Travaux de Shimura et Taniyama sur la multiplication

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
P IERRE S AMUEL
Travaux de Shimura et Taniyama sur la
multiplication complexe
Séminaire N. Bourbaki, 1954-1956, exp. no 129, p. 315-322
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1954-1956__3__315_0>
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Séminaire BOURBAKI
(Février 1956)
TRAVAUX DE SHIMURA ET TANIYAMA SUR LA MULTIPLICATION COMPLEXE
par Pierre SAMUEL
On sait que certaines courbes
E
elliptiques
admettent d’autres transformations
elles-mêmes que celles que tout le monde sonnait (c’est-à-dire
autres que les applications x --~ a + x et x -~ b - x , la courbe étant munie
de sa structure de variété abélienne); dans le cas classique ces courbes ont pour
= x3modèles les cubiques harmoniques
1)), et équianharmonique
birationnelles
sur
(y2
(y2 =x(x -
(rationnels) de E contient
~ Z) . L’hypothèse t~E ) ~ ~
des endomorphismes
Ceoi implique que l’anneau
d’autres éléments que les endomorphismes x - nx (n
implique
est
que
isomorphe à
un
l)
sous-anneau -/:. Z
de l’anneau des-entiers
algébriques d’un corps im~aginaire quadratique K ~ et qu’on obtient ainsi tous.
les sous-anneaux 1: Z de tous corps imaginaires quadratiques (les cas particuliers
des courbes admettant des transformations birationnelles
où
K
admet des
unités / 1 , - 1 ,
K =
c’est-à-dire
non
Q(i)
triviales sont
K
et
=
ceux
(j3 = 1 ) ).
Q(j)
Cette circonstance permet d’étudier les extensions abéliennes d’un corps imaginaire
quadratique K ~ et de développer ainsi la théorie du corps de classes sur K
(historiquement ce cas particulier de la théorie du corps de classes a été traité
avant le cas général). Dans leurs travaux SHIMURA et TANIYAMA ([2],[4]) considèrent
la situation plus générale suivante : on a un corps de nombres algébriques de degré
pair 2n sur Q et une variété abélienne A de dimension n dont l’anneau
d’endomorphismes contient l’anneau R des entiers de K . Dans ces conditions il
est utile de savoir "réduire" la variété" abélienne A et divers objets s.’y rat-
(anneau d’endomorphismes
tachant
de définition de
1. Généralités
Soient
k
un
idéal maximale
(affine
(ou plutôt
cu
semble
par
exemple)
sur
la réduction
corps,
v
une
o /~ ~
r(k)
de :Jn o[X]),
a I1 est fort
té de codimension 1 :
engendré
par
un
.
valuation dicrète de
les
mod p
on
obtient
algébrique correspondant s’appelle
mod ;~
d’un corps
premiers
(cf. [3 ~)
modulo,
le corps quotient
projectif). En réduisant
ceux
modulo les idéaux
A .
un
k ~ o
V
et
un
polyn8mes
idéal
l’ensemble
r(~)
de
son
l’idéal J
V
de
l’en-
de
algébrique réduit
loin
son
algébrique
k-ensemble
V
lorsque
simple d’aller un peu plus
en effet son idéal ~
est alors principal,
polynôme F(X)
anneau
est
et
de
V
une
varié-
peut être
dont tous les coefficients sont dans 0’ mais pas
315
tous
alors l’idéal réduit
dans p ;
r(F)(X) ;
décomposition
la
=
0) ;
on
est
engendré par le polynôme réduit
facteurs irréductibles
le cycle r (V) ~ ""
permet d’associer à l’idéal
d’équation
r(J)
de celui-ci
r(F) =T!
en
(Wmodula
: variété.
appelle r(V’~
notion s’étend aussitôt par linéarité
le cycle ré t de V
cycles de codimension 1 .
aux
Cette
Etant donnée
une variété (ou un cycle
V) de dimension quelconque, divers procédés
équivalents permettent d’assooier à V un c cle réduit mod
p a On peut utiliser
la teohnique des "multiplicités de spécialisations" d’A. WEIL
Dans
le
cas
projectif
obtient
peut aussi réduire
mod la forme de Chow de V J on
la forme de Chow de r(V) . Le cycle r(V) a morne dimension
(et m8me degré dans le
cas projectif) que V. Le
procédé de réduction
s’étend aux cycles d’une
variété abstraite ambiante U =
pourvu
que U se réduise bien
(U~ ~ ~
c’est-à-dire que les
soient des variétés et les
des correspondances
birationnelles qui soient birégulières là où il faut.
