corrige des exercices de probabilite

CORRIGE DES EXERCICES DE PROBABILITE
Master 1
Mars 2009
a+b
9+5
1. La moyenne d'une loi uniforme sur [a; b] est
; ce qui done ici : E (X) =
= 7. La fonction de répartition est dé nie par
2
2
8
8
< F (x) = 0 si x 2 ] 1; a[
< F (x) = 0 si x 2 ] 1; 5[
F (x) = x 4 5 si x 2 [5; 9] . On en déduit : P (X 3) = F (3) = 0 ; P (6 X 8) =
: F (x) = xb aa si x 2 [a; b] soit ici
:
:
F (x) = 1 si x 2 ]9; +1[
F (x) = 1 si x 2 ]b; +1[
3
1
1
7) = 1 F (7) = 1 24 = 12 : Tous ces résultats doivent être visualisés graphiquement par
F (8) F (6) = 4
4 = 2 ; P (X
des considérations d'aires de rectangles.
F (x) = 0 si x < 0
F (x) = 1 e x si x
2. La fonction de répartition est :
0
F (x) = 0 si x < 0
F (x) = 1 e 0:1x si x
soit ici :
P (X < 10) = F (10) = 1 e ' 0:632 1 ; P (X > 5) = F (5) = e
e x , pour x 0) ; et P (10 X 20) = F (20) F (10) = 1 e 2
1
3. On pose Z =
P (X
X
3) = P
; P (X
m
=
3
2
3
3
Z
1) = P
X
2
Z
X
= P (Z
1 3
2
X
2) = P
0) = F (0) = 0:5 ; P (X
= P (Z
4:5 3
2
4:5) = P
0:158 7 ; P (0
0
= 0:606 5 (fonction de queue : F (x) = 1
1 e 1 = e 1 e 2 ' 0:232 5:
F (x) =
; on sait que Z suit la loi normale N (0 ; 1) :
3
Z
2
0:7734 + 0:9332 1 ' 0:706 6;
3
=P
P (X 0) = P Z
2
P (0
0:5
Z
3
2
3
2
Z
2) = P (Z
= F (0:75)
4) = P
2) = 1
2
3
2
F (2) = 1
F ( 1:5) = F (0:75)
= F (1:5) ' 0:9332 : P (X
= P ( 1:5
Z
4
Z
5) = P
3
= P (Z
2
0:5) = F (0:5) = 0:6915
0:9772 = 0:022 8 ;
(1
F (1:5)) = F (0:75) + F (1:5)
5
Z
3
2
0:5) = P (0:5
Z
=1
F (1) = 1
1:5) = F (1:5)
1=
0:8413 =
F (0:5) '
0:9332 0:6915 = 0:241 7
Remarque : toutes les propriétés de symétrie utilisées doivent être visualisées sur la courbe de la densité de la loi normale centrée
réduite.
20
4. Le paramètre
d'une loi de Poisson est son espérance donc
= 25: P (X = 20) =
25
20!
25
e 25 ' 7:95 10 2 ;
25!
;
18; on peut donc approcher cette loi de Poisson par la loi normale de paramètre m =
variable aléatoire suivant la loi N (25; 5) :
e
=
2520
e
20!
