Sujet 13

Colle du 27 janvier : Arithmétique et algèbre non linéaire
16.1
Cours
Question de cours 1 :
Formule de récurrence vériée par la fonction indicatrice d'Euler.
Question de cours 2 :
Dénition d'un anneau principal.
Question de cours 3 :
Quand l'anneau
16.2
est-il intègre ? un corps ?
Arithmétique
Exercice 1 :
xy
x+y
Z/nZ
≥n+
Soient
x, y
et
n
trois entiers naturels non nuls tels que
xy
x+y
> n.
Montrer que
1
n2 +2n+2 .
Exercice 2 :
On considère 17 entiers strictement positifs n'ayant pas de diviseurs premiers su-
périeurs à 8. Montrer qu'il en existe deux dont le produit est un carré parfait.
Exercice 3 :
Existe-t'il deux puissances de 2 distinctes qui s'écrivent avec les mêmes chires
dans des ordres diérents ?
Exercice 4 :
Montrer que chaque nombre premier autre que 2 et 5 admet un multiple dont tous
les chires sont égaux à 1.
Exercice 5 :
Trouver tous les entiers naturels
Exercice 6 :
Pour
n
entier naturel, on note
la plus grande valeur possible de
Exercice 7 :
n
tels que
an = n3 + 1
5n−1 + 3n−1
et
divise
5n + 3n .
dn = P GCD(an , an+1 ).
Quelle est
dn ?
Un professeur de mathématiques choisit deux entiers naturels, et il donne leur
produit à son élève Pierre et leur somme à son élève Simon.
Un des élèves dit : Tu ne peux pas deviner le nombre que le professeur m'a donné.
L'autre répond : Tu te trompes, c'est 136.
Sachant que les deux élèves disent vrai, quels sont les deux entiers choisis par le professeur ?
Exercice 8 :
On choisit
n+1
entiers entre 1 et
2n.
Montrer qu'il en existe deux tels que l'un
divise l'autre.
Exercice 9 :
Montrer que si
Exercice 10 :
n>1
divise
2n + 1 ,
alors
n
est multiple de 3.
Soient 111 entiers de somme nulle. Montrer que la somme de leurs puissances
37-ièmes est multiple de 399.
Exercice 11 :
Trouver tous les entiers
x, y, z
Exercice 12 :
Trouver tous les entiers
x, y
tels que
y 2 = x3 + 16.
Exercice 13 :
Trouver tous les entiers
x, y
tels que
x2 + 2y 2 = 3z 2 .
tels que
1
x3 + 9y 3 = 3z 3 .
Exercice 14 :
Trouver tous les entiers
Exercice 15 :
Quels sont les trois derniers chires de
Exercice 16 :
Trouver tous les entiers naturels
x, y
tels que
x2 = y 5 − 4.
a, b, c
79999 ?
tels que
2c − 1
divise
2a + 2 b + 1 .
a
Exercice 17 : Montrer que la suite a, aa , aa , ... devient constante modulo n à partir d'un certain
rang.
Exercice 18 : 1.
Soit
x
un entier naturel. Montrer que tout diviseur de
1 modulo 7.
2.
Trouver tous les entiers naturels
x, y
tels que
x7 −1
x−1
= y 5 − 1.
Exercice 19 : Soit p un un nombre premier. Soit q ≥ p un entier.
(q!)p −1
1. Montrer que tout diviseur de q!−1 est congru à 1 modulo p.
2. En déduire qu'il existe une innité de nombres premiers congrus
Exercice 20 :
−3
1. Fixons p
tels que
(a)
x7 −1
x−1 est congru à 0 ou
à 1 modulo
p.
Nous voulons déterminer par deux méthodes diérentes les nombres premiers
est un carré modulo
un nombre premier. On considère
Montrer que
premutations de
f est
E?
p
p.
f : E → E, x 7→ 1 − x−1 .
l'ordre de f dans le groupe des
E = Z/pZ \ {0, 1}
une permutation bien dénie. Quel est
et
(b) En déduire que le nombre de points xes de f est congru à p − 2 modulo 3.
(c) Déterminer le nombre de solutions de x2 − x + 1 = 0 dans Z/pZ.
(d) Conclure.
2. Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 3.
p−1
(a) Montrer qu'il existe un entier a non multiple de p tel que a 3 n'est pas congru
à 1 modulo
p.
(b) En déduire l'existe d'un entier b tel que b2 + b + 1 ≡ 0 mod p.
(c) Déduire que −3 est un carré modulo p.
(d) Conclure.
16.3
Algèbre non linéaire
Exercice 1 :
Les anneaux
Exercice 2 :
Soit
G
R[X, Y ], Z[X], Z/23Z[X], Z/4Z[X]
un groupe ni d'ordre
n > 1.
sont-ils principaux ?
Montrer que |AutG|
≤ nlog2 n .
Exercice 3 : Fixons m ∈ N∗
de
GLk (C)
isomorphe à
et n ∈ N−{0, 1}. Pour quelles valeurs de k existe-t'il un sous-groupe
(Z/nZ)m ?
Exercice 4 :
Montrer que
Exercice 5 :
Le groupe
Exercice 6 :
Soient
p
si, et seulement si,
Z[j]
est un anneau principal.
(Z/2n Z)×
est-il cyclique ? Quelle est sa structure ?
p un nombre premier
a(p+1)/2 ≡ a mod p.
impair et
2
a ∈ Z.
Montrer que
a
est un carré modulo
Exercice 7 :
Soit
Exercice 8 :
Quels sont les morphismes de groupes
Exercice 9 :
Quels sont les sous-groupes de
| · | : K → R+ est une valeur absolue si, pour tout
x ∈ K , |x| = 0 si, et seulement si, x = 0, et pour tous x, y ∈ K , |xy| = |x||y| et |x + y| ≤ |x| + |y|.
On dit que | · | est ultramétrique si pour tous x, y ∈ K , |x + y| ≤ max(|x|, |y|).
1. Montrer que | · | est ultramétrique si, et seulement si, pour tout n ∈ N, |n · 1| ≤ 1.
2. Quelles sont les valeurs absolues sur Q ?
Exercice 10 :
An+2
et de
K
un corps. On dit que
Sn
d'ordre
Montrer que tout groupe ni d'ordre
GLn (k)
Exercice 11 :
pour chaque corps
Soient
p, q
Sn → C× ?
n
n!
2 ?
est isomorphe à un sous-groupe de
Sn ,
de
k.
deux nombres premiers impairs tels que
q|2p − 1.
Montrer que
q≡1
mod 2p.
Exercice 12 :
Soit
k
un corps ni. Quelles sont les structures des groupes
Exercice 13 : Soit α ∈ C algébrique. Soit k un sous-corps de C.
1. Montrer que k[α] est un corps de dimension égale au degré du
k -espace vectoriel.
√
√
3
et Q[ 3]
2. Montrer que Q[
√ 2]√
3
On note K = Q[ 2][ 3].
(k, +)
et
(k × , ×) ?
polynôme minimal de
α
sur
k
comme
3.
À l'aide des questions 1 et 2, montrer que
de dimension 6.
4.
5.
sont des corps de dimensions 2 et 3 respectivement sur
K
est un corps qui, comme
√
√ √ √ √
(1, 2, 3 3, 3 9, 6 72, 6 648)
est
Montrer que l'ensemble des automorphismes du corps
K
En déduire que la famille
3
Q-libre.
Q
xant
Q-espace
Q.
vectoriel, est
est un groupe. L'identier.