on
mod p
T~~ )
r(U03B1)
La réduction des cycles
spécialisation
des
r(T03B103B2 )
jouit
mod f
(cette
cycles
propriétés analogues à
de
notion, étudiée
colles de la
par MATSUSAKA et le
conférencier,
est d’ailleurs essentiellement la
d’égales caractéristiques).
même chose que la réduction
dans le cas
mod
~
Plus précisément elle est compatible avec les opérations
les cycles (addition, projection algébrique, produit cartésien, produit d’intersection). Par exemple si deux cycles X et Y rationnels sur k sont tels
sur
que
X.X
r(X).r(Y)
et
soient
définis,
utile et facile. - Soient
r(A)
et
r(B)
nelle de
A
de r(A)
dans
En
A
B;
r(B) ~+
particulier soit
et
B
on a
r(X.Y)
deux variétés
=
r(X).r~Y)~.
complètes
telles que
variétés,
graphe
application ratonalors r(G) est le graphe d’une apllication rationnelle
soient des
dans
alors
A
et soit
G
le
d’une
composantes verticales).
variété abélienne
(définie sur
supposons que
r(A) soit une variété. Le lemme nous fournit des applications rationnelles
r(A)xr(A) ~ r(A ) et r(A) ~ r(A) réduites de l’addition et du passage à l’opposé. Si ces applications sont partout régulières, on dit que A est sans défaut
Pour
p ; ces applications munissent alorq r(A) d’une structure de variété
une
abélienne.
Soit A
phisme
dans
r :
de
A
r(B) ~
deux variétés abéliennes
B
et
dans
qui
B . Le lemme
est évidemment
nous
un
sans
fournit
défaut
une
homomorphisme.
pour p ,
application
et ’).
r( ~)
On obtient ainsi
une
un
de
r(A)
application
qui est, bien
un
montre aisément que
tion montre que }’on
~ ) . Enfin,
phisme
est
un
homomorphisme ; la considération
r
est
de la dimension de
monomorphisme. La conservation des degrés par réduc~1 ) ~ ~ ~ ( ~) (voir dans 2 la définition du symbole
un
a ~(r(
l’anneau des
si l’on note
endomorphismes
A~
de
le monomor.
r :
monomorphisme pour les structures d’anneaux.
de k telle que, pour tout
famille de valuations
= 0
x ~ 0 dans k ~ on ait
pour presque tout o( (par exemple la famille
des valuations d’un anneau de Dedekind) ; soit r~ l’opération de réduction
Si F(X) est un polynôme absolument irréductible, on montre
correspondant
Considérons enfin
(v~)
une
v~(x)
à v~ .
que le
polynôme
est absolument irréductible pour presque tout
réduit
est une variété pour
déduit que, si V est une variété, alors
A
est sans défaut
presque tout a . On montre aussi qu’une variété abélienne
rO(V)
on en
~t ;
(résultat déjà obtenu par NERON et par MATSUSAKA dans le
cas d’ égales caractéristiques, c~est-à-dire dans leurs études sur les faillies
algébriques dQ variétés abéliennes). De plus, si A est la jacobienne d’une ccfur-
pour, presque tout
be
C,
r03B1(A)
alors
est
la j acobienne
pour presque tout 0( .
de
2. Endomorphismes des variétés abéliennes.
Nous
voir
complétons
ici les résultats
exposés
par NERON
homomorphismes
libre de type
domorphismes
étendus
et
de détails
le groupe Xomhi , B) des
A dans B est un groupe abélien
(rationnels, cela va sans dire) de
fini ([6 ]); théorème 3? ) ; en particulier
de
A
l’anneau Q(A)
dont le rang est d’ailleurs majoré par 4
est une Q-algèbre semi-simple. Voici
A
comme un
de variétés abéliennes
produit
sous-variétés abéliennes
non
triviales),
ce
qui
est
près (rappelons
exiate des épimorphismes
de
A
sur
B
et de
B
sur
des
en-
L’algèbre
sa
structure.
simples (c’est-à-dire
toujours possible, en
complète réductibilité de Poincaré ([6 ]) à
que deux variétés abéliennes A ~ B sont dites
vertu du théorème de
à
plus
8~
Qo(A) = Q(A)Q
représente
sans
Pour
[ 6 ].
