SUR LES SUITES D'ENTIERS DEUX A DEUX PREMIERS ENTRE EUX Autor(en): Sierpiski, W. Objekttyp: Article Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 10 (1964) Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: 25.05.2017 Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-39418 Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. 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Tout entier >6 >1 premiers entre eux. est une somme de deux entiers Démonstration. Si n est un nombre impair >3, on a et (2, n?2) =l. Le et, évidemment théorème 1 est donc vrai pour les nombres impairs >3. Voici maintenant la démonstration, due à M. A. M4KOWSKI, pour les nombres n pairs >6. Si n est un entier divisible par 4, 72? 4/c, où, d'après ft>6, k est un entier >1, on a n=(2k-l) + (2k+l), oii2k+l >2k-l >1 et les nombres 2k ? 1 et 2/c+l, en tant que deux entiers impairs consécutifs, sont premiers entre eux. Si, enfin, n=4/c+2, où k est un entier >1 (puisque ra>6), on a n=(2k+3) + (2k-\) et les nombres 2/c+3 et sont premiers entre eux, puisque si o<d\2k ?1 et d\2k-\-3 on a d\(2k+3) ? (2k ? 1), donc d|4 et, comme d est un diviseur du nombre impair, on en conclut que d=l. Le théorème 1 se trouve ainsi démontré. Or, M. A. M4KOWSKI a remarqué aussi qu'il résulte sans peine d'une remarque de M. H. L. Adler que le nombre g (n) de toutes les décompositions d'un nombre naturel n>6 en une somme de deux entiers, n = a+b, oùl<a<bet(a,b) = 1 est égal à g (n) = i[q> (n) -2], où cp (n) est la fonction bien connue d'Euler. En effet, M. Adler a remarqué que, pour n entier >1, est le nombre de tous les systèmes de deux nombres cp (n) n=2 + (n?2) n-2>l 2k-l>l 1 l< x< net (x, n) = 1 = (y, n). 1 ) x+y = 1 si Or, x-\ry = n, on a (x, y) = dans ce cas et seulement dans ce cas, où(#, ra) = (?/, ri) = 1. Il en résulte que (pour n>l),q> (n) est le nombre de toutes les décompositions du nombre n en une somme de deux entiers positifs premiers entre eux. Si Ton exclut les décompositions n = l+(n ?l) et n == (ra-l) alors, dans les <p (n) ?2 décompositions qui resteront, les nombres x et y seront tous les deux >1, d ; où la formule pour g (n). Or, puisque, comme on le sait, cp (n) >2 pour n entiers >6, il en résulte aussi tout de suite le théorème 1. M. A. M4KOWSKI a remarqué aussi que, vu que lim q> (n) + 00, il en résulte aussi que naturels x, y, tels que nll<:xn 1 : t +l, n lim n = 00 g (n) = ? 00 ? -\- 00. Théorème 2. Tout nombre naturel est, d'une infinité de manières, différence de deux nombres naturels premiers entre eux. Démonstration. Pour démontrer le théorème 2 il suffit de remarquer que si n est un nombre naturel donné, on a pour k = 1, 2, 3,... la décomposition où Théorème 3. Toutentier > 17 est une somme de trois entiers >1, deux à deux premiers entre eux. Démonstration. Si n est un nombre pair >B,ona n ?= 6/c, = 6A;+2, ou bien n = 6/c-j-4 et, comme n >8, nous pouvons admettre que dans les deux premiers cas k est un entier >1 et que dans le troisième cas k est un entier >0. Vu les formules oun on conclut sans peine que n est une somme de trois entiers >1, deux à deux premiers entre eux. i) H. L. Adler, A generalization 65 (1958), p. 690-692. of the Euler <p-funclion, Amer. Math. MontMy Voici maintenant la démonstration de M. A. M4KOWSKI pour n impairs >17. Vu que 19 = 3+s+ 11, nous pouvons même supposer que n est un nombre impair >19. Si n est un tel nombre, onaw = 12/c+y, où y = 1, 3, 5, 7, 9 ou 11, et où k est un entier positif et même, pour y<7, k>ï. Vu les identités on conclut que n est toujours une somme de trois entiers >1. Les nombres dans les parenthèses sont, dans chacune de ces six égalités, premiers par rapport aux nombres 3 et 9 et premiers entre eux, puisque ils sont tous impairs, non divisibles par 3, et leur différence est respectivement 6, 2, 12, 12, 2 et 6. On a donc dans chacun de ces six cas la décomposition du nombre impair n>ï (è en une somme de trois entiers >1, deux à deux premiers entre eux. Le théorème 3 est ainsi démontré. Or, on démontre sans peine que le nombre 17 n'est pas une somme de trois entiers >1, deux à deux premiers