2 PGCD, PPCM - Christophe Bertault

ARITHMÉTIQUE DES ENTIERS RELATIFS
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
DIVISIBILITÉ, DIVISION EUCLIDIENNE
1) Montrer que x 2 + y 2 est divisible par 7 si et seulement si x et y le sont.
2) Montrer que si x 3 + y 3 + z 3 est divisible par 7,
alors x, y ou z aussi.
ET CONGRUENCES
1
Vrai ou faux ? Justifier. Soient d, n, a ∈ Z.
1) 45 possède 12 diviseurs.
2) Si : n ≡ 1 [3], alors n est impair.
3) Si a et b sont divisibles par d, alors a b l’est par
d 2.
4) Pour tous p, q ∈ P, si : q − p = 3, alors :
p = 2 et q = 5.
5) Si : d|n2 , alors : d|n.
6) Si : a2 ≡ 1 [n], alors : a ≡ ±1 [n].
7) Si : 4a ≡ 4b [13], alors : a ≡ b [13].
8) Si : 4a ≡ 4b [6], alors : a ≡ b [6].
9) Si : n ≡ ±1 [8], tout diviseur de n est lui
aussi congru à ±1 modulo 8.
————————————–
10
uN u r
un
¶
+ .
n
N
n
un
c) En déduire l’égalité :
lim
= a.
n→+∞ n
un
= −∞ dans le cas
2) Montrer que :
lim
n→+∞ n
où A n’est pas minoré.
un
existe toujours. Ce
En résumé, la limite :
lim
n→+∞ n
résultat est appelé le (lemme sous-additif de Fekete).
————————————–
2
Montrer que 2123 + 3121 est divisible par 11.
————————————–
3
Soit (un )n∈N une suite réelle sous-additive,
i.e. telle que pourn tous
m, n ∈ N : um+n ¶ um + un .
un o
On pose : A =
.
n n∈N∗
1) On suppose A minoré et on pose : a = inf A.
a) Soient n, N ∈ N∗ . On introduit la division euclidienne de n par N : n = N q + r avec
q ∈ N et r ∈ ¹0, N − 1º. Montrer qu’alors :
Montrer que n(n + 2)(7n − 5) est divisible par 6
pour tout n ∈ Z.
————————————–
————————————–
4
2
Calculer le reste de la division euclidienne :
1) de 32189 par 25.
2) de 55970321 par 8.
4321
1234
3) de 1234
+ 4321
par 7.
ET NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
————————————–
5
11
Pour quels entiers n ∈ Z est-il vrai que n+1
divise n + 7 ?
2)
Pour quelles valeurs de n ∈ Z l’entier :
1)
n2 + (n + 1)2 + (n + 3)2
est-il divisible par 10 ?
Trouver tous les nombres premiers p pour
lesquels 3p + 4 est un carré parfait.
Pour quels n ∈ Z le produit n(n+2) est-il
4)
une puissance de 2 ?
12
3)
6
————————————–
Montrer que pour tout p ∈ P \ 2, 3 :
1) Montrer que n + 1 et 2n + 1 sont premiers entre
eux pour tout n ∈ N. 
‹
2n + 1
2) En déduire, grâce à
, que n + 1 divise
n+1
 ‹
2n
pour tout n ∈ N.
n
————————————–
ln 6
est irrationnel.
ln 7
ln a
2) Montrer que
est irrationnel pour tous a, b ¾ 2
ln b
premiers entre eux.
1) Montrer que
————————————–
13
p2 ≡ 1 [24].
————————————–
7
PGCD, PPCM
Montrer que pour tous n ∈ N∗ et a, b ∈ Z, si :
a ≡ b [n], alors : a n ≡ b n n2 .
Calculer :
n3 + 3n2 − 5 ∧ (n + 2) pour
tout n ∈ Z.
Montrer que pour tout n ∈ Z :
2)
n4 + 3n2 − n + 2 ∧ n2 + n + 1 = (n − 2) ∧ 7.
1)
————————————–
————————————–
8
14
Montrer que pour tous a ∈ Z impair et n ∈ N :
n
a2 ≡ 1 2n+1 .
(a + b) ∧ (a ∨ b)
————————————–
————————————–
9
Simplifier :
a, b ∈ Z.
15
Soient x, y, z ∈ Z.
Montrer que pour tous a, b ∈ N∗ :
Ua ∩ U b = Ua∧b .