Etant données deux variétés abéliennes A
On
([1 ]).
"isogénisme"
isogènes s’il
A est isogène
ainsi
A) ;
un
A
1°
étant
et.
C ô (A )
est
isogénas
isomorphe
si et seulement si
Qo(Ai,1 ... Ai,n(i)
produit des
au
~l-i~ ..~~h;
2~
...
d’ordre n(!)
sur
i = i’ . Alors 1
Ai,n(i» est isomorphe à l’anneau des matrices carrées
~~i 1 ) , lequel est corps (commutatif non).
x
un
ou
Pour tout homomorphisme d’une variété abélienne
note 0(’;B)
,
A
dans
une
autre
B~
on
[k(x) k( a (x) ) ~
~ ;
(x) point générique de A sur k) si ce
contraire (c’est-à-dire
Si ?( désigne un endomorphisme de
la variété abélienne An (n =
et 03B4 l’automorphisme identique de A ,
il existe un polynôme unitaire F(X) à coefficients entiers et de degré 2n tel
que ~ (s & - ~ ) P(e) pour tout entier s ([6]) ; théorème 34 et corollaire 2
su théorème 37) J ce polynôme s’appelle le
polynômecaractéristique de o( ..
l’entier
(k : corps de définition de A ~ B
nombre est fini, et 0 dans le cas
t
=
3. Domaines
Soient
A
briques,
et
rateurs de
(~,(A )
de
d’opérateurs
une
R
d’une variété
abélienne.
variété abélienne de dimension n ~ K
un
corps de nombres
algé-
l’anneau des entiers de K. On dit que R est un domaine d t opés’il existe un isomorphisme ’~ de R dans l’anneau d’endomorphismes
et si [K : Q3= 2n . L’existence d’un tel domaine d’opérateurs impli-
A
A~
(d’après 2) que A est isogène à un produit de variétés abéliennes
simples isomorphes (c’est-à-dire que (0~ (A) est un anneau de matrices sur un
corps), que K est un sous-oorps commutatif maximal de (9. (A) , et que R est
son propre commutant dans C2~(A ) . De
on a
plus, pour
que facilement
Nous identifierons
abélienne admettant
certaines variétés
abélienne,
et à
général
en
R
se
image
d’opérateurs
avec eon
pour domaine
abéliennes,
laquelle
R
^~(R)
est
dans
un
~s variété
R-module ; d’où.
pour
"R-structure" plus riche que celle de variété
rapportera le préfixe »R.-~r ~
une
En utilisant le fait que, dans les conditions
précédentes, l’algèbre simple
(A ) admet une trace 6’:
antiautomorphisme involutif
f~ ---~ ’~’ tels que ~‘ ( ~ ~’ ~ ~ 0 pour ~ ~ 0 (~ 6 ~~ ~ et en utilisant un raisonnement d’approximations diophantiennes, TANIYAMA montre ([4J) proposition 16) que
K
est
une
extension
Etant donnés
et
un
une
quadratique
totalement
variété abélienne
idéal ~ ~ (0)
de
R~
le corps
A
imaginaire
admettant
composé
R
d’un corps totalement réel.
pour domaine
des corps
d’opérateurs.
~~
x
point
générique
A
de
sur
lienne correspondant
générateurs de
-.~
x
( ~ ix ~
a~
..La variété
a
A~
à
et
A~
A)
pour domaine d’opérateurs $ Le noyau
formé par les z E A tels que z
de
A~
R
qu’elle admet
fini
=
0
tout ~03B1 .
Si ~ et b
est
On obtient ainsi
sur
de 03BB03B1 est le sous-groupe
pour
un
une variété abélienne
A ~ et un
déterminée à un R-isomorphisme près par
s’appelle la transformée de A
Remarquons que
A
de
A03B1
isogène
est
corps de fonctions abéliennes (une variété abéà ce corps s’obtient en prenant un système fini
de
c’est l’image de A dans A x A x .., x A par
est
~r ) ) .
