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MATHS-LYCEE.FR
TS-exercice corrigé
Chapitre 1: Suites
Chapitre 1 : suite convergente-algorithme (BAC métropole septembre 2012)
EXERCICE 1-9-6
temps estimé:45mn
R
F
.
EE
1. On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
1
7
f (x) =
x+
2
x
Démontrer que la fonction f admet un minimum.
√
En déduire que pour tout entier naturel n, on aun ≥ 7.
C
Y
L
-
S
H
AT
* Solution:
.M
W
f est dérivable (somme de fonctions dérivables) sur ]0; +∞[.
1
7 1
f (x) = x + ×
2
2 x
1
7
−1
f 0 (x) = + × 2
2 2
x
1
7
= − 2
2 2x
7
x2
= 2− 2
2x
2x
x2 − 7
=
2x2
On a 2x2 > 0 donc f 0 (x) est du signe de x2 − 7.
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W
W
R
F
.
EE
C
-Etude du signe de x2 − 7
x2 − 7 = 0 ⇐⇒ x2 = 7 ⇐⇒ x =
√
or − 7 ∈
/ [0; +∞[
√
LY
S
√
7 ou x = − 7
H
AT
donc x2 − 7 est du signe de a coefficient de x2 à l’extérieur des racines.
.M
W
W
W
On a donc :
Chapitre 1: Suites
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L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (un ) définie sur N par
7
1
un +
u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 =
2
un
On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n, un > 0.
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donc le minimum de f est atteint pour x =
√
1
f ( 7) =
2
1
=
2
√
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EE
7
C
7
7+ √
7 !
√
√
7 7
7+ √ √
7 7
√ !
√
7 7
7+
7
√ √
7+ 7
√
×2 7
1
=
2
1
=
2
1
=
2
√
= 7
R
F
.
W
Y
L
-
S
H
AT
.M
W
W
1
7
Pour tout entier naturel n, on a un+1 =
un +
= f (un )
2
un
√
et pour tout x > 0 on a f (x) ≥ 7 et un ∈]0; +∞[ (énoncé)
√
donc pour tout entier naturel n donc un+1 ≥ 7
√
On a de plus u0 ≥ 7
donc pour tout entier naturel n, on a un ≥
√
EE
C
7
2.a) Soit n un entier naturel quelconque.
LY
S
H
AT
Étudier le signe de un+1 − un .
.M
* Solution:
un+1 − un =
=
=
=
=
On a un > 0
Chapitre 1: Suites
R
F
.
W
W
1
7
un +
− un
2
un
un
7
+
− un
2
2un
un
7
2un
+
−
2
2un
2
−un
7
+
2
2un
7 − u2n
2un
donc un+1 − un est du signe de 7 − u2n .
W
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√
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un ≥
√
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7 donc u2n ≥ 7 soit 7 − u2n ≤ 0
donc un+1 − un < 0
R
F
.
* Solution:
EE
Pour tout entier naturel n, on a un+1 − un < 0 soit (un ) décroissante
√
√
et un ≥ 7 donc (un ) est minorée par 7
C
Y
L
-
donc la suite (un ) est décroissante et minorée
S
H
donc (un ) est convergente.
AT
1
c) On déduit de la relation (?) que la limite ` de cette suite est telle que ` =
2
Déterminer `.
.M
W
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W
W
* Solution:
1
7
7
`=
`+
⇐⇒ 2` = ` + .
2
`
`
7
⇐⇒ 2` − ` = .
`
7
⇐⇒ ` = .
`
R
F
.
EE
⇐⇒ `2 = 7.
√
7
`+
.
`
C
√
7 ou ` = − 7.
Y
√L
On a u ≥ 7 donc la limite ` de la suite (u ) est ` S
= 7
H
√
lim u = 7
AT
.M √
√ u
−
7
1
3. Démontrer que pour tout entier naturelW
n, u
− 7=
.
2
u
W
W
* Solution:
⇐⇒ ` =
√
n
n→+∞
n
n
2
n
n+1
n
√
√
1
7
un+1 − 7 =
un +
− 7=
2
un
√ 2
√
1 un − 7
1 u2n − 2un 7 + 7
=
2
un
2
un
√
2
1 un 2un 7
=
−
+
2 un
un
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√
un
7
+
− 7
2
2un
7
un
!
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b) Pourquoi peut-on en déduire que la suite (un ) est convergente ?
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1
=
2
√
7
un − 2 7 +
un
un √
7
− 7+
2
2un
√
un
7
=
− 7
+
2un
2
√
1
7
=
un +
− 7
2
u
√ n
= un+1 − 7
=
EE
√ 2
1 un − 7
7=
2
un
C
Y
L
-
S
4. On définit la suite (dn ) par :
H
T
A
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier
.M naturel n, u
W
* Solution:
W
√
On note P la propriétéW
u − 7≤d
1
d0 = 1 et pour tout entier naturel n, dn+1 = d2n
2
n
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n
−
√
7 ≤ dn
n
n
-Initialisation
√
√
On a u0 = 3 et u0 − 7 = 3 − 7
√
d0 = 1 donc u0 − 7 ≤ d0 soit P0 vraie.
R
F
.
-Hérédité
EE
On suppose qu’il existe un entier naturel n tel que Pn est vraie
√
soit un − 7 ≤ dn
√
On veut montrer que Pn+1 est vraie soit un+1 − 7 ≤ dn+1
√ 2
√
1 un − 7
D’après la question précédente, on a un+1 − 7 =
2
un
√
√ 2
0 ≤ un − 7 ≤ dn donc 0 ≤ (un − 7) ≤ d2n
√
1
1
soit 0 ≤ (un − 7)2 ≤ d2n
2
2
√
1
1
De plus un ≥ 7 donc 0 <
≤ √ < 1.
un
7
√ 2 1 2
1
1
On a donc 0 ≤ (un − 7) ≤ dn et 0 <
<1
2
2
un
en multipliant membre à membre ces deux inégalités (ce qui est possible car ces nombres sont
C
LY
S
H
AT
.M
W
W
W
positifs)
√
1 (un − 7)2
1
on obtient 0 ≤
≤ d2n
2
un
2
√
1
soit un+1 − 7 ≤ dn+1 (on a dn+1 = d2n )
2
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un+1 −
√
R
F
.
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Chapitre 1: Suites
soit Pn+1 vraie.
On a montré par récurrence que la propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n
√
7 ≤ dn pour tout entier naturel n.
b) Voici un algorithme :
R
F
.
EE
C
Y
L
-
S
H
T
A 5.
En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre
M
Quelle inégalité peut-on en déduire pour d. ?
W √
Justifier que u est une valeur approchée de 7 à 10 près.
W
W
* Solution:
5
−9
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5
Avant l’entrée dans la boucle TANT QUE, on a d = d0 = 1 et n = 0.
A chaque passage dans la boucle TANT QUE, on calcule le terme suivant de la suite (dn ) soit
R
F
.
1 2
d
2 n
EE
et on ajoute 1 à l’indice n.
C
Le résultat affiché par l’algorithme est l’indice n donnant dn ≤ 10−9 puisqu’on entre dans la
LY
S
boucle TANT QUE si on a d > 10−9
H
AT
donc on a ici d5 ≤ 10−9.
√
On a pour tout entier naturel n, un − 7 ≤ dn
√
donc u5 − 7 ≤ d5 ≤ 10−9
√
donc la différence entre u5 et 7 est inférieure ou égale à 10−9
.M
donc
√
Chapitre 1: Suites
W
W
W
7 est une valeur approchée de u5 à 10−9 près.
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donc un −