25
= 5:19
10
2
et
P (X = 25) =
P (X < 25) = P (X
= P (Z
P
Z
24) = P (Y
= 25 et
=
p
= 5 ; on note Y la
24:5) en effectuant une correction de continuité, soit en standardisant : P
0:1) = 1 F (0:1) = 1 0:5398 = 0:460 2 : P (X
27:5 25
= 1 F (0:5) ' 1 0:6915 = 0:308 5
5
28) = 1
P (X
27) = 1
P (Y
Z
24:5 25
5
27:5) = 1
270
:
10
240) car ce sont des événements disjoints. On obtient
F (3) = 2 F (2) F (3) = 2 0:9772 0:9987 =
5. X durée de la grossesse est une variable aléatoire normale qui suit la loi N (270; 10) et on la standardise en posant : Z =
On doit calculer : P ((X 290) [ (X 240)) = P (X
290) + P (X
: P (Z 2) + P (Z
3) = 1 F (2) + P (Z 3) = 1 F (2) + 1
0:024 1
X
6. Les CV
a. L'état d'un dossier est une épreuve de Bernoulli : on peut nommer ”succès” l'événement : ”le dossier est falsi é” et échec
l'événement ”le dossier n'est pas falsi é” ; on se retrouve avec 460 épreuves de Bernoulli , identiques et indépendantes. ; le
k
nombre X de dossiers falsi és suit la loi B (460; 0:60), dé nie par : P (X = k) = nk pk q n k = 460
0:40460 k ;
k 0:60
b. La distribution est proche d'un modèle symétrique, car 0:4 p 0:60 ; on pense à une loi normale ; cette approximation est
p
justi ée car 0:4
p
0:60 et n
50 ; on approxime alors la loi binomiale par la loi :N np; npq ; ce qui donne ici :
p
N 276; 110:4 :On approxime une loi disrète par une loi continue, on doit donc effectuer la correction de continuité.On note
p
Y la variable aléatoire normale suivant la loi N 276; 110:4 :
c. Correction de continuité (à penser graphiquement)
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UFR 14
CORRIGE DES EXERCICES DE PROBABILITE
2
P (X
285) = P (Y
avec Z =
P (261:5
P
Y
284:5) = P
Z
284:5 276
10:5
= P (Z
276
, Z suivant la loi normale centrée réduite. P (262
10:5
Y
290:5) soit :
261:5 276
10:5
290:5 276
10:5
Z
' F (1:38)
0:809 5) = 1
X
P (Z
0:81) = 1
290) = P (261:5
F ( 1:38) = 2F (1:38)
Y
(0:81) ' 0:7910
290:5) soit :
1 ' 0:832 4
7. Distributeur d'essence
a. On a une loi uniforme sur [ 2:5; 2:5] ; sa densité de probabilité est une fonction constante sur [ 2:5; 2:5], nulle ailleurs :
(
1
f (x) = 2:5 (1 2:5) = si x 2 [ 2:5; 2:5]
5
f (x) = 0 si x 2 ] 1; 2:5[ [ ]2:5; +1[
x + 2:5
x a
=
si x 2 [ 2:5; 2:5]
et la fonction de répartition est dé nie par : F (x) = P (X x) =
b a
5
8
F (x) = 0 si x 2 ] 1; 2:5[
>
<
x + 2:5
si x 2 [ 2:5; 2:5]
F (x) =
>
5
:
F (x) = 1 si x 2 ]2:5; +1[
2
p
p
a+b
(b a)
25
Son espérance est : E (x) =
= 0 et sa variance V (X) =
=
= 2: 08; avec (x) = V (X) = 2: 08 ' 1:
2
12
12
44
b. Théorème Central Limite : Si X1 ; X2 ; :::Xn sont n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d'espérance
1P
commune m et de variance 2 ; alors la distibution de leur moyenne X =
Xi peut être approchée par une loi normale, dès
n
1 2
que n est assez grand ( n 30) ; de plus, les paramètres de cette loi sont données par : E X = m et V X =
; donc
n
P
p
X = p : De même la loi de la somme S =
Xi tend vers la loi normale N (nm;
n) : On se ramène à la loi normale
n
X1 + ::: + Xn n
p
centrée réduite (standardisation) et on en déduit que la loi de Z =
tend vers la loi normale N (0; 1) quand
n
n tend vers l'in ni.
Ici n = 1200, alors S la variable aléatoire désignant la somme totale des arrondis suit approximativement une loi normale de
p
p
S m
moyenne m = 1200 E (X) = 0 et d'écart-type = 1200 (X) = 1: 44 1200 ' 49: 88 ; si on pose Z =
, alors Z
suit la loi normale centrée réduite.
100
La probabilité que le gain dû aux arrondis soit supérieur à 1 euro est donnée par : P (S > 100) = 1 P Z
=
49: 88
1 F (2:01) ' 1 0:9779 ' 0:0 221 , F désignant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
8. Si T désigne le temps, exprimé en mn; écoulé entre 20h25 et l'arrivée de Paul, alors T suit la loi uniforme sur [0; 20]; par ailleurs,
Paul et Virginie se rencontreront si T 17 ; la densité de T est la fonction constante par intervalle dé nie par :
1
f (x) = 20
si x 2 [0; 20]
f (x) = 0 sinon
8
< F (x) = 0 si x 2 ] 1; 0[
x
F (x) = 20
si x 2 [0; 20] P (T
et la fonction de réparttition est donnée par :
:
F (x) = 1 si x 2 ]20; +1[
(1)
17) =
17
20
= 0: 85 ;soit 85% de chance.....
