Démontrer et calculer en géométrie plane Utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque o Théorème de Pythagore C Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : BC2 = AB2 + AC2. B A Exemple : Dans un triangle ABC rectangle en A, on a AB = 5 cm et AC = 6 cm. Que vaut BC (au mm près) ? D’après le théorème de Pythagore, on a BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 62 = 61, puis BC = o 7,8 cm. Réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle ABC, si on a BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle est rectangle en A et le segment [BC] est l’hypoténuse de ce triangle rectangle. Exemple : Un maçon veut vérifier que deux murs sont bien perpendiculaires. Pour cela, il marque un point A sur le premier mur à 60 cm du point O (intersection des deux murs) et un point B sur le deuxième mur à 80 cm du point O. Il mesure alors la distance AB et il trouve 1 mètre. Prouver que les murs sont bien perpendiculaires. AB = 1 m = 100 cm donc AB2 = 1002 = 10 000 et OA2 + OB2 = 602 + 802 = 3 600 + 6 400 = 10 000. Dans le triangle OAB, on a AB2 = OA2 + OB2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O, donc les deux murs sont bien perpendiculaires. Utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque o Théorème de Thalès Soit A, M et B trois points alignés et A, N et C trois autres points alignés dans le même ordre. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a : . C C Deux configurations possibles : B N B M A M A N Exemple : Soit ABC un triangle et deux points M [AB] et N [AC] tels que (MN) et (BC) sont parallèles. On a AM = 3,5 cm, AB = 5 cm et AC = 4 cm. Que vaut AN ? On peut appliquer le théorème de Thalès et on a : On a donc , puis 3,5×4 = 5×AN et AN = . = 2,8 cm. o Réciproque du théorème de Thalès Soit A, M et B trois points alignés et A, N et C trois autres points alignés dans le même ordre. Si on a l’égalité , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Utiliser la trigonométrie pour calculer une longueur ou un angle Dans le triangle ABC rectangle en A : cos(ABC) " côté adjacent à ABC " AB hypoténuse BC sin(ABC) " côté opposé à ABC " AC hypoténuse BC tan(ABC) " côté opposé à ABC " AC " côté adjacent à ABC " AB Propriétés : Dans le triangle ABC rectangle en A : tan( )= si cos( 0 cos( ) 1; 0 sin( ) 1; ) 0; Exemple : Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle est déroulée au maximum et, tendue, elle mesure 50m. C S : position de Simon ; C : position du cerf-volant ; SC = 50m. S H a) La ficelle fait avec l’horizontale un angle qui mesure 80°. Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c’est-à-dire CH (arrondir au mètre près). b) Lorsque la ficelle fait avec l’horizontale un angle de 40°, la distance CH est-elle la moitié de celle calculée à la première question ? Justifier la réponse. a) Dans le triangle CSH rectangle en H : sin( b) sin( )= )= donc sin 80° = donc sin 40° = puis CH = 50×sin 80° 49 m. et CH = 50×sin 40° 32 m. Si la ficelle fait avec l’horizontale un angle de 40°, la distance CH n’est pas la moitié de la première distance CH calculée à la première question.