Analyse dimensionnelle en électromagnétisme

Exercice à rendre le vendredi 16 septembre
Langevin–Wallon, PTSI 2016-2017
Analyse dimensionnelle en électromagnétisme
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des
questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec votre cours ouvert et les exercices faits en classe à portée de main est chaudement recommandé.
Utiliser votre calculatrice ou un logiciel comme Geogebra ou Python est possible, et peut parfois vous aider.
Travailler en groupe est autorisé mais le travail de rédaction doit être individuel et le nom des personnes avec qui
vous avez travaillé doit être indiqué au début de votre copie. Les groupes doivent être raisonnables : pas plus de
trois personnes. Je rappelle aussi qu’un travail de groupe est un travail à plusieurs, et pas le travail d’une personne
recopié plusieurs fois.
L’électromagnétisme est la branche de la physique qui étudie les interactions entre particules chargées électriquement et plus généralement les effets de l’électricité. Il repose sur les notions de champs électrique et magnétique. Son
domaine d’application est considérable. Ainsi, outre l’électricité, l’électromagnétisme permet de comprendre l’existence des ondes électromagnétiques, c’est-à-dire aussi bien les ondes radio que la lumière, ou encore les micro-ondes.
L’interaction électromagnétique est également une des quatre interactions fondamentales qui permet de comprendre
(avec la mécanique quantique) l’existence, la cohésion et la stabilité des édifices chimiques tels que les atomes ou
les molécules. Cet exercice propose d’effleurer une approche dimensionnelle de l’électromagnétisme pour retrouver la
valeur numérique de la vitesse de la lumière.
Indication : Pour déterminer la dimension d’une charge électrique, on peut se rappeler que l’intensité du courant
électrique I dans un fil compte la charge Q ayant traversé une section du fil pendant une durée ∆t,
I=
Q
.
∆t
Les deux constantes fondamentales de l’électromagnétisme sont la permittivité diélectrique du vide ε0 (lettre
grecque epsilon) et sa perméabilité magnétique µ0 (lettre grecque mu). Nous allons donc commencer par déterminer
leur dimension.
Données : les unités utilisées sont celles du système international.
. µ0 = 4π · 10−7 H · m−1 (Henry par mètre) ;
. ε0 = 8,85 · 10−12 F · m−1 (farad par mètre).
1 - L’unité SI du champ électrique est le V · m−1 (volt par mètre). En déduire sa dimension. On utilisera comme
point de départ le fait que la dimension SI d’une tension est M · L2 · T −3 · I −1 , établi en exemple de cours mais pas
à connaître.
2 - Une particule de charge q crée un champ électrique dans l’espace qui l’entoure. À une distance r de la particule,
il a pour norme
q
E=
.
4πε0 r2
En déduire la dimension de ε0 .
3 - La force magnétique qui s’exerce entre deux conducteurs parallèles de même longueur L, parcourus par des
courants d’intensité I1 et I2 , et séparés d’une distance d a pour norme
F =
µ0 I1 I2 L
.
2π
d
En déduire la dimension de la perméabilité magnétique du vide µ0 .
4 - La lumière est une onde électromagnétique. Sa vitesse de propagation dans le vide c ne peut donc dépendre que
des deux constantes fondamentales ε0 et µ0 . Déterminer par analyse dimensionnelle l’expression de c en fonction
de ε0 et µ0 , à un facteur multiplicatif près.
5 - On admet que ce facteur multiplicatif est égal à 1. En déduire la valeur numérique de c, à donner d’abord en
notation scientifique puis en utilisant le préfixe multiplicatif adapté. Un calcul de tête, en ordre de grandeur, est
attendu : vous détaillerez les étapes sur votre copie ... mais c’est un DM : vous avez donc le droit de le vérifier à la
calculatrice ... et vous devriez connaître par cœur la valeur de c :)
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Étienne Thibierge, 3 septembre 2016, www.etienne-thibierge.fr