TD M7 : Eléments de dynamique d`un solide et d`un système

Mécanique – Deuxième partie
TD M7 : Eléments de dynamique d’un solide et d’un système
déformable
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Mécanique – Deuxième partie
TD M7 : Eléments de dynamique d’un solide et d’un système
déformable
But du chapitre
•
•
Etendre les résultats de dynamique et d’énergétique concernant les points matériels à des
systèmes formés d’un nombre quelconque de points.
Etudier le mouvement d'un solide en rotation autour d’un axe.
Plan prévisionnel du chapitre
I – Solide et système déformable
•
Distinguer un solide d’un système déformable.
II – Rappels de la cinématique du solide vue dans le chapitre M1
1°) Translation d’un solide
•
Reconnaitre et décrire une translation rectiligne, une translation circulaire.
2°) Rotation d’un solide autour d’un axe fixe
•
Dans le cas d’une rotation autour d’un axe fixe, décrire la trajectoire d’un point quelconque
d’un solide et exprimer sa vitesse en fonction de sa distance à l’axe et de la vitesse
angulaire.
III – Loi de la quantité de mouvement
1°) Quantité de mouvement d’un système
•
Savoir que la quantité de mouvement d’un système de masse m et de centre d’inertie G en
mouvement dans le référentiel R s’écrit p/ R = mv(G ) / R .
2°) Loi de la quantité de mouvement
•
Savoir que l’application de la loi de la quantité de mouvement à un système non ponctuel
permet de prévoir uniquement le mouvement du centre d’inertie G du système.
IV – Loi du moment cinétique
1°) Moment cinétique d’un système
•
•
•
•
•
•
•
Ecrire le moment cinétique par rapport à un point A d’un système de n points matériels Mi.
Ecrire le moment cinétique par rapport à un axe orienté d’un système de n points matériels
Mi .
Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe, exprimer le moment d’inertie J ∆ du
solide par rapport à l’axe ∆.
Relier qualitativement le moment d’inertie à la répartition des masses.
Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe, exprimer le moment cinétique scalaire
L∆ du solide en fonction de J ∆ et de la vitesse angulaire de rotation ω du solide autour de
l’axe ∆.
Maitriser le caractère algébrique du moment cinétique scalaire.
Exploiter la relation pour le solide entre le moment cinétique scalaire, la vitesse angulaire de
rotation et le moment d’inertie fourni.
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Mécanique – Deuxième partie
Raisonnement du cours n°1 : On considére un solide en rotation à la
vitesse angulaire ω ( t ) autour de l’axe ∆ = ( A,u∆ ) . Chaque point
Mi (masse mi) du solide a une trajectoire circulaire, parcourue à la
vitesse angulaire ω . On note Hi étant le projeté orthogonal de Mi sur
l’axe ∆ , ri = Hi Mi la distance du point Mi à l’axe ∆ , et on utilise
la base cylindrique ( ur , uθ , u∆ ) .
1°) Exprimer le vecteur vitesse vi et le vecteur position AM i du point
Mi (ri; zi) dans la base cylindrique ( ur , uθ , u∆ ) .
2°) Exprimer le moment cinétique du point Mi par rapport à A
LA ( M i ) .
3°) Exprimer le moment cinétique du point Mi par rapport à l'axe ∆ L ∆ ( M i ) .
4°) Exprimer le moment cinétique du solide par rapport à l'axe ∆ L∆ .
On peut écrire L∆ = J ∆ω où J ∆ est le moment d'inertie du solide.
5°) Quelle est la dimension de J ∆ ? Quelle est son unité dans le système international d'unités ?
6°) Exprimer J ∆ .
2°) Moment des forces qui s’exercent sur un système
•
•
•
•
Calculer le moment d’une force par rapport à un axe orienté en utilisant le bars de levier.
Définir un couple.
Définir une liaison pivot et justifier le moment qu’elle peut produire.
Savoir qu’un moteur ou un frein contient nécessairement un stator pour qu’un couple puisse
s’exercer sur le rotor.
3°) Loi vectorielle
•
Enoncer la loi du moment cinétique par rapport à un point fixe A dans le cas d’un système
fermé non ponctuel.