1
pour tous
ARITHMÉTIQUE DES ENTIERS RELATIFS
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
————————————–
————————————–
Soient a, b ∈ N∗ premiers entre eux.
1) Pour tout k ∈ N, on note rk le reste de la division
euclidienne de a k par b. Pourquoi l’application
k 7−→ rk n’est-elle pas injective de N dans N ?
2) En déduire que pour un certain n ∈ N∗ :
16
(a ∧ b)n = a n ∧ b n .
————————————–
23
a n ≡ 1 [b].
————————————–
17
Montrer que pour tous a, b, n ∈ N∗ :
22
Pour tout n ∈ N∗ , on note div+ (n) l’ensemble
des diviseurs positifs de n.
Soient a, b§ ∈ N∗ premiers entre eux. Montrer que l’apdiv+ (a) × div+ (b) −→ N
plication
est bijective
(k, l)
7−→ kl
+
+
+
de div (a) × div (b) sur div (a b).
Soient a, b ∈ N et k ¾ 2 entier. Si a et b sont
premiers entre eux et si a b est la puissance kème d’un
entier, montrer que a et b sont eux-mêmes des puissances kèmes d’entiers.
————————————–
24
1) Montrer que pour tous p ∈ P et n ∈ N :
X› n ž
+∞
vp n! =
pk
k=1
————————————–
où la somme
› estž faussement infinie car pour tout
n
∗
k∈N :
= 0 dès que p k > n.
pk
2) Par combien de zéros l’entier 100! s’achève-t-il ?
Soient a1 , . . . , a r ∈ N∗ premiers entre eux
18
deux à deux et b ∈ Z.
Y
ai , k décrivant ¹1, rº,
1) Montrer que les entiers
1¶i¶r
i6=k
————————————–
sont premiers entre eux dans leur ensemble.
2) En déduire qu’il existe une et une seule famille
d’entiers ( y, x 1 , . . . , x r ) telle que :
25
r
X
xk
b
= y+
a1 . . . a r
a
k=1 k
avec :
0 ¶ x i < ai
4
pour tout i ∈ ¹1, rº.
26
On dira qu’une partie non vide E de N∗ est sympathique
x+y
si pour tous x, y ∈ E :
∈ E.
x∧y
1)
Montrer
que toute partie sympathique contient
2 et que 2 est une partie sympathique.
Déterminer toutes les parties sympathiques
2)
qui contiennent 1.
3)
Soit E une partie sympathique non réduite à 2 et ne contenant pas 1.
On pose : m = min E \ 2 .
a) Montrer que m est impair.
b) Montrer que E contient tous les entiers impairs plus grands que m.
c) Montrer que E contient 2N∗ .
d) En déduire E.
20
27
PREMIERS
Pour tout n ∈ N∗ , on note pn le nème nombre
premier. Montrer que pour tout n ¾ 2 : pn+1 < p1 . . . pn .
Soient a ¾ 2 et n ¾ 2. On suppose a n − 1 premier.
1)
Proposer une factorisation non triviale de
a n − 1 en produit de deux entiers, puis montrer
que : a = 2.
Montrer de même que n est premier.
2)
Pour tout p ¾ 2, l’entier M p = 2 p − 1 est appelé le
pème nombre de Mersenne. Tous ne sont pas premiers,
par exemple : M11 = 23 × 89.
————————————–
28
VALUATIONS p-ADIQUES
Soit n ∈ N∗ . Montrer que si n est à la fois un
carré parfait et un cube parfait, alors il est la puissance
sixième d’un entier.
————————————–
21
NOMBRES
————————————–
————————————–
3
Déterminer tous les entiers n ∈ N∗ pour lesquels 2 divise 3n − 1.
n
————————————–
————————————–
19
(formule de Legendre),
Soient a, b ∈ N∗ . Montrer que si a2 divise b2 , alors
a divise b.
Factoriser a2n+1 + b2n+1 par a + b pour
tous n ∈ N et a, b ∈ C.
b)
Pour tout n ∈ N∗ , montrer que si 2n + 1
est premier, alors n est une puissance de 2.
n
Pour tout n ∈ N, l’entier Fn = 22 + 1 est appelé le nème
nombre de Fermat. On peut vérifier que F0 , F1 , F2 , F3 , F4
sont premiers et on conjecture que ce sont là les seuls
nombres de Fermat premiers. Les nombres de Fermat
premiers jouent un rôle étonnant dans le problème de
la constructibilité à la règle et au compas des polygones
réguliers.
