · ·
CHAPITRE 3
GROUPES DE LIE (GROUPES LINÉAIRES) ET ALGÈBRES DE LIE
11
Comme les Bn , n ≥ 0 sont fermées non vides, il résulte de la compacité de B 0 que
\
B ∞ :=
B n 6= ∅.
n≥0
Mais
∅=
6 exp(B ∞ ) ⊂
\
G \ Sn = G \
n≥0
[
Sn = ∅. n≥0
On peut maintenant conclure la preuve du théorème 4.2. D’après le lemme 3.9 et le lemme 4.4, on a
[
[
Γ(g) = hexp(B 1 )i =
exp(B 1 )k ⊂
pexp(B).
k≥1
p∈P
D’après le lemme 4.5, il existe p ∈ P tel que pexp(B) contient un ouvert de Γ(g), que l’on peut prendre sous la
forme
aexp(B 0 ),
pour une boule ouverte B 0 de Lie(Γ(g)) centrée en 0 et contenue dans Ũ . Soit X0 ∈ B tel que exp(X0 ) = p−1 a.
Alors, pour tout X 0 ∈ B 0 il existe un unique X ∈ B tel que
exp(Ũ ) ⊃ exp(X 0 ) = exp(−X0 )exp(X) ⊂ exp(B)exp(B) ⊂ V = exp(U ) ⊂ exp(Ũ )
Comme l’exponentielle réalise un homéomorphisme de Ũ sur son image, on en déduit B 0 ⊂ U . Remarque 4.6. Remarquons au passage que le lemme 4.4 montre plus généralement que si G est un groupe
linéaire connexe alors il existe une boule ouverte B0 de centre 0 dans g telle que pour toute boule ouverte
B ⊂ B0 de centre 0, il existe une famille au plus dénombrable P d’éléments de G telles que
[
G⊂
pexp(B).
p∈P
Exercice 4.7. (Produit) Soit G ⊂ GLm (R) et H ⊂ GLn (R) deux groupes linéaires connexes. On dispose alors
du produit (G × H, pG , pH ) de G et H dans la catégorie des groupes topologiques. En plongeant diagonalement
GLm (R) × GLn (R) dans GLm+n (R), on voit immédiatement que G × H est encore un groupe linéaire. Montrer
que (Lie(G × H), Lie(pG ), Lie(pH )) est le produit de Lie(G) et Lie(H) dans la catégorie des R-algèbres de Lie.
Exercice 4.8. (Dictionnaire) Soit G ⊂ GLn (R) un groupe linéaire connexe.
(1) Montrer que G est abélien si et seulement si [g, g] = 0;
(2) Montrer que Lie(Z(G)) = Z(g);
Exercice 4.9. (Dictionnaire - suite) Soit G ⊂ GLn (R) un groupe linéaire connexe, V un R-espace vectoriel
de dimension finie et ρ : G → GL(V ) une représentation linéaire de G sur V . En appliquant le foncteur
Lie : GL/R → Lie/R , on obtient un morphisme d’algèbres de Lie Lie(ρ) : g → gl(V ).
Pour v ∈ V , on note
Gv := {g ∈ G | gv = v} ⊂ G, gv := {X ∈ g | xv = 0} ⊂ g.
De même, pour tout sous-R-espace vectoriel W ⊂ V , on note
GW := {g ∈ G | gW = W } ⊂ G, gW := {X ∈ g | xW ⊂ W } ⊂ g.
(1) Montrer que Lie(Gv ) = gv et Lie(GW ) = gW ;
(2) En déduire que pour tout sous-groupe H ⊂ G, H est distingué dans G si et seulement si h est un idéal
de g.
Exercice 4.10. (Groupes linéaires connexes commutatifs) Montrer que tout groupe linéaire connexe est de la
forme
Rm × (R/Z)n .
12
COURS M1 ’GROUPES ET REPRÉSENTATIONS’ - X 2011/12 (ANNA CADORET)
4.3. Morphismes de groupes linéaires, revêtements. Passons maintenant au propriétés de Lie : GL/R →
Lie/R sur les morphismes.