4°) Loi scalaire
•
Enoncer la loi du moment cinétique par rapport à axe orienté fixe dans le cas d’un système
fermé non ponctuel.
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5°) Application à un solide en rotation autour d’un axe fixe
•
Ecrire la loi du moment cinétique par rapport à axe orienté fixe dans le cas d’un solide en
rotation autour d’un axe fixe.
6°) Application au pendule pesant
•
•
•
•
Établir l’équation du mouvement.
Expliquer l’analogie avec l’équation de l’oscillateur harmonique.
Établir une intégrale première du mouvement.
Lire et interpréter le portrait de phase : bifurcation entre un mouvement pendulaire et un
mouvement révolutif.
• Approche numérique : utiliser les résultats fournis par un logiciel de résolution numérique
ou des simulations pour mettre en évidence le non isochronisme des oscillations.
Raisonnement du cours n°2 : Un exemple simple de solide en pivot
parfait est le pendule pesant. Il s’agit d’un solide, pouvant osciller
librement autour d’un axe horizontal ∆ .
Sa position est repérée par l’angle θ entre la verticale et le vecteur
OG .
Imaginons qu’initialement le solide soit lâché sans vitesse initiale
avec un angle θ0 . Il va alors effectuer des oscillations autour de la
position θ = 0 . Nous allons mettre en œuvre les notions étudiées
précédemment.
1°) Exprimer les moments des actions qui s'exercent sur le solide par rapport à l'axe ∆.
( )
Rappel important : Le signe de M∆ F
correspond au sens dans lequel F tend à faire tourner
M autour de ( ∆, e∆ ) . M∆ ( F ) > 0 si F a tendance à faire tourner M dans le sens direct
( )
autour de l’axe. M∆ F < 0 si F a tendance à faire tourner M dans le sens indirect autour de
( )
l’axe. Si M∆ F = 0 , la force n’a pas tendance à faire tourner M autour de ∆ . Dans ce cas,
F est soit parallèle à l’axe, soit dirigée vers celui-ci.
2°) Établir l’équation du mouvement.
3°) Expliquer l’analogie avec l’équation de l’oscillateur harmonique.
Une résolution numérique de l'équation du mouvement pour différentes vitesses angulaires initiales
a permis de tracer les courbes suivantes :
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.
4°) Commenter les courbes tracées ci-dessus en vous interessant en particulier à l'isochronisme des
oscillations et à la courbe grise.
Une résolution numérique de l'équation du mouvement pour différentes vitesses angulaires initiales
a permis de tracer le portrait de phase du pendule pesant
(1)
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5°) Identifier les trajectoires de phase qui correspondent à un mouvement révolutif et celles qui
correspondent à un mouvement oscillant. Identifier la trajectoire de phase qui correspond à la
transition entre ces deux mouvements.
6°) Identifier les positions d'équilibre stable.
7°) Commenter la trajectoire de phase 1. Comparer alors l'énergie mécanique et l'énergie potentielle
maximale du pendule pesant.
7°) Application au pendule de torsion
•
•
•
Établir l’équation du mouvement.
Expliquer l’analogie avec l’équation de l’oscillateur harmonique.
Établir une intégrale première du mouvement.
Raisonnement du cours n°3 : On considère un objet suspendu à une ficelle. On fait tourner l’objet
autour de l’axe du fil de manière à « tordre » celui-ci et on le lâche sans vitesse initiale. L’objet se
met alors à tourner. L’action exercée par le fil sur l’objet est un exemple de couple de torsion.1
L’action du fil sur l’objet est plus complexe. D’une part, sa résultante s’oppose au poids et
l’empêche de tomber. Le moment de cette résultante est nulle. D’autre part, elle exerce un couple de
torsion Γ∆ = −C θ qui tend à faire tourner l’objet en sens inverse de la torsion. C est appelée
constante de torsion.
1°) Donner l’expression du moment du poids par rapport à l'axe ∆.
2°) Établir l’équation du mouvement.
3°) Expliquer l’analogie avec l’équation de l’oscillateur harmonique.
4°) Établir une intégrale première du mouvement. Que traduit cette équation ?
5°) De quelle énergie potentielle dérive le couple de torsion.
1
L’étymologie est claire : ce couple est lié au fait que la ficelle a été tordue.
