III La Dérivation.

III La dérivation en un point –Fonctions dérivés
III La Dérivation.
La dérivation est une notion essentielle de l'analyse. Elle trouve ses origines dans un
problème purement géométrique : celui des tangentes à une courbe.
Au fil des ans, des siècles et des démonstrations, elle est devenue un outil fondamental
de l'analyse : elle permet en effet d'étudier une quantité énorme de fonctions. Et en
particulier, toutes celles qui sont vues au lycée et un peu après...
0 INTRODUCTION
Nous avons vu dans ce qui précède page 6 -7 que pour étudier le sens de
variation d’une fonction, il nous fallait trouver le ou les intervalles sur lesquels
l’ordre entre les antécédents et les images était conservé (croissance de la fonction
sur l’intervalle) ou inversé (fonction décroissante sur l’intervalle).
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I de
l’ensemble de définition, si pour toutes valeurs a et b de I, si a <b alors
f(a)<f(b).
Une fonction est strictement décroissante sur un intervalle I de
l’ensemble de définition, si pour toutes valeurs a et b de I, si a <b alors
f(a)>f(b).
Une fonction est monotone sur I de l’ensemble de définition si elle ne
change pas de sens de variation sur cet intervalle.
Ce qui revenait à étudier les intervalles sur lesquels le signe du taux d’accroissement
est constant.
f ( x) − f (a)
Le taux d’accroissement étant la quantité :
pour x et a éléments de
x−a
l’ensemble de définition. Cette quantité est en fait la pente (coefficient directeur) de la
droite passant par le point M (a ;f(a)) et N (x ;f(x)),.Cette droite s’appelle la corde MN
N
f(x)
f(a)
Pente
f (x) − f (a)
x−a
M
a
x
Nous pouvons remarquer que si N se rapproche de M la position limite de la corde
MN est la seconde droite tracée sur cette figure c’est la tangente à la courbe au point
M.
La difficulté principale de ce type de recherche est qu’il y a deux variables x et a et
qu’il faut déterminer les intervalles sur lesquels le rapport est constant….
Les calculs sont très vite très compliqués….C’est pour cela que fut développé la
notion de dérivé qui en prenant en compte l’aspect local des variations va nous
permettre de travailler sur une seule variable.
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III La dérivation en un point –Fonctions dérivés
A Dérivée en un point
11 ddééffiinniittiioonnss
Dans cette partie, la fonction f est définie sur un intervalle I ouvert contenant le
nombre réel a .
Def 1 : f est dérivable en a ∈ R si et seulement si la courbe C de f admet au point
d’abscisse a une tangente non verticale, la pente (coefficient directeur) de cette tangente est
noté f ’(a) et s’appelle le nombre dérivé de f en a.(f ‘(a) se prononce f prime de a)
Interprétation géométrique :
On considère les points de la courbe
représentative
f(x)
M ( a; f ( a )) et N ( x; f ( x )) .
f(a)
La quantité
f (x ) − f (a)
x−a
N
M
représente le
a
coefficient directeur de la sécante (MN).
Tangente à la
courbe au
point M
Pente f ’(a)
x
Explication :
Si l’on fait rapprocher N de M en suivant la courbe de f, La limite indiquée dans la Définition
1 signifie que lorsque N se rapproche de M,la corde (MN) tend à devenir la tangente à la
courbe au point M et le coefficient directeur de la droite (MN) tend vers celui de la tangente à
la courbe en A Plus le point N se rapproche du point M plus la pente de la corde se rapproche
en valeur de la pente de la tangente, la valeur de la pente de la tangente (le nombre dérivé)
est la valeur limite de ce rapprochement, c’est pour cela que nous noterons.
Def 2 : f est dérivable en a ∈ R si et seulement si
lim
x→a
f ( x) − f (a )
= A où A ∈ R
x− a
Et la valeur de sa dérivé en a est f ’(a) =A
Remarquons que si nous remplaçons x – a par h (h est alors la valeur algébrique de
l’éloignement de en abscisse de N et M ) , alors x = a +h, f(x) = f(a+h) notre définition
devient alors :
Def 3 : f est dérivable en a ∈ R si et seulement si
lim
h→0
f (a + h) − f (a )
= A où A ∈
h
R.
Remarques :
A est un nombre fini et s'appelle le nombre dérivé de f en a, noté f ' ( a ) .
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III La dérivation en un point –Fonctions dérivés
Ce nombre est le coefficient directeur (on dit aussi la pente) de la tangente à la courbe
représentative de f au point d'abscisse a.
L’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse a est donc l’équation de
la droite passant par la point M (a ;f(a)) et de coefficient directeur f ‘(a)
Cette équation est donc :
Y = f ‘ (a) (x – a) + f(a)
22 N
mbbrree ddéérriivvéé eenn aa eett ttaannggeennttee àà llaa ccoouurrbbee aauu ppooiinntt dd’’aabbsscciissssee aa
Noom
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle non réduit à un point contenant a
La courbe de f admet une tangente au point M(a ;f(a)) d’équation
Y = f ‘ (a) (x – a) + f(a)
Attention à la réciproque si une courbe représentative d’une fonction admet une
tangente en un point d’abscisse a elle sera dérivable en ce point à la condition que la tangente
ne soit pas verticale (c'est-à-dire quelle admette une pente finie).
Le nombre dérivé en a donne une idée quantitative de la variation de la fonction autour
de la valeur a de x, c'est-à-dire il dit de combien « penche » la courbe au point d’abscisse a.
Constatations et remarques :
Nous savons intuitivement qu’au voisinage d’un point une courbe (régulière sans sauts ou
accidents) est très proche de sa tangente en ce point. (la courbe semble « accompagner » sa
tangente près du point de tangence.
Première conséquence :
Tangente en A
La courbe et sa
tangente sont très
proches l’une de
l’autre autours de A
y
Courbe C
A
Il parait naturel que si la tangente à une courbe (régulière) est « montante » (c'est-à-dire a une
pente positive) la courbe doit être « montante » elle aussi autour du point de tangence (c'est-à-
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III La dérivation en un point –Fonctions dérivés
dire qu’elle doit être issue d’une fonction croissante en ce point). Il suffit pour s’en
convaincre de regarder le dessin si dessus.
De même
Il parait naturel que si la tangente à une courbe (régulière) est « descendante » (c'est-à-dire a
une pente négative) la courbe doit être « descendante » elle aussi autour du point de tangence
(c'est-à-dire qu’elle doit être issue d’une fonction décroissante en ce point). Voir le dessin ciaprès :
y
La courbe et sa tangente
Courbe C
en A sont descendantes
toutes deux au voisinage
du point A et elles sont
A
proches l’une de l’autre
Tangente en A
Deuxième conséquence :
La tangente en un point A ‘(a ; f(a)) à une courbe (régulière) représentative d’une fonction
numérique f est très proche de la courbe au voisinage de A peut se traduire par la fonction
affine de laquelle est issue la tangente est une bonne approximation locale des valeurs de la
fonction pour x voisin de la valeur a.
