Mathématiques 2010 - 2011 Colle no 2 — Topologie et séries Lycée

Mathématiques
2010 - 2011
Lycée Condorcet
MP
Colle no 2 — Topologie et séries
Exercice 1.
Exercice 4.
Soient (E , k·k) un evn, (r n )n∈N une suite de réels strictement positifs, (an )n∈N une suite d’éléments de E et,
pour tout n ∈ N, B n la boule fermée de centre an et de
rayon r n . On suppose que
Soient k ∈ R∗+ et, pour tout n ∈ N∗ :
∀n ∈ N, B n+1 ⊂ B n .
½
¾
¯³
1 ´2 ³
1 ´2
k
¯
Ωn = (x, y) ∈ R2 ¯ x −
+ y−
É 2 .
n
n
n
Trouver une CNS portant sur k pour que
Ω=
1. Montrer que
∀n ∈ N, kan+1 − an k É r n − r n+1 .
[
Ωn
nÊ1
soit un fermé de R2 .
2. Si E est un espace de Banach, montrer que
Exercice 5.
\
Bn
n∈N
est une boule fermée.
Soit E = C 0 ([0, 1], R) et F = { f ∈ E | f (0) = 0}.
1. Si N désigne une norme sur E , prouver que F est
une partie fermée ou dense de (E , N ).
2. Donner un exemple de norme sur E pour laquelle
F est une partie fermée de (E , N ), puis un exemple de
norme sur E pour laquelle F est une partie dense de
(E , N ).
Exercice 2.
On note E l’ensemble des séries à termes réels absoluement convergentes. Pour tout u = (un )n∈N appartenant à E , on pose
kuk =
+∞
X
n =0
Exercice 6.
Pour tout entier naturel n non nul, on pose
|un |.
1. Prouver que (E , k·k) est un espace vectoriel normé.
2. Prouver que (E , k·k) est complet.
bn =
n
X
p
(−1)k k
k =1
1. Trouver un équivalent de b n .
Exercice 3.
2. Montrer que (b n + b n+1 )nÊ1 converge vers une limite strictement négative.
X 1
3. Déterminer la nature de la série
.
bn
Soient A et B deux parties d’un evn E .
Exercice 7.
1. Montrer que, si A est ouverte, il en est de même de
A + B.
Soit (un ) une suite definie par u1 Ê 0 et
2. On suppose A compacte et B fermée. Montrer que
A + B est fermée.
3. On suppose A et B compactes. Montrer que A + B
est compacte.
∀n ∈ N∗ , un+1 =
1 −un
e
n
Etudier la nature des séries de termes généraux un et
(−1)n un .
4. Trouver A et B fermées dans R telles que A +B n’est
pas fermée.
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1
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Exercice 8.
Exercice 9.
Soit (un )nÊ0 une suite positive décroissante qui tend
P
vers 0 telle que un converge.
X
n(un − un+1 ) converge et
1. Montrer que la série
nÊ0
X
qu’elle a la même somme que
un .
Pour tout entier naturel n non nul, on pose
nÊ0
2. Soit p ∈ N∗ . Prouver la convergence et calculer
+∞
X
1
n(n
+
1)(n
+
2) · · · (n + p)
n =1
an =
n ℓn(k)
X
k
k =1
1. Montrer l’existence de c ∈ R tel que
an =
ℓn 2 (n)
+ c + o(1)
2
2. En déduire la convergence et la valeur de
+∞
X
n =1
(−1)n−1 ·
ℓn(n)
n
Exercice 10.
Déterminer la nature de la série
P
un dans les cas suivants :
µ
¶ a
1 n
1. un = 1 −
pour a > 0 ;
n
Zn+ 1
n
dx
2. un =
;
p
p
4
n
1 + x + x2 + 1
µ
µ ¶¶
1
1
3. un = (−1)n n α ·
− sin
pour a ∈ R ;
n
n
Ã
!−1
n
X
2
4. un =
;
(ℓn(k))
k =2
µ
µ ¶
¶tanh¡ 1 ¢
n
1
5. un = cosh
−1
−1;
n
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6. un = e
7. un =
(−1)n
n
(−1)n
− 1+
n2
µ
¶n
;
n α (ℓn(n))n
où α ∈ R ;
n!
(−1)n−1
où α > 0 ;
n α + (−1)n
p
p
p
9. un = n + α · n + 1 + β · n + 2 où (α, β) ∈ R2 ;
¡
¢1/7
10. un = n 7 + 3n 6
− P (n)1/3 où P ∈ R[X ] ;
µµ
¶
¶
ℓn(n + 1) n
1
11. un = ·
−1 ;
n
ℓn(n)
½
u0 = 1
12.
.
∀n ∈ N, un+1 = un e −un
8. un =
2