Proposition 4.11. (Exactitude) Pour tout morphisme f : G → H de groupes linéaires, on a
(1) ker(Lie(f )) = Lie(ker(f ));
(2) Si G n’a qu’au plus un nombre dénombrable de composantes connexes, im(Lie(f )) = Lie(im(f )).
En particulier, si on a une suite exacte courte de groupes linéaires
1 → G0 → G → G00 → 1
(et que G0 et G n’ont qu’un nombre au plus dénombrable de composantes connexes), on a encore une suite
exacte d’algèbres de Lie
0 → Lie(G0 ) → Lie(G) → Lie(G00 ) → 0.
Preuve. Pour (1), il suffit d’observer que pour tout X ∈ g on a
X ∈ ker(Lie(f ))
⇐⇒ Lie(f )(X) = 0
(1)
⇐⇒ exp(tX) ∈ ker(f ), t ∈ R
(2)
⇐⇒ X ∈ Lie(ker(f )).
où l’implication ⇐ dans (1) résulte du fait que l’exponentielle est un homéomorphisme local au voisinage de eG
et (2) résulte de la proposition 3.4.
Pour (2) on a déjà pour tout X ∈ g,
exp(tLie(f )(X)) = exp(Lie(f )(tX)) = f (exp(tX)) ∈ im(f )
donc im(Lie(f )) ⊂ Lie(im(f )) et Γ(im(Lie(f ))) ⊂ im(f )0 . Montrons Lie(im(f )) ⊂ im(Lie(f )). Comme
im(Lie(f )) = Lie(Γ(im(Lie(f )))), il suffit de montrer que Γ(im(Lie(f ))) = im(f )0 et, pour cela, il suffit de
montrer que Γ(im(Lie(f ))) contient un sous-groupe ouvert de im(f )0 (Cf. Lemme 3.9). D’après le lemme
4.4 (cf. remarque 4.6), on peut trouver une boule ouverte B de g centrée en 0 et et une famille P au plus
dénombrable d’éléments de G telles que
[
G0 ⊂
pexp(B),
p∈P
Par hypothèse G n’a auplus qu’un nombre dénombrable de composantes connexes donc en choisissant pour
chaque C ∈ π0 (G) un élément gC ∈ C, on a
[
G⊂
gC pexp(B)
C∈π0 (G),p∈P
donc
im(f ) ⊂
[
f (gC )f (p)f (exp(B))
C∈π0 (G),p∈P
et, par le Lemme 4.5, il existe C ∈ π0 (G) et p ∈ P tels que f (gC )f (p)f (exp(B)) = f (gC )f (p)f (exp(B)) contient
un ouvert U de im(f ). Donc
{exp(Lie(f )(X))}X∈B = f (exp(B)) ⊃ f (p)−1 f (gC )−1 U,
ce qui implique
Γ(im(Lie(f ))) ⊃ hf (p)−1 f (gC )−1 U i ⊃ im(f )0 . On dit qu’une application continue f : X → Y est localement injective si pour tout x ∈ X il existe un voisinage
ouvert U de x dans X tel que f |U : U → Y est injective. On dit qu’une application continue f : X → Y est
localement surjective (resp. bijective) si pour tout x ∈ X il existe un voisinage ouvert U de x dans X et un
voisinage ouvert V de f (x) dans Y tels que f |VU : U → V est surjective (resp. bijective). Lorsque f : G → H
est un morphisme de groupes topologiques, il suffit de vérifier l’injectivité locale (resp. la surjectivité locale, la
bijectivité locale) au voisinage de x = eG ∈ G.
Avec ces notions locales, on peut préxciser le résultat précd́ent comme suit.