2)
a) Montrer que pour tout n ∈ N :
1) a)
Fn+1 = F0 . . . Fn + 2.
2
ARITHMÉTIQUE DES ENTIERS RELATIFS
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
b) En déduire que Fm et Fn sont premiers entre
eux pour tous m, n ∈ N distincts.
1) Montrer que Æ n’a pas de solution si c n’est pas
un multiple de a ∧ b.
2) On suppose à présent que a ∧ b divise c.
a) Montrer, grâce à une relation de Bézout de a
et b, que Æ possède une solution (x 0 , y0 ).
b) Résoudre alors Æ.
3) Résoudre les équations d’inconnue (x, y) ∈ Z2 :
a)
7x − 12 y = 3.
b) 20x − 53 y = 3.
————————————–
29
1) a) Montrer que tout entier naturel congru à 3
modulo 4 possède au moins un diviseur premier congru à 3 modulo 4.
b) Montrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers congrus à 3 modulo 4.
2) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6.
————————————–
§
x ≡ 1 mod 5
Résoudre le système :
x ≡ 2 mod 11
35
d’inconnue x ∈ Z.
————————————–
————————————–
Soit p ∈ P.
1) Montrer que :
30
36
∀ y ∈ ¹1, p−1º,
∃ ! x ∈ ¹1, p−1º/
x y ≡ 1 [p].
2) En déduire le théorème de Wilson :
(p − 1)! ≡ −1 [p].
————————————–
3) On suppose p impair. Montrer que :

‹
p+1
p−1 2
! ≡ (−1) 2 [p].
2
————————————–
5
31
ÉQUATIONS
37
38
DIOPHANTIENNES
Résoudre les équations suivantes d’inconnue
(x, y) ∈ N§2 :
x∧y=3
1)
x + y = 21.
2)
(x ∧ y) + (x ∨ y) = 2x + 3 y.
3)
x ∨ y = x + y − 1.
d’in-
On veut résoudre l’équation :
xy = yx
∗
d’inconnue (x, y) ∈ N .
1) Soient x, y ∈ N∗ . On suppose que : x ¶ y et
x y = y x . Montrer que x divise y en étudiant
leur PGCD.
2) Conclure.
————————————–
39
Résoudre l’équation :
connue (x, y) ∈ Z2 .
y3 = x2 + x
d’in-
————————————–
Résoudre les équations suivantes d’inconnue (x, y) ∈ Z2 :
32
1)
9x 2 − y 2 = 32.
2)
x 2 − 2 y 2 = 3 en raisonnant modulo 8.
3)
15x 2 − 7 y 2 = 9 en raisonnant modulo 3.
40
Résoudre l’équation : x 2 + px = y 2
connue (x, y) ∈ N2 pour tout p ∈ P.
d’in-
————————————–
————————————–
41
Soient a, b ∈ Z et n ∈ N∗ . On s’intéresse à
l’équation : a x ≡ b [n] Æ d’inconnue x ∈ Z.
1) Montrer que Æ n’a pas de solution si b n’est pas
un multiple de a ∧ n.
2) On suppose à présent que a ∧ n divise b.
a) Montrer, grâce à une relation de Bézout de a
et n, que Æ possède une solution x 0 .
b) Résoudre alors Æ.
3) Résoudre l’équation : 7x ≡ 3 [17] d’inconnue x ∈ Z.
Pour montrer que l’équation : y 2 = x 3 + 7
d’inconnue (x, y) ∈ Z2 n’a pas de solution, on suppose
par l’absurde qu’elle en possède une (x, y).
Montrer que x est impair.
1)
2) Factoriser x 3 + 8. En déduire que y 2 + 1 possède
un facteur premier p congru à 3 modulo 4.
3) Calculer y p−1 modulo p de deux manières différentes, puis conclure.
————————————–
————————————–
34
Montrer que l’équation : 2n + 1 = m3
connue (m, n) ∈ N2 n’a pas de solution.
————————————–
————————————–
33
On veut résoudre l’équation : x 2 + y 2 = 3z 2
Æ d’inconnue (x, y, z) ∈ N3 .
1) En raisonnant modulo 4, montrer que pour toute
solution (x, y, z) de Æ, x, y et z sont pairs.
2) En déduire les solutions d’Æ.
Soient a, b, c ∈ Z, (a, b) 6= (0, 0). On s’intéresse à l’équation : a x + b y = c Æ d’inconnue
(x, y) ∈ Z2 .
3