C'est-à-dire f(x) ≈ f ‘(a) (x – a) + f(a) pour x proche de a
f(x+h) ≈ h f ‘ (a) +f(a) pour h proche de 0
Ou
Ces deux conséquences sont la base de l’utilisation des dérivées il faudra les garder
présentes à l’esprit.
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III La dérivation en un point –Fonctions dérivés
Exemples plus pratique sur la dérivation en un point (cette méthode n’est exigible que pour
les sections scientifiques)
Exemple 1
Déterminons le nombre dérivé en x = 1 de la fonction f définie par :
f(x) = 2.x2 + 1
Pour trouver ce nombre, nous allons suivre la définition d'un nombre dérivé : nous allons
étudier la limite lorsque x tend vers 1 du quotient
.
Sous cette forme, le quotient n'est pas très exploitable. Nous devons donc en modifier
l'écriture.
Pour tout x différent de 1, on peut écrire que :
Donc lorsque x tend vers 1, le quotient
tend vers 2 × (1 + 1) = 4.
2
Conclusion : la fonction f(x) = 2.x + 1 est dérivable en x = 1. Le nombre dérivé de
cette fonction en 1 vaut 4.
Autrement écrit :
f'(1) = 4.
Exemple 2
Déterminons le nombre dérivé en x = 0 de la fonction racine g définie par :
g(x) =
Pour parvenir à ce but, il nous faut étudier la limite lorsque x tend vers 0 du quotient
.
Pour tout réel non nul x, on peut écrire :
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
Or lorsque x tend 0,
tend vers +∞.
Comme le quotient
dérivable en x = 0.
n'a pas une limite finie alors la fonction g n'est pas
Conclusion : la fonction racine g(x) =
n'est pas dérivable en x = 0.
Ainsi donc, ce n'est pas parce qu'une fonction est définie quelque part qu'elle y
nécessairement dérivable.
Expliquons ce phénomène :
Pour plus de précisions voir le chapitre suivant
Le nombre dérivé d'une fonction g en un point est avant tout le coefficient directeur ou
pente de la tangente à la courbe de g en ce point.
Justement, observons ce qu'il en est avec notre fonction racine.
Lorsque x se rapproche de 0, la courbe de la fonction g colle de plus en plus à
l'axe des ordonnées ∆.
Cette dernière droite ∆ est sa tangente en 0.
Or c'est une droite verticale : sa pente est donc infinie. Comme la limite en 0 du
quotient
.
C'est aussi pour cela que la fonction racine g n'est pas dérivable en x = 0.
33 TTrrooiiss m
m
méétthhooddeess tthhééoorriiqquueess ddee ddéérriivvaattiioonn eenn uunn ppooiinntt (((eeexxxiiigggiiibbbllleee sssuuunnniiiqqquuueeem
meeennnttt pppooouuurrr llleeesss
ssseeeccctttiiiooonnnsss sssccciiieeennntttiiifffiiiqqquuueeesss)))
Globalement, pour déterminer si une fonction f est dérivable en un point x0, il y a trois
cheminements possibles :
i.
Première méthode :
On peut essayer de déterminer la limite lorsque x tend vers x0 du quotient
.
C'est la définition même du nombre dérivé.
C'est ce qui a été fait avec le premier exemple du paragraphe précédent.
ii.
Seconde méthode :
On peut aussi déterminer la limite lorsque h tend vers 0 du quotient
.
Par exemple, déterminons par cette méthode le nombre dérivé en x0 = 1 de la
fonction f(x) = 2.x2 + 1.
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
Sous cette forme, le quotient n'est pas très exploitable. Modifions le !
Pour tout réel h voisin de 0, on peut écrire que :
Lorsque h tend vers 0, le quotient
tend vers 4.
Donc la fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé vaut 4.
Ce que l'on savait déjà !
iii.
Troisième méthode :
On peut aussi chercher à écrire la fonction f sous la forme :
où :
•
•
nombre est un réel à déterminer. C'est le nombre dérivé de f en x0.
un truc qui tend vers 0 en x0 est une fonction en x qui a pour limite 0
lorsque x tend vers x0.
Essayons d'écrire la fonction f(x) = 2.x2 + 1 sous cette forme avec x0 = 1.
Pour tout réel x :
2
f(x) =
=
=
=
=
2.x2 + 1
3 + 2.x2 - 2
f(1) + 2.(x - 1)2 + 4.x - 2 - 2
f(1) + 4.x - 4 + 2.(x - 1)2
f(1) + 4 . (x -1) + (x - 1) . 2.(x-1)
Comme la fonction 2.(x-1) tend vers 0 lorsque x tend vers 1 alors on peut dire
que 4 est le nombre dérivé de la fonction f en 1.
Ce que nous n'ignorions pas !
Cette méthode est longue, fastidieuse et peu efficace...
Elle sert mais rarement au lycée...
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
B Dérivation sur un intervalle
1 Définition et conséquences
Définition 1: Une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert contenu dans son ensemble
de définition si et seulement si elle est dérivable pour tout réel de cet intervalle.
Définition 2 : Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I , la fonction qui a chaque réel
x de cet intervalle associe le nombre dérivé de f(x), s’appelle la fonction dérivée de f sur I et
se note f ‘ x
f ‘(x) (se lit f prime de x, se dit la dérivé de f en x)
Remarque :
La fonction f ‘(x) est la fonction qui a chaque valeur de x associe la pente de la tangente au
point d’abscisse x.
Conséquences pour la courbe représentative
1 La courbe représentative d’une fonction dérivable sur un intervalle se trace
d’un seul trait sur cet intervalle et ne présente pas d’angle.
Par exemple pour la courbe suivante, on voit que l’on peut tracer des tangentes en tout
point de cette courbe sauf en A et en B (ces points sont dits anguleux) . La fonction qui
possède cette courbe représentative sera dérivable sur tout intervalle qui ne contient ni a, ni b
c'est-à-dire sur ] - ∞ ; a[ U ] a ; b[ U ]b ; + ∞[
y
Courbe C
x
A (a;0)
B(b;0)
n'a pas de tangente aux points A, B
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
Autre exemple la fonction f x
x
y
Courbe C
x
La fonction valeur absolue de x est dérivable pour tout réel sauf en 0. (il y a un point anguleux
en 0).
Autre exemple
Exemple de la fonction de la page 34 ,
Cette fonction f est définie par :
f(x) = 2.x2 + 1
Déterminons l'équation de la tangente ∆ à sa courbe en
x0 = 1.