9. On effectue un changement de variable pour se ramener à la loi normale centrée réduite, en posant Z =
m
=
R
0:5675 + 0:5714
= 0: 569 5
2
3900 4115
4150 4115
P f3900 < R < 4150g = P
<Z<
: = F (0:175) F ( 1:075) = F (0:175) (1
200
200
0:8577 + 0:8599
F (0:175) + F (1:075) 1 ' 0: 569 5 +
1 ' 0: 428 3
2
2
P
Z<
4150 4115
:
200
R
=
4115
:P fR < 4150g
200
(0:175) '
F (1:075)) =
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Master 1
10. La somme totale que la compagnie doit verser est : S =
i=120
P
Xi , Xi désignant des variables aaléatoires de même loi, indépendantes,
i=1
de moyenne 508et d'écart-type 30 ; le Théorème central limite permet d'af rmer que S peut être assimilée à une variable aléatoire
i=120
i=120
P
P
<
E (S) = E
Xi =
E (Xi ) = 120 50 = 6000:
Il reste à effectuer un changement de variable pour
normale avec:
i=1
i=1
p
p
:
120 = 30
120 ' 328: 63
(S) = (Xi )
S 6000
se ramener à une loi normale centrée réduite ; on pose Z =
et on doit calculer
328: 63
P (S
6500) = P
Z
6500 6000
328: 63
soit P (Z
1: 52) ' 0:9357:
11. La compagnie d'assurance
a. On est clairement devant un schéma de Bernoulli, les sinistres étant indépendants, X ,! B (n; p) ; la loi binomiale de paramètres
p
p
n = 10000 et p = 0:01: On a : E (X) = np = 100 et (X) = npq = 10000 0:01 0:99 ' 9: 95
T = 1 avec la probabilité 0:01
b. On peut noter que Yi = 100000T ; T étant une variable aléatoire de Bernoulli, dé nie par :
T = 0 avec la probabilité 0:99
p
p
T ,! B (1; 0:01) ; on a alors : E (T ) = 0:01 et (T ) = pq = 0:01 0:99 ' 9: 9 5 10 2 ; on en déduit : E (Yi ) =
100000E (T ) = 100000 0:01 = 1000 et (Yi ) = 100000 (T ) = 100000 9: 9 5 10 2 = 9950 car (aX + b) = jaj (X) :
c. On note Y la charge totale annuelle des 10000 assurés.
On a Y = 100000X et on en déduit par linéarité de l'espérance : E (Y ) = 100000E (X) = 100000 100 = 1000 000;puis
(Y ) = 10000 (X) = 100000 9:95 = 995000:
i=10000
P
P
Autre solution : Y =
Yi et E (Y ) =
E (Yi ) = 10000 1000 = 10 000 000; les Yi étant indépendantes, les variances
i=1
s'ajoutent et on a : V (Y ) =
i=10000
P
V (Yi ) = 10000 99502 ; ce qui donne :
(Y ) =
p
10000 99502 = 995000:
i=1
d. Théorème central limite : Si X1 ; X2 ; :::Xn sont n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d'espérance
commune m et de variance 2 ;alors la distibution de la variable aléatoire
X1 + ::: + Xn
p
n
nm
tend vers la loi normale N (0; 1)
On en conclut que les Yi étant identiquement distribuées et indépendantes, la loi de probabilité de leur somme peut être assimilée
à une loi normale de paramètre 10 000 000 et d'écart-type 995000; n étant grand.
e. Il reste à centrer et à réduire Y ; on pose Z =
P (Z
=1
10 000 000
; Z ,! N (0; 1) . P (Y
995000
11000000) = P
Z
11000000 10 000 000
995000
1) = F (1) ' 0:8413
f. R = 1400 10000
P (R
X
3500000
0) = P (10 500 000
P (Z
0:50) ' 1
Y = 10 500 000
Y
0) = P (Y
Y:
10 500 000) = 1 P (Y
10 500 000) = 1 P
Z
10500000 10 000 000
995000
0:6915 = 0:308 5
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