Corollaire 4.12. Pour tout morphisme f : G → H de groupes linéaires, on a
CHAPITRE 3
GROUPES DE LIE (GROUPES LINÉAIRES) ET ALGÈBRES DE LIE
13
(1) Les propriétés suivantes sont équivalentes
(a) f : G → H est localement injectif;
(b) Lie(f ) : g → h est injective;
(c) ker(f ) ⊂ G est discret (pour la topologie induite);
(2) Si G n’a qu’au plus un nombre dénombrable de composantes connexes et si H est connexe alors f : G →
H est (localement) surjective si et seulement si Lie(f ) : g → h est surjective;
Preuve. Montrons d’abord (1). Observons qu’un sous-groupe topologique H ⊂ G est discret (pour la topologie
induite) si et seulement si {eG } est ouvert dans H pour la topologie induite i.e. si et seulement si {eG } = H 0
(pour la topologie induite). D’après la Proposition 4.11 (1), Lie(f ) : g → h est injective si et seulement si
Lie(ker(f )) = 0 donc si et seulement si ker(f )0 = Γ(Lie(ker(f ))) = {eG }. Ici, ker(f )0 est à comprendre au sens
de la topologie intrinsèque sur ker(f ) mais comme ker(f ) = f −1 (eH ) est fermé dans G, le Théorème 3.6 assure
que topologie intrinsèque et topologie induite coincident sur ker(f ) donc, en particulier, ker(f ) est discret si et
seulement si {eG } est ouvert dans ker(f ) pour la topologie induite i.e. si et seulement si il existe un voisinage
ouvert U de eG dans G tel que ker(f ) ∩ U = {eG } = ker(f )0 ou, encore, si et seulement si il existe un voisinage
ouvert U de eG dans G tel que f |U : U → G est injective. Ce qui montre l’équivalence de (a) et (b).
Pour (2), notons d’abord que comme H est connexe, H est engendré par tout voisinage ouvert de eH dans H
donc f : G → H est localement surjective si et seulement si f : G → H est surjective. D’après la Proposition
4.11 (2), Lie(f ) : g → h est surjective si et seulement si Lie(im(f )) = h donc si et seulement si
im(f )0 = Γ(Lie(im(f ))) = Γ(h) = H 0 = H. On a vu que le foncteur Lie : GL0/R → Lie/R est essentiellement surjectif i.e. que toute R-algèbre de Lie de
dimension finie g est de la forme g = Lie(G) pour un certain groupe linéaire connexe G. Maintenant, on peut
se demander si le foncteur Lie : GL0/R → Lie/R est plein i.e. si, étant donnés deux groupes linéaires connexes
G, H, tout morphisme d’algèbres de Lie φ : g → h est de la forme φ = Lie(f ) pour un certain morphisme de
groupes topologiques f : G → H. En général la réponse est non, comme le montre l’exemple suivant.
Exemple 4.13. Posons (G = C× , ×) et (H = C, +). En considérant le morphisme injectif de groupes
topologiques α : G ,→GL2 (R) défini par
a −b
α(a + ib) = M (a, b) :=
,
b a
on voit que Lie(G) = R2 identifié à la sous-R-algèbre de Lie de gl2 (R) des matrices de la forme
a −b
M (a, b) :=
, a, b ∈ R
b a
et donc que pour tout M (a, b) ∈ Lie(G) on a exp(M (a, b)) = α(exp(a + ib)). De même, en considérant le
morphisme injectif de groupes topologiques β : H ,→GL4 (R) défini par


1 a 0 0
 0 1 0 0 

β(a + ib) = N (a, b) := 
 0 0 1 b ,
0 0 0 1
on voit que Lie(H) = R2 identifié à la sous-R-algèbre de

0 a

0 0
N 0 (a, b) := 
 0 0
0 0
Lie de gl4 (R) des matrices de la forme

0 0
0 0 
 , a, b ∈ R
0 b 
0 0
et donc que pour tout N 0 (a, b) ∈ Lie(H) on a exp(N 0 (a, b)) = β(N (a, b)). Supposons donc qu’il existe un
morphisme de groupes linéaires f : G → H tel que Lie(f ) = IdR2 (modulo les identifications ci-dessus) alors on
aurait
f (α(exp(a + ib))) = f (exp(α(a + ib))) = f (exp(M (a, b))) = exp(N 0 (a, b)) = N (a, b) = β(a + ib), a + ib ∈ C
ou encore
β −1 ◦ f ◦ α(exp(z)) = z, z ∈ C,
ce qui est impossible puisque l’exponentielle n’est pas injective sur C.