Nous savons déjà cf calculs de la page 34 que :
f(1) = 3
f'(1) = 4.
L'équation réduite de la droite ∆ est donc :
y = f'(x0) . (x - x0) + f(x0)
y = 4 . (x -1) + 3
y = 4.x - 1.
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
2 La courbe représentative d’une fonction dérivable sur un intervalle ne possède
pas de tangente verticale sur cet intervalle
En effet une tangente verticale possède une pente infinie (c'est-à-dire qu’elle n’a pas
de coefficient directeur) donc la fonction ne peut pas être dérivable !
Exemple :
y
Courbe C
la tangente est verticale en 0
x
Cette fonction est dérivable partout sauf en 0 (ou la courbe admet une tangente verticale).
Autre exemple la fonction racine carré (voir le deuxième exemple du chapitre précédent)
y
Courbe C
la tangente est verticale en 0
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x
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
2 Fonctions dérivables usuelles
Nous admettrons les résultats suivants :
) Les fonctions x 6 xn pour n entier sont dérivables sur R
) Les fonctions polynômes sont dérivables sur R.
(Fonction dont l’image s’exprime comme somme de puissances de la variable multipliées par
des constantes).
a
) Les fonctions x 6 ou a est un réel sont dérivables sur R*.
x
) Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.
(Fonction dont l’image s’exprime comme un quotient de polynômes).
) Les fonctions sinus, cosinus sont dérivables sur R.
) Les fonctions x 6 x est dérivable sur R+*.
) La fonction x 6 x α ( α ∈R ) est dérivable sur R+*.
) La fonction tangente est dérivable sur R \ {
π
2
+ kπ ; k ∈ Z
}.
Si vous désirez les démonstrations de ces résultats n’hésitez pas à les faire et à en demander la
correction à votre formateur.
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
3 Calcul des dérivées des fonctions usuelles.
Méthode pratique du calcul des dérivés
Nous admettrons les résultats suivants, Si vous désirez les démonstrations de ces résultats
n’hésitez pas à les faire et à en demander la correction à votre formateur.
Dérivées des fonctions usuelles
Dans ce tableau certaine fonction ne seront abordées que dans des chapitres à venir
Ensemble de
définition
R
R
Fonction
k ( constante )
x
R*
n
1
xn
R+
R\{
π
2
R
R
+ kπ ; k ∈ Z
Dérivée
}
n− 1
Ensemble de
dérivabilité
R
R
n
R*
0
*
( n ∈N )
nx
−
( n ∈N * )
x
n+ 1
x
1
R+ *
sin x
cos x
2 x
cos x
− sin x
R
R
tanx
1 + tan 2 x =
1
2
cos x
R\{
π
2
+ kπ ; k ∈ Z
R+*
ln x
1
x
R+ *
R
R+*
ex
ex
R
R+ *
x α ( α ∈R * )
α. x
α −1
}
Exercice :
Compléter à l’aide du tableau précédent Calculer les expressions algébriques dérivées des
expressions suivantes :
1
x
A -dérivée de x3
B -dérivée de
D –dérivée de x
E dérivée de x7
C -dérivée de 5
F dérivée de
1
x2
Correction page suivante
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
Correction
A 3 x2
D
B-
1
1
x2
C0
E 7 x6
2 x
F -2 x-3 =
−2
x3
4 Opérations sur les fonctions dérivables
A Dérivée du produit d'une fonction par un réel.
La dérivation se marie très bien avec le produit par un réel. A ne pas confondre avec le
produit avec une autre fonction que nous aborderons au C
Théorème : On suppose que u est une fonction dérivable en x. λ est un nombre réel.
Si ces conditions sont remplies alors :
•
•
La fonction λ.u est dérivable en x.
Le nombre dérivé au point x de la fonction λ.u est égal au produit de λ et du
nombre dérivé de u au point x.
Autrement écrit :si u est une fonction dérivable sur un ensemble I alors la fonction λ.u
est dérivable sur I et :pour tout x élément de I on a :
(λ.u)' (x) = λ . u'(x)
Par exemple, déterminons la dérivée de la fonction f(x) = 7.x5.
La dérivée de la fonction x5 est égale à 5.x4 . D'où :
f'(x) = (7.x5)' = 7 . (x5)' = 7 . (5.x4) = 35.x4
Exercice :
Compléter en utilisant le théorème précédent et le tableau des dérivées usuelles :
A dérivée de 5 x2
D dérivée de
3
x
B dérivée de – 4
E dérivée de
2
5x
x
C dérivée de – x
F dérivée de
x2
4
Correction page suivante
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
Correction :
A (5 x2)’ = 10 x
D(
B(–4
3
−3
)’= 2
x
x
E(
x )’=
−4
−2
=
2 x
x
2
−2
)’= 2
5x
5x
C ( – x)’= - 1
F(
x2
2x x
)’=
=
4
4 2
B Dérivée d'une somme de deux fonctions dérivables.
Dériver la somme de deux fonctions n'est guère compliqué. La preuve avec ce qui suit :
Théorème : u et v sont deux fonctions dérivables en x.
Si ces deux conditions sont remplies alors :
•
•
La fonction u + v est dérivable en x.
Le nombre dérivé au point x de la somme u + v est la somme des nombres
dérivés de u et v au point x.
Autrement écrit :si u et v sont dérivables sur un ensemble I alors leur somme est
dérivable sur I et pour tout x élément de I on a :
(u + v)' (x) = u'(x) + v'(x)
Par exemple, déterminons la dérivée de la fonction f(x) = 7.x3 - 3.x2 + 3.
Les dérivées des fonctions x3, x2 et 3 sont respectivement 3.x2, 2.x et 0.
Ainsi :
2
f '(x) =
=
=
=
=
(7.x3 - 3.x2 + 3)'
(7.x3)' - (3.x2)' + (3)'
7 . (x3)' - 3 . (x2)' + (3)'
7 . (3.x2) - 3 . (2.x) + 0
21.x2 - 6.x
Autre exemple :
Soit à dériver f(x) =
7
+ 4 x + 3 sur R*
x2
F est dérivable sur R* en tant que somme de fonctions dérivables sur R* et :
3
′
 7 ′
′ + ( 3)′ = −7  1  + 4 ( x )′ + 0 = −7  −2  + 4 = − 14 + 4 = −14 + x
x
4
+
(
)
 2
 2
 3
x3
x3
x 
x 
x 
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
C Dérivée d'un produit de deux fonctions dérivables
Théorème : u et v sont deux fonctions dérivables en x.
Si ces deux conditions sont remplies alors :
•
•
La fonction u.v est dérivable en x.
Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x).
Autrement écrit : si u et v sont dérivables sur un ensemble I alors leur produit est
dérivable sur I et pour tout x élément de I on a :
(u.v)' (x) = u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x)
Par exemple, déterminons la dérivée de la fonction f(x) = (x3 - x +1) . (x2 - 1).
Pour calculer la dérivée de cette fonction f, on a le choix entre un développement
fastidieux ou appliquer notre formule. Inutile de préciser que la seconde option est la
moins pénible...
La fonction f est le produit des fonctions :
•
•
u(x) = x3 - x +1 dont la dérivée est 3.x2 - 1.
v(x) = x2 - 1 dont la dérivée est 2.x.
On peut donc écrire que :
2
f '(x) =
=
=
=
u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x)
(x3 - x +1) . (2.x) + (x2 - 1) . (3.x2 - 1)
2.x4 - 2.x2 + 2.x + 3.x4 - x2 - 3.x2 + 1
5.x4 - 6.x2 + 2.x + 1
Il n'est pas certain que développer f n'eut pas constitué une meilleure option. Sauf que
l'on aurait pas illustrée cette propriété...
Autre exemple : déterminons la dérivée de la fonction f(x) = ( 5 x + 1) x . En premier
cette fonction est dérivable au moins sur R*+ car la racine de x est dérivable sur cet
ensemble et le polynôme est dérivable sur R donc en particulier sur R*+et le produit de
deux fonctions dérivables sur un ensemble est dérivable sur cet ensemble.
Calculons la dérivée de f sur R*+ :
(( 5x + 1) x )′ = ( 5x + 1)′
x + ( 5 x + 1) ( x )′
donc :
(( 5x + 1) x )′ = 5
d ' où
(( 5x + 1) x )′ =
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x + ( 5 x + 1)
1
2 x
(5 x )( 2 x ) + (5x + 1) = 15x + 1
2 x
2 x
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
D Dérivée de l'inverse d'une fonction.
N'importe quelle fonction peut être inversée pour peu qu'elle ne s'annule pas.
Sous cette condition et sous d'autres, il est possible de dériver l'inverse d'une fonction.
Théorème : u est une fonction dérivable en x. On suppose également que u(x) est non
nul.
Si ces deux conditions sont remplies alors :
•
•
La fonction 1/u est dérivable en x.
Le nombre dérivé au point x de 1/u est égal à
.
Autrement écrit : Si U est dérivable sur un ensemble I et que u(x)ne s’annule pas sur I
alors la fonction inverse de u est dérivable sur I et pour tout x de I on a :
Par exemple, déterminons la dérivée de la fonction f(x) =
.
Cette fonction est l'inverse de la fonction u(x) = x2 + 1 dont la dérivée est 2.x.
Ainsi :
Nous l'avons à maintes fois dit et répété : une division est une multiplication par
l'inverse.
La formule de la dérivée de l'inverse préfigure celle du quotient de deux fonction
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
E Dérivée d'un quotient.
"Diviser revient à multiplier par l'inverse". C'est sur cette propriété que repose le
théorème suivant :
Théorème : u et v sont deux fonctions dérivables en x. On suppose également que v(x)
est non nul.
Si ces trois conditions sont vérifiées alors :
1 La fonction u/v est dérivable en x.
2 Le nombre dérivé au point x du quotient u/v est égal à
.
Autrement écrit : u et v sont deux fonctions dérivables sur un ensemble I. On suppose
également que v(x) est non nul sur cet ensemble, alors la fonction
et :
Par exemple, déterminons la dérivée de la fonction f(x) =
u
est dérivable sur I
v
.
Cette fonction sera dérivable sur R en tant que quotient de deux polynômes dérivables
sur R dont le dénominateur ne s’annule jamais (x2+1 est en effet toujours positif).
La fonction f est le quotient des fonctions :
•
•
u(x) = 2.x +1 dont la dérivée est 2.
v(x) = x2 + 1 dont la dérivée est 2.x.
On peut donc écrire que :
Lors du développement du numérateur, il convient de faire attention au signe moins qui
exerce son influence négative sur tout le produit (2.x + 1) . (2x)...
Conséquence : si f est une fonction rationnelle (c'est-à-dire un quotient de
polynômes) alors f et dérivable sur son ensemble de définition.
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
En effet son numérateur et son dénominateur sont des polynômes donc définis dérivables
sur R et le dénominateur ne peut s’annuler que pour un ensemble de valeurs en dehors
de l’ensemble de définition….
Autre exemple :
Soit à dériver la fonction f telle que : f(x) =
3 x
x2 + 7
Cette fonction est un quotient de deux fonctions dont le dénominateur ne s’annule jamais et est défini sur R
(polynôme somme d’un carré avec un nombre strictement positif) L’ensemble de définition de cette fonction
est R+, car la racine carrée n’est elle définie que sur cet ensemble.
Cette fonction est dérivable au moins sur R*+ ( à cause de la racine carrée qui n’est dérivable que sur cet
ensemble et du théorème précédent).
Calculons sa dérivée :
(
)(
′
3 x x2 + 7 − 3 x x2 + 7 ′
 3 x ′
 2
 =
2
x2 + 7
 x +7
)
(
(
)
)
donc
 3  2
x + 7 − 3 x ( 2x )
′

 3 x   2 x 
 2
 =
2
x2 + 7
 x +7
(
)
(
)
d ' où après réduction à un dénominateur commun:
(
)
(
2
 3 x ′ ( 3 ) x + 7 − 3 x ( 2 x ) 2 x
 2
 =
2
x2 + 7 2 x
 x +7
(
(
)
)(
)
)
3 x 2 + 21 − 12 x 2
 3 x ′
−9 x 2 + 21
=
 2
 =
2
2
x2 + 7 2 x
x2 + 7 2 x
 x +7
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(
)(
) (
)(
)
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
F Dérivée d'une fonction composée. (Obligatoire pour les sections scientifiques
seulement)
Théorème : f est une fonction dérivable en x. g est une fonction dérivable en f(x).
Si ces deux conditions sont réunies alors :
•
•
La fonction g o f est dérivable en x.
Le nombre dérivé au point x de la fonction composée g o f est égal à
f'(x) . g'(f(x)).
Autrement écrit :Si f est dérivable sur un ensemble I, que g est dérivable sur un
ensemble J tel que f(I)⊂ J alors pour tout x de I tel que J contienne un intervalle ouvert
contenant f(x) alors :
(gof)' (x) = f'(x) . g'( f(x) )
Par exemple la fonction g(x) =
.
Pour calculer la dérivée de la fonction , nous pourrions recourir à la formule de dérivation
de l'inverse. Mais nous allons faire autrement...