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IV - Loi de l’énergie cinétique
1°) Energie cinétique d’un système
•
Ecrire l’énergie cinétique d’un ensemble de n points matériels Mi.
• Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, utiliser la relation
1
E c = J ∆ω 2 , l’expression de J ∆ étant fournie.
2
Raisonnement du cours n°4 : On considère un solide en rotation à la vitesse angulaire ω.
1°) Exprimer la vitesse vi d'un point Mi (de masse mi)se trouvant à la distance ri de l'axe de rotation.
2°) Exprimer l'énergie cinétique du solide en fonction de ri, mi et ω puis de J ∆ et de ω.
2°) Loi de la puissance cinétique
•
Enoncer la loi de la puissance cinétique dans le cas d’un système non ponctuel.
3°) Loi de l’énergie cinétique
•
Enoncer la loi de l’énergie cinétique dans le cas d’un système non ponctuel.
4°) Cas d’un solide en rotation autour d’un axe fix e : le travail des forces
intérieures est nul
•
•
Enoncer les deux lois précédentes, dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe.
Établir l’équivalence dans ce cas entre la loi scalaire du moment cinétique et celle de
l’énergie cinétique.
Raisonnement du cours n°5 : On considère un solide en rotation à la vitesse angulaire ω autour
d’un axe fixe ∆.
1°) Exprimer la puissance P d’une action de moment scalaire M ∆ .
2°) Exprimer la puissance des actions intérieures à un solide.
3°) Énoncer la loi de la puissance cinétique pour le solide.
4°) Énoncer la loi de l’énergie cinétique pour le solide.
5°) Établir l’équivalence entre la loi scalaire du moment cinétique et celle de l’énergie cinétique.
5°) Cas d’un système déformable : le travail des fo rces intérieures n’est pas
nul
•
Savoir que dans le cas d’un système déformable, le travail des forces intérieures n’est pas
nul.
Raisonnement du cours n°6 : Un tabouret d’inertie est un siège qui peut tourner sans frottement
autour d’un axe vertical ∆ . On modélise la liaison par un pivot
parfait.
Le système étudié est {partie mobile du tabouret d’inertie,
personne}
1°) Faire la liste des actions mécaniques qui s'exercent sur le
système. Que peut-on dire des moments de ces actions par
rapport à l' axe vertical ∆ ?
2°) Montrer que le moment cinétique du système par rapport à
l'axe vertical ∆ se conserve.
Dans l’état 1, où les haltères sont proches du corps, et dans l’état
2, où les haltères sont portés à bout de bras, le système est
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assimilable à un solide. Par contre, entre l’état 1 et l’état 2, le système se déforme et n’est donc pas
assimilable à un solide.
On note J k le moment d’inertie dans l’état k , et ωk la vitesse angulaire correspondante.
3°) Ecrire la conservation du moment cinétique du système par rapport à l'axe vertical ∆ entre ces
deux états. Justifier J2 > J1 puis que ω2 < ω1.
4°) Exprimer la variation de l'énergie cinétique entre l'état 1 et l'état 2 : ∆Ec = Ec (état 2) − Ec (état1)
en fonction de J2, J1, ω2, ω1 puis en fonction de J2, J1, ω1.
5°) Calculer le travail du poids entre l'état 1 et l'état 2.
6°) Quelle est l'origine de la variation d'énergie cinétique ?
Exercices
Exercice 1 : Équilibre d’une barre
Une barre homogène de
longueur 2ℓ et de masse m
est posée en équilibre sur deux
rondins de bois, aux points A1
et A2 séparés d’une distance
3ℓ
.
2
Calculer les composantes verticales des réactions exercées en A1 et A2 par les rondins sur la barre.
Exercice 2 : Étude dynamique d’un
moteur
On s’intéresse au fonctionnement d’une machine
comportant une pièce tournante (par exemple
une perceuse). Le rotor, partie tournante du
moteur, entraine la partie tournante utile de la
machine grâce à un arbre de transmission. L’axe
de rotation est noté Ox . La vitesse angulaire de
rotation du rotor autour de Ox est notée ω ,
0.
avec ω
La partie fixe du moteur (stator) entraine le
rotor en exerçant sur lui un couple (souvent de
nature électromagnétique) dont la valeur en
projection sur Ox est Ms > 0 .