14
COURS M1 ’GROUPES ET REPRÉSENTATIONS’ - X 2011/12 (ANNA CADORET)
Mais, quitte à ’altérer’ un peu G, cela devient vrai. Plus précisément, on appelle revêtement (connexe) de
G tout morphisme de groupes linéaires connexes p : G̃ → G localement bijectif ou, de façon équivalente (cf.
corollaire 4.12 (3)) surjectif de noyau discret. Par définition, un revêtement (connexe) p : G̃ → G de G est un
revêtement au sens topologique.
Théorème 4.14. (’Plénitude’) Soit G, H deux groupes linéaires connexes et φ : g → h un morphisme d’algèbres
de Lie. Alors il existe un revêtement p : G̃ → G et un morphisme de groupes linéaires f : G̃ → H tel que
φ ◦ Lie(p) = Lie(f ).
Preuve. Rappelons que d’après l’Exercice 4.7 (Lie(G×H), Lie(pG ), Lie(pH )) est le produit de Lie(G) et Lie(H).
Notons
g̃ := {(X, Y ) ∈ g × h | φ(X) = Y } ⊂ g × h
le graphe de φ et plongeons g dans g̃ par X → (X, φ(X)). On déduit des inclusions
g ⊂ g̃ ⊂ g × h
ci-dessus des inclusions de groupes linéaires connexes
G = Γ(g) ⊂ Γ(g̃) ⊂ Γ(f rakg × h) = G × H.
Notons G̃ := Γ(g̃) et i : G ,→ G̃, j : G̃ ,→ G × H les inclusions canoniques. Enfin, posons p := pG ◦ j : G̃ → G
et f := pH ◦ j : G̃ → H. Un calcul élémentaire montre que
Lie(p) = Lie(pG )|g̃ : g̃→g
˜
et que
Lie(f ) = Lie(pH )|g̃ = φ ◦ Lie(p).
En particulier, comme Lie(p) = Lie(pG )|g̃ : g̃→g
˜ est un isomorphisme, p : G̃ → G est un revêtement connexe.
Cela conclut la preuve. Rappelons qu’un espace topologique X est simplement connexe s’il est connexe et n’admet pas de revêtement
topologique connexe non trivial. Rappelons également que tout espace topologique ’raisonnable’ (par exemple
connexe, localement connexe par arcs et localement simplement connexe) X admet un revêtement topologique
simplement connexe p : X̃ → X, qui est alors unique et appelé le revêtement universel de X. On peut montrer
qu’un groupe linéaire connexe G est simplement connexe si et seulement si pour tout groupe linéaire H le
foncteur Lie : GL0/R → Lie/R induit une surjection HomGL/R (G, H) HomLie/R (g, h). Les groupes SLn (C) et
SU (n) sont simplement connexes. Le groupe SO(n) n’est pas simplement connexe mais admet un revêtement
universel Spin(n) → SO(n) de degré 2 (on verra dans le dernier chapitre que pour n = 3 Spin(3) = SU (2)).
Plus généralement, tout groupe linéaire connexe G admet un revêtement topologique universel p : G̃ → G dans
la catégorie des espaces topologiques. L’espace topologique G̃ peut être muni canoniquement d’une structure de
groupe de Lie (variété différentiable C ∞ munie d’une structure de groupe telle que la multiplication et l’inverse
sont C ∞ ) qui fait de p : G̃ → G un morphisme de groupes de Lie. Mais il n’est pas vrai en général que G̃ soit
un groupe linéaire. Par exemple, le revêtement universel de SL2 (R) n’est pas un groupe linéaire. Cela montre
un peu les limites de notre approche élémentaire de la théorie des groupes de Lie.
