EPFL - Printemps 2017 Géométrie Riemannienne I M. Troyanov Exercices Série 5 24 mars 2017 5.1. Expliciter l’application de transport parallèle le long d’un horocycle du 1/2-plan hyperbolique (une courbe de la forme γ(t) = (t, c) où c est une constante). 5.2. On considère un cercle parallèle à l’équateur de la sphère S2 . Calculer l’holonomie le long de cette courbe. Il peut être utile introduire le cône de R3 dont l’intersection avec S2 est exactement la courbe considérée. 5.3. Soit G un groupe de Lie. Un champs X ∈ Γ(G) est dit invariant à gauche si Lg∗ X = X. Le difféomorphisme a été définie à la série 2. On note g l’ensemble des champs invariants à gauche. (a) Montrer que l’ensemble des champs invariants à gauche est un espace vectoriel et que A: g −→ Tg G X 7−→ X(g) est un isomorphisme pour tout g ∈ G. (b) En déduire que la sphère S2 ne possède pas de structure de groupe de Lie. (c) Montrer que l’opération (X, Y ) 7→ [X, Y ] donne à g une structure d’algèbre de Lie (on dit que g est l’algèbre de Le du groupe de Lie g). (d) Décrire la structure d’algèbre de Lie du groupe GLn (R), puis SLn (R). (e) Montrer qu’il existe une unique connexion D sur G telle que Lg∗ D = D. Le "push-forward" d’une connexion D est par définition la connexion (Lg∗ D)X Y = Lg∗−1 (DLg∗ X Lg∗ Y ). Montrer aussi que cette connexion est caractérisée par le fait que, pour tout couple de champs X et Y invariants à gauche, DX Y = 0. (f) Soit γ : R → G une géodésique pour cette connexion telle que γ(0) = e. Montrer que γ est un morphisme de groupe. On dit que γ est un groupe à un paramètre de G. 5.4. Quelques propriétés de l’exponentielle dans le groupe GLn (exercice facultatif ). On note K le corps R ou C. On rappelle que si A ∈ Mn (K), l’exponentielle de A est définie par exp(A) = X Ak k>0 k! . (a) Rappeler comment construire des normes multiplicatives sur Mn (K) et en déduire que exp(A) est bien définie. (b) Calculer l’exponentielle d’une matrice diagonale et de 0 −θ θ 0 (c) Calculer la différentielle de exp en 0. En déduire que exp est un difféomorphisme local en 0. Comment résout-on le système différentiel Ẋ = AX, X(0) = X0 ? (d) Montrer que exp(A) est un polynôme en A. (e) Montrer que si U et V commutent alors exp(U + V ) = exp(U ) · exp(V ). En déduire que exp est à valeurs dans GLn (K) et aussi que, pour tout A, ϕ : C −→ GLn (K) t 7−→ exp(tA) est un groupe à un paramètre. (f) Montrer que exp(P −1 AP ) = P −1 exp(A)P . En déduire que det(exp A) = exp(trA). (g) On suppose maintenant K = C. Trouver la décomposition de Dunford de exp A en fonction de celle de A. En déduire que A est diagonalisable si et seulement si exp A diagonalisable. (h) Toujours avec la décomposition de Dunford de exp A, montrer que l’image de exp est GLn (C) tout entier. De plus, si A ∈GLn (C), montrer que l’on peut trouver un antécédent à A qui est un polynôme en A. (i) Soit H un sous groupe de GLn (C) qui contient l’identité un voisinage de l’identité. Montrer que H =GLn (C). On pourra montrer que H est à la fois ouvert et fermé, puis que GLn (C) est connexe. Retrouver le résultat de la question précédente. (j) Soit A ∈ GLn (R). Montrer que A est dans l’image de l’exponentielle si et seulement s’il existe B ∈GLn (R) telle que A = B 2 . 2