On peut dire que g est la composée des fonctions :
u(x) = 3.x + 2 dont la dérivée est 3.
v(x) =
.
Pour calculer la dérivée de cette fonction, nous allons employer une première fois la
formule de dérivation de la composée. Car v est la racine suivi de l'inverse. Ainsi :
Tout est à présent prêt pour l'action finale. En effet :
Un autre exemple est la fonction f(x)= sin(3.x2 + 1).
Elle est la composée de deux fonctions dérivables sur R que sont :
•
•
u(x) = 3.x2 +1 dont la dérivée est 6.x.
v(t) = sin(t) dont la dérivée est cos(t).
Comme f(x) = v(u(x)), on peut donc écrire que :
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
2
f '(x) = u'(x) . v'(u(x))
= (6. x) . sin(3.x2 + 1)
= 6.x . sin(3.x2 + 1)
Des fonctions composées que l'on rencontre assez souvent sont celles comportant de la
fonction affine.
Elles sont de la forme f(a.x + b).
Les deux tableaux suivants donnent les dérivées des principales fonctions de ce genre.
G Dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine (pour tous)
Dérivées de composées avec une fonction affine :(pour tous)
Polynômes, racine et fonctions inverses
Fonction
Dérivée
(a.x + b)n
n.a . (a.x +b)n-1
Exemple
n est positif
n est positif
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IV Fonctions dérivables – Calculs de fonction dérivés
H Autres fonctions dérivées.
Pour les scientifiques et les autres, il convient de rajouter le tableau suivant que nous
découvrirons lors de chapitres ou des classes ultérieurs:
Dérivées de composées avec une fonction affine :
Logarithme, exponentiel, fonctions trigonométriques
Fonction
Dérivée
Exemple
sin(a.x + b)
a . cos(a.x +b)
( sin(3.x+1) )' = 3. cos(3.x + 1)
cos(a.x + b)
-a . sin(a.x +b)
( cos(3.x+1) )' = -3. sin(3.x + 1)
ea.x+b
a . ea.x+b
( e3.x+1 )' = 3 . e3.x+1
(a.x + b)α
α . a . (a.x +b)α-1
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IV EXERCICES
Exercice 1
Donner la meilleure approximation affine de f en a :
3x + 1 ; a = 2.
1. f : x
2. f : x
x² + 4x - 1 ; a = 1.
2. f : x
3x² + 2x - 1 ; a = 2
4. f : x
;a=4
Exercice 2
Calculer le nombre dérivé de f en a :
2x - 3 ; a = 0
1. f : x
3. f : x
;
a=2
Exercice 3
Déterminer la fonction dérivée f' de f :
1. f : x
2x3 - 5x² + x + 1
2. f : x
3. f : x
4. f : x
5. f : x
6. f : x
7. f : x
8. f : x
(2 - x)3
Exercice 4
Ecrire une équation de la tangente à la courbe (C) représentative de f au point A d'abscisse a :
-x² + 2x + 3 ; a = -1
1. f : x
2. f : x
;
a=3
3. f : x
;
a=1
Exercice 5
Calculer les dérivées des fonctions suivantes en précisant à chaque fois l'ensemble de définition de la
fonction et de sa dérivée.
f2(x) = (x7 + 2x)(x3 - 4x + 1)
f1(x) = 2x3 - 4x² + 7
f4(x) =
f3(x) = (x² - 2x + 3)8
f5(x) =
f6(x) =
f7(x) =
f8(x) =
f9(x) = (x - 3)(x² + 1)(
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x - 1)
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
C Variations d'une fonction dérivable
rappel du chapitre sur la dérivé en un point :
Nous avons vu que le nombre dérivé d’une fonction pour une valeur x (de l’ensemble de dérivation est la
pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d’abscisse x. Nous savons de plus que la
tangente à la courbe sont très proches pour des valeurs voisines de l’abscisse du point de tangence. (la fonction
affine tangente est la meilleure approximation affine des valeurs de la fonction au voisinage du point de
tangence)
Soit f une fonction dérivable sur I
f est strictement croissante sur I si et seulement si f ' est strictement positive sur I.
f est strictement décroissante sur I si et seulement si f ' est strictement négative sur I.
f est constante sur I si et seulement si f ' est nulle sur I.
Pour étudier le sens de variation d’une fonction numérique dérivable il suffit de dériver la
fonction puis d’étudier le signe de la dérivé en fonction de x puis de conclure sur les sens de
variation à l’aide des théorèmes précédents.
A Un premier exemple d’utilisation :
Nous allons nous attaquer à l’étude complète d’une fonction du seconde degré qui se caractérise par
la forme f(x)=ax²+bx+c avec a non nul bien sûr.
On prend par exemple : f(x) = -2x²+5x+ 3
On sait déjà
-que sa courbe sera une Parabole.
qu’elle admet soit un maximum soit un minimum
-qu’elle change de croissance ( soit croissante puis décroissante, soit décroissante puis
croissante)
Avec la calculatrice, en traçant
le graphe de f, on constate que
- La courbe de f est bien une
parabole
-f admet un maximum global 6
en 1,2 ( par lecture graphique )
-f est croissante sur ]-∞; 1,2]
puis décroissante sur [1,2; +∞ [
-f passe par 0 en x1 = -0,5 et
x2= 3 ( par lecture graphique)
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Nous allons chercher à prouver tout cela avec l’analyse:
1) Il faut dériver f après avoir dit sur quel ensemble elle est dérivable
2) Il faut faire un tableau de signe de la fonction dérivée, le tableau de variation de f
et déterminer les limites de f.
3) Il faut vérifier le maximum dans le tableau de variation
4) Il faut calculer les abscisses des points d'intersection de la courbe Cf et de l’axe
des abscisses
1) Calcul de la dérivée f’(x) :La fonction f est dérivable sur IR car :
- elle est la somme de fonctions dérivables sur IR
- ou elle est une fonction polynôme qui est toujours dérivable sur IR.
On a
sur IR.
2) Tableau de signes et Tableau de variation :
donc f’(x) est positive ou nulle lorsque
( nulle lorsque
)
Lorsque x est grand alors f(x) est infiniment petit,
Lorsque x est petit alors f(x) est infiniment petit ,
À la calculatrice
Vérification :
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
f est croissante sur
3) Il faut vérifier le maximum dans le tableau de variation
l’intervalle ]-∞; ] ( Par lecture graphique, on a dit que f est croissante sur ]- ∞; 1,2] )
f est décroissante sur l’intervalle [ ; +∞ [ ( Par lecture graphique, on a dit que f est
décroissante sur l’intervalle [1,2; +∞ [)
Donc f admet pour maximum global pour x= (on a dit que f admet un maximum
global 6 en 1,2 )
4) Calculer des points d'intersection de Cf et de l’axe des abscisses
Pour cela , il faut résoudre l’équation
On peut utiliser au choix la méthode de mise sous forme canaonique ou du
discriminant.
