nul suffit -52

Départements d’Informatique
Soutien en mathématiques
Séance 2
I - Quantificateurs :
1- Définitions :
- Le quantificateur universel, noté ∀ (=A à l’envers, A étant l’initiale de l’allemand
Alle)
∀x∈E, P(x) se lit « pour tout x appartenant à E , P(x) » ou « quel que soit x appartenant
à E , P(x) »
-
Le quantificateur existentiel, noté ∃ (=E retourné, E étant l’initiale de l’allemand
Existierien)
∃x∈E / P(x) se lit « il existe (au moins) un x appartenant à E tel que P(x) » ou « pour au
moins un x appartenant à E tel que P(x) »
Exercice : Compléter les tableaux suivants :
Tableau 1 :
Enoncé en langage formalisé
y= x 2
∃x∈IR / x 2 = y
∀y∈IR+ , y +1> 0
Phrase en français
∃x0∈IR / f '(x0 ) =0
Les solutions de l’équation cos x=0
L’entier n est un multiple de 3
L’entier n est carré
Les courbes des fonctions f et g ont un point
commun
Les nombres x1 , x2,..., xn étant des nombres réels
Tableau 2
En français
En langage formalisé
Les xi sont tous nuls
L’un des xi est nul
Les xi sont non tous nuls
Les xi sont tous non nuls
Tableau 3
En français
Les xi sont égaux
2 au moins parmi les xi sont égaux
2 au moins parmi les xi sont distincts
Les xi sont tous distincts
En langage formalisé
2- Négation des quantificateurs :
Enoncé
∀x∈E, P(x)
∃x∈E / P(x)
Négation de l’énoncé
Exercice : Compléter le tableau suivant :
Enoncé
En français
En langage formel
P
Tout réel possède un inverse
NONP
Exercice : Reprendre les tableaux 2 et 3 du 1- . Qui est la négation de qui ?
II- Implication, condition nécessaire, suffisante :
1- Implication :
Exercice : Hachurer la partie du plan {M(x, y)/ x≥0 ⇒ x≤ y}
2- Condition nécessaire, suffisante :
Exercice : Indiquer si c’est vrai ou faux
- Pour qu’un quadrilatère soit un parallèlogramme, il faut qu’il ait 3 angles droits
- Pour qu’un quadrilatère soit un parallèlogramme, il suffit qu’il ait 3 angles droits
- Une condition nécessaire pour qu’un quadrilatère soit un carré est que ses diagonales
soient perpendiculaires
-
Une condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un carré est que ses diagonales
soient perpendiculaires
Exercice : Compléter :
- Pour qu’un quadrilatère soit un carré, il ………..que se diagonales soient de même
longueur
- Pour qu’un quadrilatère soit un ………..…, il faut et il suffit qu’il ait trois angles
droits
- Pour qu’un quadrilatère soit un ……..……, il faut et il suffit que ses diagonales se
coupent en leur milieu
- Pour qu’un parallèlogramme soit un ……………, il faut et il suffit que ses diagonales
soient perpendiculaires
- Pour qu’un parallèlogramme soit un ……………, il faut et il suffit que ses diagonales
soient de même longueur.
En résumé :
- Pour que A il faut B (ou « une condition nécessaire pour que A est B ») signifie
…. ⇒ …..
- Pour que A il suffit B (ou « une condition suffisante pour que A est B ») signifie
…. ⇒ …..
3- Réciproque, négation, contraposée
Exercice : Compléter :
- La réciproque de P⇒Q est :
- La négation de P⇒Q est :
- La contraposée de P⇒Q est :
III- Raisonnement par récurrence :
1. Exercice 1 :
= un +1 pour tout naturel n .
un +3
a- Démontrer par récurrence que pour tout n , un ≥0
b- Démontrer par récurrence que pour tout n , un ≤1
c- Démontrer par récurrence que la suite (un ) est décroissante
(u ) est la suite définie par u =1 et u
n
0
n +1
2. Exercice 2:
(un ) est la suite définie par u 0 = 7 et u n+1 = 10u n − 18 pour tout naturel n .
a- Calculer : u1 ,u2,u3,u4
b- Conjecturer une expression de un en fonction de n
c- Démontrer cette conjecture par récurrence.
3. Dérivées successives :
Rappel : f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Sa fonction dérivée f ' est appelée fonction dérivée première (ou d’ordre 1) de f . On la note
parfois f (1)
Lorsque f ' est dérivable sur I, sa fonction dérivée est notée f '' (ou parfois f (2) ). f '' est
appelée fonction dérivée seconde (ou d’ordre 2) de f .
Par itération, pour tout naturel n≥2 , on définit la fonction dérivée nième (ou d’ordre n) de
f comme étant la dérivée de fonction dérivée d’ordre n−1 .
f (1) = f ' et pour tout naturel n≥2 , f (n) =(f (n −1) )'
Exercice 3 : f est la fonction définie sur IR* par f(x)= 1
x
a- Donner les fonctions : f ', f '', f (3), f (4) .
b- Conjecturer une formule donnant la fonction f (n) .
c- Démontrer cette formule à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
4. Binôme de Newton
Exercice 4:
a- Rappeler la formule du binôme de Newton
b- Démontrer cette formule à l’aide d’un raisonnement par récurrence