Sujet 1 : En hommage `a Euler !

e iπ + 1 = 0
e iπ + 1 = 0
Sujet 1 : En hommage à Euler !
b. Montrer que le produit infini
série
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision
un , de terme général un , converge si la suite
nÊn 0
(P n )nÊn0 converge vers un nombre fini non nul. On notera alors
∞
Y
un sa limite.
n=n 0
nÊn 0
I. Généralités et exemples
P n+1
1. En considérant le quotient
, montrer que, pour que le produit infini (P n )nÊ0
Pn
converge, il est nécessaire que la suite (un )nÊ0 converge vers 1.
M
g
5. Application. Un peu d’histoire...
n
i
p
m
a
C
Si la suite (PY
n )nÊn 0 n’admet pas de limite finie ou si elle converge vers 0 on dit que
le produit
un diverge.
2. Soit (un )nÊ0 une suite de réels non nuls qui converge vers 1.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel n0 tel que pour tout entier n Ê n0 ,
un > 0.
Y
nÊ0
un et
Y
un sont de même nature.
nÊn 0
3. On suppose dans cette question que (un )nÊ0 est une suite de réels strictement
posittifs.
a. Montrer que le produit infini
X
Y
un converge si et seulement si la série
nÊ0
ln un converge .
nÊ0
Maths-Spé
nÊ0
µ
¶
1
1− 2 .
a.
4n
nÊ1
µ
¶
Y
x2
b.
1 − 2 2 pour x réel, x ∈] − π; π [ .
n π
nÊ1
Y³
x ´ −x
c.
1+
e n pour x réel, x ∈]0; +∞[.
n
nÊ1
Y
u p = un0 × un0 +1 × · · · un .
b. Montrer que les produits infinis
t
a
4. Déterminer la nature des produits infinis :
p=n 0
Y
un converge .
nÊ0
Si n0 est un entier naturel et si (un )nÊn0 est une suite de réels non nuls, on lui
associe la suite (P n )nÊn0 , définie pour tout entier naturel n Ê n0 par :
On dit que le produit infini
(1 + un ) converge si et seulement si la
nÊ0
c. Si, de plus, Y
pour tout entier naturel n on a 0 < un < 1, montrer
X que le produit infini
un converge.
(1 − un ) converge si et seulement si la série
⋆⋆⋆
p=n
Y
X
Y
nÊ0
de la rédaction.
Pn =
s
h
e iπ + 1 = 0
CampingMaths
a. Retrouver, en utilisant un produit infini, que la série harmonique
diverge.
b. Si p est entier naturel p Ê 2, que vaut
+∞
X
k=0
¡
1
pk
X 1
nÊ1 n
?
¢
c. On note p n nÊ1 la suite des nombres premiers rangés dans l’ordre
croissant : p 1 = 2, p 2 = 3 p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 = 11...
Voici un extrait d’un texte écrit par Léonhard Euler (mathématicien
suise) en 1737 (« Introduction à l’analyse infinitésimale ») :
« ... Donc la série est toujours composée d’un nombre infini de termes,
quelque soit le nombre des facteurs infinis ou finis.
Par exemole, on aura
1
1−
1
2
= 1+
1 1 1
1
1
+ + +
+
+ etc. série où
2 4 8 16 32
se trouvent tous les nombres qui peuvent être formés seulement par la
multiplication du nombre deux ; c’est-à-dire toutes les puissances de deux.
On aura ensuite ¡
1−
1
2
1
¢¡
1−
1
3
¢ = 1+
1 1 1 1 1 1
1
1
1
+ + + + + +
+
+ +
2 3 4 6 8 9 12 16 18
etc. On ne retrouve ici que les nombres formés par la combinaison des
nombres 2 et 3, ou qui n’ont d’autres diviseurs que 2 et 3. Donc, si
au lieu de α, β, γ, δ, etc., on écrit l’unité divisée par tous les nombres
Annaba Eté 2016
e iπ + 1 = 0
e iπ + 1 = 0
1
, on
¢¡
¢¡
¢¡
¢¡
¢
1
1 − 12 1 − 31 1 − 15 1 − 17 1 − 11
etc.
1 1 1 1 1 1 1 1
aura P = 1+ + + + + + + + + etc. , série qui comprend tous les
2 3 4 5 6 7 8 9
premiers, et qu’on suppose P = ¡
III. Formule de Weierstrass et constante d’Euler.
9. Soit x ∈]0; +∞[.
On pose, pour x ∈]0; +∞[, Γ(x) =
∀t ∈ [−π; π], f α (t ) = cos(αt ).
n
i
p
m
a
C
cotan (απ) =
∞
X
1
2α
¡
¢.
+
απ n=1 π α2 − n 2
et
g (0) = 0.
a. Montrer que la fonction g est continue sur [0; x] et calculer
suite
de
Zx
fn
¢
nÊ1
définies
sur
]0; +∞[
par
:
¶
Zn µ
t n x−1
1−
t
dt.
n→+∞ 0
n
Γ(x) = lim
Z1
(1 − u)n u x−1 du.
0
a. Déterminer, pour n Ê 1, une relation entre I n (x) et I n−1 (x + 1).
b. En déduire, pour n entier naturel et pour x ∈]0; +∞[, I n (x).
c. Démontrer la formule de Gauss :
g (t )d t .
1
b. Montrer que pour tout t ∈ [0; x], g (t ) = 2t
.
2
2 2
n=1 t − n π
¶
∞ µ
Y
x2
sin x
c. Montrer que
1− 2 2 =
et en déduire le développement eulérien
n π
x
n=1
¶
∞ µ
Y
x2
de sin x : ∀x ∈] − π; π[, sin x = x
1− 2 2 .
n π
n=1
µ
¶
∞
Y
1
8. Application. Déterminer
1 − 2 (Formule de Wallis).
4n
n=1
Maths-Spé
¡
a. Montrer que pour tout t ∈]0; +∞[: 0 É f n (t ) É e −t .
b. En déduire que, pour tout x ∈]0; +∞[:
∀x ∈]0; +∞[,
0
∞
X
fonctions
11. On pose pour n entier naturel et pour x ∈]0; +∞[: I n (x) =
7. Soit x ∈]0; π[, on définit la fonction g sur [0; x] par :
1
g (t ) = cotan (t ) − si t ∈]0; x]
t
la
µ
¶