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Par la mise sous forme canonique de f(x) on obtient :
En utilisant la méthode
du discriminant , on
obtient :
On a
donc f(x)=0
possède deux solutions
et
On remplace par les
valeurs et on trouve
et
.
Donc
.
Les points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses sont donc A(-0,5; 0) et
B(3;0).
Vérification :
Les résultats obtenus par le calcul sont conformes aux informations trouvées sur le
graphique.
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
B Dérivée et variations
1 Méthode de recherche du sens de variation d’une fonction dérivable
Méthode : Pour étudier le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle I à
partir de sa dérivée
1. On étudie le signe de f ’(x) sur I
2. On conclu : f est croissante sur tout intervalle inclus dans I tel que pour tout x de cet
intervalle f ’ (x)>0 sauf peut être en nombre fini de points (points à
tangente horizontale)
f est décroissante sur tout intervalle inclus dans I tel que pour tout point
de cet intervalle f ‘ (x) < 0 sauf peut être en un nombre fini de points
(points à tangente horizontale)
Le théorème.
Le grand intérêt de la dérivée est que son signe permet de connaître le sens de variation de la
fonction initiale. C'est l'objet du théorème suivant :
Théorème : sens de variation et signe de la dérivée.
La fonction f est dérivable sur l'intervalle I.
•
•
•
Si sa dérivée f' est strictement positive sur I alors f est strictement croissante
sur I.
Si sa dérivée f' est nulle sur I alors f est constante sur I.
Si sa dérivée f' est strictement négative sur I alors f est strictement
décroissante sur I.
On pourrait croire que cette chose est naturelle. En effet, le nombre dérivé d'une fonction en
un point donné n'est rien d'autre que la pente de la tangente à la courbe en ce point.
Voyons ce qu'il en est avec la fonction sinus.
En x = 1, la fonction
sinus est croissante.
La pente de la tangente
est positive.
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En x = π/2, la fonction n'est ni
croissante, ni décroissante.
La pente de la tangente est
nulle.
En x = 3, la fonction sinus
est décroissante.
La pente de la tangente
est négative.
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Un exemple d'application.
Intéressons-nous à la fonction f définie par :
f(x) =
Nous allons étudier cette fonction sur son ensemble de définition.
Étudier une fonction, cela veut dire dans l'ordre :
1. déterminer son ensemble de définition.
2. déterminer toutes valeurs ou ses limites aux bornes des intervalles
créant son ensemble de définition.
3. déterminer ses variations. (Pour cela éventuellement : dire ou la fonction est dérivable
puis calculer sa dérivée enfin chercher le signe de sa dérivée sur son domaine de
dérivation et en déduire les variations de la fonctions )
La fonction f est une fonction rationnelle. Elle est définie là où son dénominateur x - 1 est
non nul.
C'est-à-dire partout sauf en 1. Ainsi :
Df = ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
Enfin, on montre qu'une autre écriture de f(x) est :
f(x) = x +
La seconde phase d'une étude de fonction concerne généralement les limites.
Nous pouvons déterminer les limites d'une fonction rationnelle soit grace au cours sur les
limites si nous l’avons déjà fait soit empiriquement à l’aide d’une calculatrice (graphique ou
non ((cf formateur)).
Si nous avons fait le cours sur les limites
Ce qui nous intéresse dans f, ce sont ses
variations...
Afin d'avoir une idée de celles-ci, traçons la
courbe représentative de la fonction f avec
ses deux asymptotes.
Observant la courbe ci-contre. Il semble que :
•
•
f soit croissante avant -3 et après 5.
f décroisse entre -3 et 1, puis entre 1
et 5.
Essayons de retrouver (et même de démontrer)
ces constations par le calcul.
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Si nous n’avons pas fait le cours sur les limites
On constate les résultats par des calculs approchés ou par lecture graphique sur la calculette
Pour y arriver, nous allons utiliser le théorème sur les variations.
Celui nous dit que le signe de la dérivée d'une fonction permet de connaître les variations de
celle-ci.
La première chose à faire est donc de dériver la fonction f.
Une remarque avant les calculs : Ne pas oublier de préciser pourquoi f est dérivable
partout sauf en 1.
Comme f est le quotient de deux fonctions dérivables sur ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[ et que son
dénominateur x - 1 ne s'annule pas sur cet ensemble, alors f est dérivable partout sauf en 1.
Pour tout réel x différent de x, on a donc que :
Sous cette forme, la dérivée f' est inexploitable car ce qui nous intéresse est son signe. Nous
devons donc factoriser le numérateur x2 - 2.x - 15.
Cela se fait tout seul en utilisant les formules du trinôme.
On obtient : x2 - 2.x - 15 = (x + 3) . (x - 5).
Au final, pour tout réel x différent de 1 :
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Nous voulons connaître le signe de f'(x). Nous allons donc dresser son tableau de signes.
x
X+3
X-5
(X – 1)²
f ‘ (x)
-∞
-3
-
1
0
+
-
+
+∞
5
+
0
0
-
-
O
+
0
+
+
Bien sur grâce au théorème de base sur les variations d’une fonction nous savons que si f’(x)
est positive f est croissante et si f’(x) est négative f est croissante et à l’aide des limites nous
pouvons conclure :
2 Extréma :
A une idée hâtive et fausse.
Rappelons qu'un extremum est un minimum ou un maximum.
Nous allons essayer de découvrir un lien entre la dérivée d'une fonction et ses extréma.
Pour cela, revenons sur la fonction f du précédent paragraphe. Elle était définie pour tout réel
x différent de 1 par :
f(x) =
Revenons sur son tableau de variations.
On constate deux choses :
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
•
•
la fonction f admet un maximum local en x = -3.
On constate qu'alors f'(-3) = 0.
la fonction f admet un minimum local en x = 5.
On observe qu'alors f'(5) = 0.
Attention : nous parlons d'extréma locaux car la fonction f n'a ni de maximum, ni de
minimum absolus.
Maximum local signifie que c'est le point le plus élevé sur un intervalle particulier.
Revenons sur nos constatations. Il semblerait que :
Si la dérivée est nulle en un point x0 alors la fonction admet un maximum ou un
minimum local en x0.
Il ne s'agit pas là d'un théorème mais plutôt d'une interprétation incomplète.
Le contre exemple :
Prenons l'exemple de la fonction cube
g(x) = x3 représentée ci-dessous.
y
1
Nous connaissons sa dérivée :
g'(x) = 3.x2
Cette dérivée s'annule en 0 car g'(x) = 0.
