DS 5 proba vecteurs 12-13

Devoir surveillé de mathématiques n°5
11/01/13
2nde
Nom :
Exercice 1: ( 6,5 )On lance un dé cubique truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Exercice 4(3,5): Avec une pièce et deux urnes
On s'intéresse au nombre figurant sur la face supérieure du dé. Un très grand nombre
d’expériences a permis d'établir le début de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire :
Un jeu consiste à lancer d'abord une pièce puis, suivant le résultat du lancer de la pièce, à
choisir deux boules dans une urne selon les modalités suivantes:
issue
1
2
3
probabilité
0,1
0,2
0,4
-Si la pièce tombe sur Pile, on choisit successivement deux boules au hasard, sans remettre
la première boule après l'avoir tirée, dans une urne qui contient deux boules blanche (B1,B2)
et une boule verte (V1).
4
5
6
On sait que la probabilité d'obtenir 4 est identique à celle d'obtenir 5, et que la
probabilité d'obtenir 6 est égale au double de celle d'obtention du 4.
-Si la pièce tombe sur Face, on choisit successivement deux boules au hasard, sans remettre
la première boule après l'avoir tirée, dans une urne qui contient 2 boules vertes (V2,V3) et une
boule rouge(R).
1°) Compléter , en justifiant, la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
1°) Effectuer un arbre afin de déterminer toutes les issues de cette expérience.
2°) Calculer les probabilités des événements suivants :
I : « obtenir un nombre impair »
Q : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 »
3°) Calculer, en justifiant, les probabilités des événements I ∩ Q et I ∪Q .
2°) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
U:"Aucune boule tirée n'est verte"
M:"Au moins une des boules tirées est verte"
4°) Décrire par une phrase et calculer, en justifiant, la probabilité de I ∪Q
5°) On considère les événements D : " le nombre est divisible par 2" et
T : "le nombre est divisible par 3"
Calculer, en justifiant, la probabilité de l'événement T ∪D.
Exercice 5 : (6)On fera une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.
ABCD est un parallélogramme.
1°) M est le point tel que ⃗
AM =3⃗
AD
a) Placer M.
Exercice 2 (2):
On lance deux dés tétraédriques (dés à 4 faces) équilibrés, les faces de chaque dés étant
numérotées de 1 à 4. On s'intéresse aux nombres obtenus sur les faces inférieures des dés.
b) Démontrer (par le calcul, pas par lecture !) que ⃗
CM =⃗
BA+2 ⃗
BC .
2°) N est le point tel que 2⃗
BN =⃗
AB .
A l'aide d'un tableau à double entrée, déterminer la probabilité de l'événement :
a) Placer N.
C : "la somme des deux faces inférieures est supérieure ou égale à 5"
b) Exprimer ⃗
CN en fonction de ⃗
BA et ⃗
BC (justifier).
Exercice 3 : (2)
A et B sont deux événements tels que p(A) = 0,7 ; p(A∩B) = 0,2 ; p(A∪B) = 0,7.
Calculer p(B).
3°) Déduire des questions 1°)b) et 2°)b) le nombre k vérifiant ⃗
CM =k ⃗
CN .
Que peut-on en déduire ?
Devoir surveillé de mathématiques n°5
11/01/13
2nde
D'après ce tableau, qui présente les 16 tirages équiprobables, on a p (C)=
Exercice 1: ( 6,5 )On lance un dé cubique truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
1°) On appelle x la probabilité de sortie de 4 ; celle de 5 est x, celle de 6 est 2x
Exercice 3 : (2) p(A) = 0,7 ; p(A∩B) = 0,2 ; p(A∪B) = 0,7.Calculer p(B).
La somme des probabilités étant égale à 1, on a :
0,1+0,2+0,4+ x+ x+2 x=1 ⇔ 4 x+0,7=1 ⇔ 4 x=0,3 ⇔ x=0,075
p(A)=1-p( A )=1-0,7=0,3
On a alors :
issue
1
2
3
4
5
6
probabilité
0,1
0,2
0,4
0,075
0,075
0,15
p(A ∪ B)= p (A) + p(B) - p (A ∩B) ⇔ 0,7=0,3+p(B)-0,2 ⇔ p(B)=0,6
p( B )=1-p(B)=1-0,6=0,4
Donc p( B )=0,4
2°)I={1;3;5}
p( I )=0,1+0,4+0,075= 0,575
Q={1;2;3;4}
p(Q )=0,1+0,2+0,4+0,075=0,775
Exercice 4: (3,5)
1°)
3°) I ∩Q : « nombre impair et inférieur ou égal à 4 »
I ∩Q={1;3} donc p(I ∩Q)=p({1})+p({3})=0,5
I ∪Q : « nombre impair ou inférieur ou égal à 4 »
p (I ∪Q)=p(I)+p(Q)-p(I ∩Q)=0,575+0,775-0,5=0,85
4°) I ∪Q = I ∩ Q : " le nombre est pair et strictement supérieur à 4"
I ∪Q = {6} donc p ( I ∪Q )=0,15
5°) T={3;6} donc T ={1 ;2;4;5}
et D={2;4;6}
Donc T ∪D={1;2;4;5;6} et p( T ∪D)=1-p({3})=0,6
Exercice 2 (2):
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
Il y a 12 issues équiprobables
2°) U est vérifiée par 2 issues sur 12 donc p (C)=
M est le contraire de U donc p(M )=1
1 5
=
6 6
1
6
10 5
=
16 8
Exercice 5 : (6)
1°) ⃗
AM =3⃗
AD donc
⃗
AC+⃗
CM =3⃗
AD
⃗
CM =3⃗
AD ⃗
AC et comme ⃗
AD=⃗
BC
⃗
CM =3⃗
BC ⃗
AC
⃗
CM =3⃗
BC (⃗
AB+⃗
BC)
⃗
CM =3⃗
BC ⃗
AB ⃗
BC
⃗
CM =⃗
BA+2 ⃗
BC
2°) 2⃗
BN =⃗
AB donc
2 (⃗
BC+⃗
CN )=⃗
AB
2⃗
BC +2⃗
CN =⃗
AB
2⃗
CN = ⃗
BA 2⃗
BC
1
⃗
CN = ⃗
BA ⃗
BC
2
4°)
1⃗ ⃗
2×⃗
CN = 2 (
BA BC ) d'après 2°)
2
= ⃗
BA+2 ⃗
BC
(développement)
= ⃗
CM d'après 3°)
Donc ⃗
CM = 2⃗
CN
On en déduit que ⃗
CN et ⃗
CM sont colinéaires, donc C, M, N sont alignés.