entre eux. Or, on peut démontrer que le nombre 30 n ; est pas une somme de quatre entiers >\, deux à deux premiers entre eux, mais que tout entier >30 est une telle somme. Il se pose le problème si, pour tout entier s>4, tout entier suffisamment grand est une somme de s entiers >1, deux à deux premiers entre eux. Il existe des progressions arithmétiques aussi Théorème 4. longues que Von veut, formées de nombres naturels >1, deux à deux premiers entre eux. Démonstration. Soit n un entier donné quelconque >1 et soit a = n\ Les n nombres sont deux à deux premiers entre eux. En effet, si, pour les entiers k et l, tels que o<k<l<n, les nombres ka+l et la+l n'étaient pas premiers entre eux, ils auraient un diviseur premier commun p et on aurait p\(l-k)a, donc soit p\l ?k, soit p\a. Mais, comme l? k<K,n, on a (l?k)\n\ = a. On a donc toujours p|a, ce qui est impossible, vu que p\ka-\-l. Le théorème 4 est ainsi démontré. Il est à remarquer qu'il n'existe aucune progression arithmé tique ak-\-b (k = 1, 2, ...), où a et b sont des entiers positifs, dont tous les termes seraient deux à deux premiers entre eux. Nous démontrerons ici le théorème plus général suivant: 5. Si î (x) est un polynôme en x aux coefficients où le entiers, coefficient de la plus grande puissance de x est positif, les termes de la suite infinie Théorème ne peuvent pas être deux à deux premiers entre eux. Démonstration. Le coefficient de la plus haute puissance de x dans le polynôme f (x) étant >0, il existe un entier n>o, tel que m = f(n)>ï. Mais alors, comme on voit sans peine, le nombre / (m-^-ri) est divisible par m et les nombres / (n) et / (m-\-n) ont un diviseur commun m>ï et par suite ne sont pas premiers entre eux. Le théorème 5 est ainsi démontré. 6. Si f (x) est un polynôme en x aux coefficients le où coefficient de la plus grande puissance de x est positif, entiers, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une infinité des entiers positifs x l9 x 2 , x 3 , ..., tels que tous deux des nombres f (xj, f (x 2 ), f (x 3 ), ... soient premiers entre eux, est la condition C suivante : Théorème C. n'existe aucun nombre entier d>l tel qu'on ait d|f (x) quel que soit V entier positif x. La nécessité de la condition C étant évidente, nous démon trerons seulement leur suffisance. Dans ce but nous démontrerons le lemme suivant: Il Lemme. s étant un entier positif et q x , q 2 , ..., 5 des nombres premiers distincts pour lesquels il existe des entiers positifs t l7 1 2 , .., q5q t s , tels que q f/ ff (t t ) pour i==l,2, ..., s, il t tel que q^f (t) pour i = 1, 2, ..., s. existe un entier positif Démonstration du lemme. Le lemme est évident pour s =1. Soit maintenant s un nombre naturel donné et supposons que le lemme est vrai pour s nombres. Soient q x , q 2 , ???, q s , s +i des nombres premiers distincts, pour lesquels il existe des entiers positifs *!, t 2 , ??-, * s +i, tels que qt jff (tt ) pour .., s+l. Le lemme étant par hypothèse, vrai pour s nombres, il existe un entier positif £ 0 , tel que q t )(f (t 0 ) pour ..., s. Or, on a s+1 )(f (t s+l ). Les nombres premiers q^ q 2i ..., s+1 étant tous distincts, on a (q 1 q 2 ... 5 , s+1 ) =1, d'où il résulte, comme on sait, qu'il existe des nombres naturels k et l tels que *0 + &?l?2"-? s = tt + +l +l + ks+ 1- Soit «=*o+ A#i?2---?s = On aura qq i=l,2, i=l,2, qs+lq qs+l)(fq g5,g qs+l)q ' S d'où, vu que q t jff (t 0 ) pour î= 1, 2, ..., set &+l/T/ (* s+ i), il résulte que q^f (t) pour i = 1, 2, ..., 5, s-\-\. Le lemme est donc vrai pour s+l nombres. Il se trouve ainsi démontré par V induction. Démonstration du théorème 6. Supposons que le polynôme à la condition C. Le coefficient de la plus grande de x étant dans le polynôme / (x) positif, il existe un puissance nombre naturel x 1 tel que f (x 1 )>l. Soit maintenant n un entier donné >1 et supposons que nous avons déjà déterminé les n nombres naturels x x , x2i ..., xn tels que (dans le cas où n>i) les nombres f (x^, f (x 2 ), ???, / (x n ) sont deux à deux premiers entre eux. Soient q t (i = 1, 2, ..., s) tous les diviseurs premiers du nombre f (x ± ) f (x 2 )... f(xn ). Le polynôme f (x) satisfaisant àla condition C, il existe des entiers positifs 1: t 2 , .., ts , tels 1, 2, ..., s, d'où, d'après notre lemme, que qiJff {t t ) pour nous concluons qu'il existe un nombre naturel # n+l , tel que / i J( f(x n+l ) pour i =1, 2, ..., 5. Vu la définition des nombres q t (i = 1, 2, ..., 5), il en résulte tout de suite que (/(# n+l ), /(#i) /fe) ??? /te)) = 1- Les nombres / (x) satisfait t1:t i= qiJ(/f(q sont donc premiers deux à deux. Les nombres x n (n et la suitei nfinie = 1,2,...) sont ainsi définis par l'induction est telle que leurs termes sont deux à deux premiers entre eux. Nous avons ainsi démontré que la condition C est suffisante. Le théorème 6 se trouve ainsi démontré. Théorème 7. Si 1? u^ ... est la suite infinie de Fibonacci (c'est-à-dire la suite définie par les conditions: u 1 = 2 ? 1 et u n +2. = u n Jru n+l pour n = 1, 2, ...), il existe une suite infinie des entiers positifs croissants l5 n 2 , ..., telle que les nombres de la suite infinie u1?u u2u nlsn (1) sont deux à deux premiers entre eux. Démonstration de M. A. Rotkiewicz. Gomme on sait, si sont des entiers positifs, on a (w m , u n ) = w (m , X) 1 ). Comme résulte tout de suite que si 1} n 2i ... est une suite u± des entiers positifs deux à deux premiers croissante infinie entre eux, les termes de la suite infinie (1) sont deux à deux premiers entre eux. On peut prendre ici, par exemple n k = p k (k = 1,2, ...), où p k est le k- ième nombre premier, ou bien 2fc prendre nk = Fk = 2 +l, où k =1,2, ... M. A. Rotkiewicz a remarqué aussi qu'il résulte de la formule pour (um) u n ), que si ±1 n 2 , ... est une suite infinie croissante d'entiers positifs, les nombres de la suite infinie (1) sont dans ce cas et seulement dans ce cas deux à deux premiers entre eux, si, quels que soient les entiers k et /, tels que l</c<Z, on a (%, ftj)<2. metn =I,ilen wl}w n±ln Remarque. Dans la suite infinie de tous les nombres consé cutifs de Fermât, Fn = "+l (n = 1,2, ...), les termes de cette suite sont, comme on le démontre sans peine, deux à deux premiers entre eux. Dans la suite de nombres de Mersenne, Mn = n (n = 1,2, ...) les nombres de la suite M pk (k =1,2, ...) où p k est le k - ième nombre premier, sont deux à deux premiers entre eux. On peut aussi démontrer que les termes de la suite 22"+l2 2n-l2 2 -l i) Voir, par. exemple, mon livre Teoria Liczb L'édition anglaise de ce livre est sous presse. 11, Warszawa 1959. p. 280, exercice 5 infinie MFn = MM 2 n +i = deux premiers entre eux. 22 c 22 " +1 -l (n == 1, 2, ....) sont deux à étant des entiers positifs, si V équation a une solution en nombres entiers x, y, elle a une Théorème 8. a, ax+by = 2222 b et c solutions en nombres entiers x, y premiers entre eux. Démonstration. Nous pouvons admettre que (a, b) ? 1, puisque, si d = (a, b), a = da^ b =db^ alors, d'après ax~\-by = c on trouve d|c, donc c =dc 1 , et notre équation est équivalente à Téquation r x-\-b-{u = c ± , où (a 1? &i) =1. Supposons donc que a, b et c sont des entiers positifs, (#,#) = 1 et qu ; il existe des entiers x 0 et y 0 tels que ax o -\-by o =c.On aura donc aussi a (x o -\-bt)-\-b (y 0 ?at) = c, quel que soit V entier t. Comme {a,b) = 1, il existe, comme on sait, des entiers u et ç tels que au+bv = 1. infinité de arx-\-b-{ua Posons (2) rentier positif k de sorte que rentier (2) soit les k suffisamment grands. subsiste tous qui positif, pour Il résulte de (2) que en choisissant ce (3) Soit d un entier positif tel que d\x o +bt et d\y o ?at. Il en résulte que d\ax o -{-by o = c et, comme au+bv = 1, on a On a donc d\c et d\x o v?y o u+t, d ; où il résulte, d'après (3), que d = 1. Les entiers x = x o +bt et y = y o -at sont donc premiers entre eux et on a ax+by = c. Le théorème 8 se trouve ainsi démontré. D'après une remarque de M. A. Schinzel le théorème 8 peut être déduit sans peine d'un théorème de M. T. Skolem, publié dans Norsk Mat. Tidsskrift 15, p. 25-27 (cf. aussi Jahrbuch über die Fortschritte der Math. 59 (1933), Sonderheft 11, p. 129). f W. Sierpinski Konopczynskiego 5/7 m. Warszawa 1. (Reçu le 3£ 8 novembre 1962.'