... ,
epimorphisme
k)
un
alors
sont deux
idéal principal
idéaux ~ (0)
(~ ) ~
résulte
on
Il
que
x --~ J üx .(d’où
la notation
en
de
de l’idéal
A ~ (mais
Ac’
On montre d’autre
Ci,. ;
l’idéal fractionnaire
il faut et il suffit que
donc,
03B1 et
b
au
part
l’épimorphisme
A~ = A ,
peut prendre
non
lieu de
a~)
A~,
dépend
c
désignant
que
la classe
à
R-isomorphe
soient
A et A w
~~ étant
que de la classe
ne
est
pour que
Si
A~b.
on a
R-isomorphes,
appartiennent à la même classe d’idéaux de
R ,
4. Courbes elliptiques et corps, imaginaires quadratiques.
On sait que tout corps de fonctions
un modèle E
de la forme
a
elliptiques (c’est-à-dire tout corps de genre 1)
Y == 4X Le
nombre j(E) =
tion,
une
z633 ( ~z )3/ ( ( ~z )3 - z~ Pour
( ~ )z tout
i
est un invariant du corps en quesnombre complexe j , il existe
et le détermine de
façon unique.
elliptique définie sur Q ( j ) telle que j (E ) = j .. Rappelons que les
elliptiques ne sont autres que les variétés abéliennes de dimension 1.
courbe
courbes
K
Soit
un
’le nombre de
corps
ses
quadratique imaginaire,
classes
d’idéaux ;
il existe
R
l’anneau des entiers de
h
nombres
A(E)
alors
R
nombres
est évidemment
jl’
... ,
un
domaine d’opérateurs de
sont d’ailleurs des entiers
jh
E
h
K1
complexes jl 1 ...
d’endomorphismes
tels que, pour q’une courbe elliptique E admette un anneau
isomorphe à R , il faut et il suffit que j (E ) soit
p.
complexes ).
( ~z ’ ~ : nombres
(et
égal
à l’un
c’est le
,
jh
des ji ;
seul).
Les
algébriques (cf. WEBER, [5J
422).
Les transformée distincts
(no 3),
et admettent
admettant
R
R
Ei
de
E
pour domaine
par les idéaux de
d’opérateurs ;
d’opérateurs est isomorphe
pour domaine
R
sont
au
nombre de h
donc toute courbe
à l’une des
Ei .
elliptique
En
pour tout
particulier,
est la transformée
E
de
automorphisme
de
C
s
de
E
par les idéaux d’une classe
K~
sur
la courbe
conjuguée
c(a) bien
qu’on montre
est s(j(E)) ~ et
déterminée par s. Comme l’invariant de
tous
sont
les
de
définis
éléments
sur
que
K(j(E)) ~ il en résulte que
est définie sur K(j(E)) ~ donc que s(j(E)) e K(j(E)) 3 ainsi K(j(E))
est une extension galoisienne de K , et même une extension abélienne~ car on
~(E)
voit tout de suite que
K(j(E))
Galois de
Nous sommes tout
ses.
l’application
K
sur
près
Pour l’obtenir
o(s)
dans le groupe
d’un des résultats
complètement,
il faut
est
typiques
encore
un
de la théorie du corps de clas-
montrer
1° que K(j(E)) est non ramifiée 3
2o que s c(s) est subjectif, et que son isomorphisme réciproque
~ (K(j)/K 03B1)
par passage aux quotients de l’homomorphisme: 03B1
(on rappelle
partir
Pour cela
idéal
définie
l’automorphisme
(K(j)/K~ 03B1)
de
~b).
mier
que
on
(K(j)/K 03B1 )
Si
est
s
d’où
c(s)
que, si
c(s)
une
s
de
un
m
Soit
divise
~
.