Pourtant, le réel x = 0 n'est ni un
minimum, ni un maximum pour la fonction
cube.
x
0
-1
0
1
-1
Notre supposition est donc fausse !
B Le théorème sur les extrema locaux d’une fonction dérivable
En fait, nous avons mal envisagé la chose. Il aurait fallu la considérer dans l'autre sens.
Le vrai théorème est donc :
Théorèmes : f est une fonction dérivable sur l'intervalle ]a ; b[. x0 est un réel de cet
intervalle.
1 Si f admet un maximum ou un minimum local en x0 alors f'(x0) = 0.
2 Si la dérivée de f change de signe en x0 alors f admet un extremum en x0
Pour déterminer les extrema d'une fonction, la seule arme efficace demeure le tableau de
variations après éventuellement étude du signe de la dérivée. (revoir si besoin le chapitre II
« Fonctions numériques rappels et compléments » 3 (tableau de variation)
Voir un exemple ci-après
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Soit le tableau de variation suivant d’une fonction f définie sur [0 ; 7]
x
0
f’(x)
-1
f(x)
2
-
4
+
5
7
-
2
0
-3
0
Cette fonction admet d’après le théorème un extremum local en (2 ;3) car le signe de f’(x)
change en traversant la valeur 2, c’est un minimum car la fonction est décroissante avant le
point puis croissante ensuite.(Dérivée – puis +), f(2)=3 est le maximum local.
Cette fonction admet d’après le théorème un extremum local en (5 ;2) car le signe de f’(x)
change en traversant la valeur 5, c’est un maximum car la fonction est croissante avant le
point puis décroissante ensuite.(Dérivée + puis -), f(5)=2 est le minimum local.
Remarquons que nous savons Cf chapitre II qu’en (0 ; -1), f(0)=-1est un maximum local et
qu’en (7 ;0), f(7)=0 est un minimum local. En fait c’est à partir du tableau de variation que
nous donnerons le maximum absolu ou minimum absolu si ils existent. Ici f(2)=-3 est le
minimum absolu, et f(5)=2 est le maximum absolu.
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
C ETUDE DES VARIATIONS D’UNE FONCTION
exercice
- comment se remplissent les différents volumes ? Comment varie la
rapidité de remplissage ?
Les solides représentés ci-dessous ont le même volume total, la même hauteur H = 10 . Les courbes ci-dessous
représentent :
1- les variations du volume de chacun en fonction de la hauteur de remplissage h.
2- les variations des dérivées des fonctions 1 à 5.
Rendre à chaque forme sa fonction de "remplissage" et sa fonction dérivée.
10
10
10
h
h
h
enoc
cylindre
cone
10
10
10
h
h
sphère
5
h
sablier
5
grandpetit
10
5
h
petitgrand
600
volume
1
500
2
400
3
4
300
5
200
6
7
100
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
9
8,5
9,5
10
hauteur h
160
dérivée
140
120
A
100
B
C
80
60
D
E
40
F
20
G
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
hauteur h
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solide
cylindre
enoc
cône
sphère
sablier
grandpetit
petitgrand
volume
dérivée
EXERCICE : Comment varie cette fonction ? Comment est sa dérivée ?
Associer la représentation graphique des fonctions suivantes à la représentation graphique de sa fonction dérivée.
y = f(x)
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y = f'(x)
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Correction
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Exercice
Tracer à main levée la représentation graphique des dérivées des fonctions
représentées ci-dessous : Le but n'est pas d'obtenir un tracé fidèle mais
simplement l'allure de la fonction dérivée.
Exemples de représentations graphiques de fonctions.
y = f(x)
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y = f'(x)
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Cet exercice est bien sur donné pour obtenir l'association dans l'autre sens, à savoir :
- dérivée négative : fonction décroissante.
- dérivée positive : fonction croissante.
Là encore, le but n'est pas d'obtenir un tracé fidèle mais l'allure de la fonction.
Tracer à main levée les fonctions dont les représentations graphiques suivantes représentent les dérivées.
y = f ' (x)
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y = f(x)
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Exercices :
Compléter les tableaux suivants avec des flèches symbolisants le sens des variations:
x a
b
+
f'(x)
x a
b
-
f'(x)
f(x)
f(x)
x a
f'(x)
b
-
+
f(x)
x a
f'(x)
b
+
-
x a
f'(x)
f(x)
b
+
-
+
f(x)
x a
f'(x)
b
-
+
-
f(x)
x a
b
x a
f'(x)
f'(x)
f(x)
f(x)
x a
b
b
f'(x)
f(x)
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Compléter le tableau de variation des fonctions représentées ci-dessous :
x
a
x
b
f'(x)
f'(x)
f(x)
f(x)
x
a
a
b
b
f'(x)
f(x)
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
b
a
x
a
x
b
f'(x)
f'(x)
f(x)
f(x)
x
a
a
b
b
f'(x)
f(x)
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
Exercice :
Reconnaître le type de la fonction puis compléter le tableau de variation sans la tracer.
f(x) = 3x+1
f(x) = -2x² + 1
f(x) = 2x3 - 2
x
a
x
b
f'(x)
f'(x)
f(x)
f(x)
x
a
a
b
b
f'(x)
f(x)
f(x) =
3
+2
x
f(x) = 2 x - 4
ff(x) = 3x² -
1
x
a
x
b
f'(x)
f'(x)
f(x)
f(x)
x
a
a
b
b
f'(x)
f(x)
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VI Exercices et évaluation dérivée variations de fonctions étude de fonctions
D Exercices permettant d’aborder de manière plus habituelle, les
tableaux de variation.
Compléter les tableaux de variation suivants en tenant compte du signe de la dérivée.
Remarque : les fonctions sont étudiées sur l'intervalle [-5;5].
f'(x) > 0 pour x > -2
f'(x) > 0 pour x dans [-3;4]
x
x
f'(x)
f'(x)
f(x)
f(x)
f'(x) > 0 pour x<-6
x
f'(x)
f(x)
f'(x) > 0 pour x dans [-5;2]∪[3;5[
f'(x) > 0 pour x dans [-5;-1[∪]-1;5] f'(x) > 0 pour x>-10
x
x
f'(x)
f'(x)
f(x)
f(x)
x
f'(x)
f(x)
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Etudier le signe de la dérivée puis en déduire le tableau de variation des fonctions suivantes
puis tracer à main levée leur représentation graphique : les fonctions étudiées sont étudiées sur
l'intervalle [-5;5].