Exemple 4.15. Les morphismes de groupes topologiques
(−)n : C×
z
→ C× , n ≥ 1
7
→
zn
sont des revêtements topologiques. Le groupe fondamental de C× est Z et son revêtement universel est
exp : C → C× .
Exemple 4.16. En reprenant la situation de l’exemple 4.13 et

exp(z)
G̃ := C = {E(z) :=  0
0
considérant le groupe linéaire

0 0
1 0 }z∈C ,
0 1
on peut vérifier que le morphisme p : G̃ → G défini par p(E(z)) = exp(z) est un revêtement connexe et que le
morphisme f : G̃ → H défini par f (E(z)) = z vérifie bien Lie(f ) = IdR2 .
CHAPITRE 3
GROUPES DE LIE (GROUPES LINÉAIRES) ET ALGÈBRES DE LIE
15
Exercice 4.17. (Revêtement universel d’un groupe topologique ’raisonnable’) Soit G un groupe topologique
connexe, L.C.A.L.S.C et soit p : G̃ → G son revêtement universel. Montrer que G̃ est muni d’une structure
de groupe topologique qui fait de p : G̃ → G un morphisme de groupes topologiques. Montrer que le noyau de
p : G̃ → G est discret et contenu dans le centre de G̃.
5. Représentations de dimension finie des groupes linéaires connexes
Soit G ⊂ GLn (R) un groupe linéaire connexe. Et (V, θ) une représentation linéaire continue de dimension finie
de G sur C. On a donc un morphisme de groupes linéaires connexes
θ : G → GL(V )
qui, via le foncteur Lie : GL/R → Lie/R induit un morphisme de R-algèbres de Lie
Lie(θ) : Lie(G) → gl(V ).
On a vu dans l’exercice 4.9 qu’un C-sous-espace vectoriel W ⊂ V est G-stable si et seulement si il est Lie(G)stable. En particulier, toute représentation linéaire continue irréductible de dimension finie (V, θ) de G sur C
est une représentation linéaire irréductible de dimension finie de Lie(G) sur C. Par construction Lie(G) est une
R-algèbre de Lie mais en utilisant l’isomorphisme d’adjonction
HomLie/R (Lie(G), gl(V ))→Hom
˜
Lie/C (Lie(G) ⊗R C, gl(V ))
on voit immédiatement que l’étude des représentations linéaires de dimension finie de la R-algèbre de Lie Lie(G)
sur C équivaut à celle des représentations linéaires de dimension finie de la C-algèbre de Lie Lie(G) ⊗R C sur
C. Dans la pratique, l’étude des représentations des algèbres de Lie complexes est plus simple que celle des
algèbres de Lie réelles.
La méthode de base pour étudier les représentations linéaires irréductibles d’un groupe linéaire connexe G peut
donc se résumer en trois étapes.
(1) Détermination des représentations irréductibles de dimension finie de Lie(G) ⊗R C sur C;
(2) Pour chaque représentation irréductible τ : Lie(G) → gl(V ) de Lie(G), détermination d’un revêtement
connexe p : G̃ → G de G (par exemple le revêtement universel) et d’un morphisme de groupes linéaires
θ̃ : G̃ → GL(V ) tel que Lie(θ̃) = τ ;
(3) Vérifier si ker(p) ⊂ ker(θ̃). Auquel cas le morphisme de groupes linéaires θ̃ : G̃ → GL(V ) passe au
quotient en un morphisme de groupes linéaires θ : G → GL(V ).
Nous allons illustrer cette méthode en traitant l’exemple de SU (2) et SO(3) dans le dernier chapitre de ce cours.
References
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[K02] A.W. Knapp, Lie Groups Beyond An Introduction, 2nd Ed. (Chap. I, App. B), Progress in Math. 140, 2002.
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[S66] J.-P. Serre, Algèbres de lie semisimples complexes, W.A. Benjamin 1966.
[email protected]
Centre de Mathématiques Laurent Schwartz - Ecole Polytechnique,
91128 PALAISEAU, FRANCE.