t n


 ∀t ∈]0; n], f n (t ) = 1 −
n



∀t ∈]n; +∞[, f n (t ) = 0.
Pour α réel et non entier, on définit l’application f α : R → R de période 2π par :
6. Développer f α en série de Fourier et en déduire que :
e −t t x−1 d t . (Fonction Gamma d’Euler).
0
M
g
10. Soit
cos t
.
sin t
Z+∞
b. Calculer Γ(1).
c. Montrer que la fonction Γ est dérivale sur ]0; +∞[ et déterminer Γ′ (x) sous
forme d’intégrale.
II. Développement eulérien du sinus et formule de Wallis.
Pour t réel tel que sin(t ) 6= 0, on pose cotan (t ) =
t
a
a. Montrer que la fonction t 7→ e −t × t x−1 est intégrable sur ]0; +∞[.
nombres, tant les nombres premiers que ceux qui en sont formés par la
multiplication. Or, comme tous les nombres sont ou des nombres premiers
ou des nombres composés de ceux-ci par la multiplication, il est évident
qu’on doit trouver ici tous les nombres entiers dans les dénominateurs... »
X 1
Utiliser librement ce texte pour montrer que la série
diverge.
nÊ1 p n
s
h
e iπ + 1 = 0
Γ(x) = lim
n→+∞
n!n x
.
n
Y
(x + k)
k=0
12. Application.
CampingMaths
µ
¶
+∞
Y
1
x2
a. Montrer que pour tout x ∈]0; 1[:
1− 2 .
=x
Γ(x)Γ(1 − x)
n
n=1
b. Déterminer alors pour tout x ∈]0; 1[, une expression simple de Γ(x)Γ(1− x).
( Formule des compléments.)
c. En déduire
Z+∞
2
e −u du.
0
Annaba Eté 2016
e iπ + 1 = 0
e iπ + 1 = 0
Zn
1
1
dt − .
t
n
n−1
X
a. Expliquer simplement pourquoi la série
un converge.
13. Pour tout entier n Ê 2, on pose un =
nÊ2
1
1
b. Pour tout entier n Ê 1, on pose v n = 1 + + ... + − ln n .
2
n
Montrer que la suite (v n )nÊ1 converge. Sa limite notée γ est la constante
d’Euler.
14. Démontrer la formule de Weiertrass :
∀x ∈]0; +∞[,
+∞
Y³
x ´ −x
1
= xe γx
1+
e n.
Γ(x)
n
n=1
( Cette formule permet, par un produit infini complexe, de définir la fonction
Γ pour tout z ∈ C \ (Z− ) par :
+∞
Y³
1
z ´ −z
= ze γz
1+
e n . .)
Γ(z)
n
n=1
15. Application.
n
i
p
m
a
C
a. Montrer que pour tout x ∈]0; 1] :
b. En déduire
Z+∞
+∞
X
Γ′ (x) −1
x
=
−γ+
.
Γ(x)
x
n(n
+ x)
n=1
e −t ln t d t .
0
•••
Maths-Spé
s
h
e iπ + 1 = 0
M
g
t
a
Fin • • •
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Annaba Eté 2016