-2
f'(x) = 2x-3
f'(x) = 2-3x
f'(x) =
(x-1)²
x≠1
x
x
f'(x)
f'(x)
f(x)
f(x)
x
f'(x)
f(x)
f'(x) = (x-1)² x≠0
f'(x) =
2x+1
x≠3
(x-3)²
f'(x) =
1
2 (x+3)
x>-3
x
x
f'(x)
f'(x)
f(x)
f(x)
x
f'(x)
f(x)
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Exercice 1
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes puis dresser leur tableau de variation :
1. f(x) = 6(x² - 1)
2. f(x) =
3. f(x) =
4. f(x) = 4x3 - 3x4
Exercice 2
Déterminer les extrema des fonctions suivantes sur l'intervalle I en précisant s'il s'agit d'un minimum ou
d'un maximum.
;
1. f(x) = -x² + 4x - 8 sur I =
2. f(x) = x² +
sur I =
3. f(x) = 2x + 3 +
*+
et sur I =
sur I = ]2, +
*-
;
[.
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur
par : f(x) = x² - x - 2.
1. Calculer f'(x) puis dresser le tableau de variation de f. f possède-t-elle un maximum, un minimum ?
2. Déterminer le point A de la courbe représentative Cf de f (dans un repère orthonormal) en lequel la
tangente à Cf a pour coefficient directeur -2.
3. Tracer Cf. On placera notamment les points d'intersection avec les axes et on tracera la tangente à Cf
en A.
Exercice 4
Soit f la fonction définie par f(x) =
1.
2.
3.
4.
, et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Déterminer les limites de f en - , + , -2 (à droite et à gauche). Que peut-on en déduire pour C ?
Calculer f'(x). En déduire les variations de f.
Déterminer les réels x tels que f'(x) = 1.
Tracer et les tangentes à C en les points d'abscisse x tels que f'(x) = 1.
Exercice 5
Soit f la fonction définie par f(x) =
et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x différent de 1, f(x) = ax + b +
.
2. Utiliser cette écriture de f(x) pour calculer f'(x) Rassembler ces résultats dans un tableau de variation.
3. Tracer C et D. Que peut-on dire visuellement de la droite D d'équation y = 2x + 1 pour C ?
Exercice 6
Soit f la fonction définie par : f(x) =
.
1. Calculer f'(x). Quel est son signe ?
et en + . Rassembler les résultats précédents dans un tableau.
2. Déterminer les limites de f en 3. Que représente la droite d'équation y = 1 pour la courbe représentative C de f dans un repère
orthogonal ?
4. Montrer que C est symétrique par rapport à Oy, puis tracer C.
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5. Soit g(x) =
Etudier les variations de g, tracer sa courbe représentative C' sur la même
.
figure que pour C.
6. Résoudre graphiquement l'équation :
.
Exercice 7
D'après la théorie de la relativité, l'énergie totale d'une particule de masse m animée de la vitesse v est :
E(v) =
où c est la vitesse de la lumière.
Chercher la meilleure approximation affine de la fonction v
E(v) lorsque v est très petite devant c.
et on cherchera la meilleure approximation affine de la fonction x
(On posera x =
)
.
Les termes obtenus vous sont-ils familiers ?
Exercice 8
Soit f une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Le but de cet exercice est
d'étudier la dérivabilité sur I de la fonction g définie par :
g(x) =
.
1. Soit x0 un élément de I. Montrer que pour tout réel h
0,
.
2. Déterminer la limite de
quand h tend vers 0. Que peut-on en déduire pour la
fonction g ?
3. Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes sur l'intervalle I, et déterminer dans chaque cas la
fonction dérivée :
f1(x) =
sur I =
f2(x) =
.
sur I = ]1, +
[.
Exercice 9
), D1 et D2 sont les droites sécantes formant un
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, ,
angle , 0 < < , représentées sur la figure ci-dessous.
Deux mobiles M1 et M2 se déplacent respectivement sur D1 et D2, animés chacun d'un mouvement
rectiligne uniforme.
Les vecteurs vitesse de M1 et M2 sont notés
et
.
On suppose que M1 et M2 ont même vitesse, c'est-à-dire :
= v et le sens des vecteurs vitesse
est celui indiqué sur la figure. A l'instant t = 0, les coordonnées de M1 sont (0, 0) et celles de M2 sont (-a
cos
, a sin
).
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1. Quelles sont les équations des mouvements de M1 et M2 ? (On exprimera les coordonnées de M1 et M2
en fonction du temps t).
2. A quel instant la distance d(M1, M2) est-elle minimale ?
Exercice 10
Un skieur de randonnée gravit une montagne dont la pente est supposée régulière. Il fait des virages
réguliers pour aller du point de départ A au sommet B distant de 1 000 mètres à vol d'oiseau.
L'inclinaison de ses virages est p =
où x et y sont les distances indiquées sur la figure. Une règle
empirique fait apparaître que la vitesse du skieur est inversement proportionnelle à (p +
Quelle est la valeur de p qui permet de gravir la montagne en un temps minimal ?
).
Exercice 11
Quatre maisons sont aux sommets d'un carré de côté c = 2 km. On veut construire des chemins entre
ces maisons de façon que la longueur totale de ces chemins soit la plus courte possible (pour une
question de coût). On décide de construire les chemins comme sur la figure ci-dessous.
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1. Comment choisir x de façon que la longueur totale soit la plus courte possible ? (On sera amené à
calculer la dérivée de la fonction x
Quelle est alors cette longueur totale ?
2. Quelle est la mesure des angles
).
?
Exercice 12
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (0, i, j).
(C1), (C2) et (C3) désignent respectivement les courbes représentatives des fonctions f, g et h définies
par :
1°) Etablir les tableaux de variations de f, g et h.
2°) Montrer que le point A(1,2) est commun aux 3 courbes (C1), (C2) et (C3) et que ces 3 courbes
admettent en A la même tangente (T).
3°) Ecrire une équation de (T) et étudier la position de chacune des courbes par rapport à (T).
4°) Tracer (T), (C1), (C2) et (C3).
5°) Chacune des courbes (C1), (C2) et (C3) admet-elle une tangente parallèle à la droite d'équation
? Si oui, préciser en quel point et écrire leur équation.
Exercice 13
On se propose d'étudier la fonction numérique f dont on donne ci-dessous le tableau de variation :
1°) Préciser les ensembles de définition de f et e f'.
2°) Quelles sont les limites de f aux bornes des intervalles de son ensemble de définition ? Donner les
équations des asymptotes à la courbe représentative (C) de f.
3°) Ecrire les équations des tangentes à (C) que le tableau de variation permet de connaître.
4°) Préciser les extrema de f.
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5°) Ebaucher la courbe (C) dans un repère (0, i, j).
6°) Indiquer le nombre de solutions de l'équation : f(x) = 0 .
7°) Trouver un réel m tel que l'équation : f(x) = m n'admette qu'une seule solution.
5°) Construire (D) et (C)
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