élément du
d’inertie
k’
qui
à
1
et
a=l ~
hypothèses
et notations
l’application
r(E’)
q. Alors
par
de réduction
mod
idéal
~
on a
non
Pour cela
est sans défaut pour tout
l’opérateur
r
groupe
à la puissance
formée de
K(j) qui
de
on se
relation de congruence de Kronecker
et
sur
une
1
est la classe
Avec les
par multiplicativité
On montre d’abord que, pour tout
variété abélienne E’ isomorphe à E et
est
ainsi
~
est l’automorphisme de Frobenuis
=
définit
déduit
utilise la réduction module
sur une
~b
se
se
qui est l’automorphisme de Frobenius attaché à l’idéal pre-
de R ~ il existe
premier ~extension
finie k’
premier
groupe de
isomorphisme du
des classes d’idéaux de K.
s -~
sur
ramifié. n suffit alors de montrer
attaché à l’idéal premier ~ ~ alors
sert du résultat suivant (qui contient
les fonctions
précédentes,
notons
q
elliptiques) :
la
norme
de
l’idéal
rationnelle consistant à élever toutes les coordonnées
m (r(E’))
r(E’L
l’application canonique
est la variété abélienne
est
l’idéal p , et mq
trans-
de
r(E’)
r(E’)~ .
5 . Autres résultats de Shimura et
Les mémoires étudiés contiennent bien d’autres résultats que
d’exposer.
Comme ils sont de nature
encore
plus technique
ceux
que les
qu’on vient
précédents,
j e les exposerai très succintement.
a.
Construction d’extensions abéliennes ramifiées d’un corps
imaginaire, quadra-
tique ([2]).
b. Généralisation
K
où
est
un
partielle
des résultats
corps de nombres normal
R d’entiers est
un
domaine
sur
Q
sur
les extensions abéliennes au cas
degré 2n ~
et de
d’une variété abélienne
d’ opéra.teurs
corps de définition de A contient le corps de classes
dant à un certain groupe d’idéaux ([2]).
TANIXAMA étudie le
c.
imaginaire
l’anneau
cas
endomorphismes
de la
des entiers de
R
L’anneau
sur
A
où
’~A ~s )
étendu
admet
comme
aux
Ici 03B6 r.
jacobienne
On retrouve
étant le
de
F Fr (k)
sul
Î,
q
=
Weil,
q
=
cas
N~~ (~ ) ~
conjugués
sur
Q ;
J
jacobienne
définie
d’une courbe
S
on
f
de
k
la fonction
K
est alors
si
Nf
que
est le nombre des
on
points
Z(q"g~ ,
Le résultât obtenu
cette fonction
de
r (À)
par
généralise
des résultats
moyen de
de Hecke "mit Grossencharàktere"
s’exprime
L
qui sont
de la
au
démonstration est la suivante.
montrent que l’on a
est
un
montre que
corps
dans le
fsur. un
Z(u)
Deuring : la fonction
du corps k , et de séries
d’une jacobienne J ~ l’idée
où
C) ~
A
définit
~~6 ~
sur un
soi t sans défaut pour
abélienne définie
variété
dzêta ,d’une
tels
Hasse et
fonction 03B6k(s)
k. Dans le
de la
A
d’opérateurs. Rappelons qu’on définit
produit
(s ) désigne
Les résultats de Weil
où
correspon-
ainsi,
domaine
on
partiels
de
un
idéaux premiers
03C1(A)
corps fini
rationnels
la
(en particulier
k
de ambres
et
Alors tout
d’une courbe de genre 2
J
d. Etude de la fonction dzêta d’une variété abélienne
cas
K
[2].
K
de
sur
An .
par voie algébro~-géométrique~
la construction des extensions abélienne non ramifiées
(nécessairement hyperelliptique).
des résultats de Hecke
K1
son anneau
biquadratique K ~ extension quadratique
d’un corps
quadratique réel.
d’un oorps
des
et où
entier
R,
algébrique,
et que
et les
~i
l’application
ses
Xi
est
:03C1 ~ 03C3i(03C003C1)/|03C003C1|1 (étendue
un
"Grössencharakter"
au sens
par
multiplicativité
aux
idéaux
quelconques)
de Hecke.
BIBLIOGRAPHIE
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1948.
algébriques. - Paris, Hermann,
ADDITIF
N.B.- Cet
exposé
a
été
suivi,
en
Moi
1956,
par
un
exposé
de A. WEIL.
[ Juin 1957].
322