On note Mu < 0 le couple exercé par la partie
utile tournante sur le rotor.
Souvent, l’ensemble est plongé dans un fluide
visqueux (huile) dont l’action sur le rotor se
ramène à un couple Mf = −αω . On suppose
que les actions de contact entre les différentes
pièces entre elles sont parfaites, de telle sorte que leur moment Mc projeté sur ux est nul (liaison
pivot parfaite). On note J le moment d’inertie du rotor autour de l’axe de rotation.
1.
Déterminer l’équation différentielle satisfaite par ω ( t ) .
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2.
En supposant que les couples Ms et Mu sont à peu près constants dès la mise en rotation
du rotor, choisie comme instant initial, trouver l’évolution de ω ( t ) .
3.
En déduire la vitesse angulaire de fonctionnement en régime permanent. Dépend-elle des
frottements du fluide ? Ces derniers ont-ils une autre influence ? Que dire des valeurs relatives des
couples Ms et Mu ?
Exercice 3 : Vitesses limites
Dans un référentiel d’étude galiléen, un proton et un noyau d’hélium, assimilés à deux points
matériels P et H , de masses respectives m P et m H , et de charges respectives q P et q H , sont
initialement immobiles à une distance d l’un de l’autre. L’ensemble est supposé isolé du reste de
l’univers.
1.
Montrer que la quantité de mouvement p du système est nulle tout au long du mouvement.
2.
Exprimer l’énergie mécanique Em du système en fonction des vitesses v P et v H des
particules et de la distance r qui les sépare à un instant quelconque.
3.
Montrer que l’énergie mécanique est constante.
4.
Exprimer les vitesses limites v Pℓ et v Hℓ vers lesquelles tendent les vitesses des particules.
Données : m P = 1, 67 × 10−27 kg ; q P = e = 1, 60 × 10−19 C ; d = 1 pm ; m H = 4m P ;
q H = 2e ; ε0 = 8, 85 × 10−12 F m−1 .
Exercice 4 : Effondrement du Soleil
On pense qu’à la fin de sa « vie » actuelle, dans environ cinq milliards d’année, le Soleil
s’effondrera en une naine blanche, un astre à très forte densité concentrant la masse du Soleil sur
une boule de rayon équivalent au rayon terrestre.
1.
Montrer que le moment cinétique scalaire du Soleil par rapport à son axe de rotation reste
constant au cours de cet effondrement.
2.
Évaluer les moments cinétiques scalaires du Soleil, ainsi que de la naine blanche, en
fonction de leur masse commune m = 2 × 1030 kg , de leurs périodes de rotation Ts ≈ 1 mois et
Tnb , et des rayons solaire Rs = 7 × 105 km et terrestre Rt = 6, 4 × 103 km . Le moment
d’inertie d’une boule homogène de masse m et de rayon R par rapport à un axe passant par son
2
centre est J = mR 2 .
5
3.
En déduire la période de rotation de la naine blanche.
Exercice 5 : Collision de deux vaisseaux spatiaux
Deux vaisseaux spatiaux de même masse m possèdent
initialement des vecteurs-vitesse opposés ±v0 . Les vaisseaux
rentrent en collision et s’encastrent l’un dans l’autre.
1.
Quelle est leur vitesse finale ?
2.
Calculer le travail des actions intérieures lors du choc.
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Exercice 6 : Mesure du champ de pesanteur
Une tige métallique homogène (masse m , longueur ℓ , moment d’inertie
1 2
m ℓ ) est en pivot parfait autour de Oy . Elle subit un couple de torsion
3
2C
C = −C θ , où θ est l’angle entre la tige et la verticale. On pose η =
.
mg ℓ
Jy =
1.
Établir l’équation du mouvement de la tige.
2.
Écrire l’équation à laquelle obéissent les positions d’équilibres.
3.
Simplifier l’équation du mouvement pour de petits mouvements à
proximité de θ = 0 .
4.
À quelle condition la position d’équilibre θ = 0 est-elle stable ?
5.
Dans ce cas, exprimer le champ de pesanteur g en fonction de la période
T des petites oscillations.
Exercice 7 : Machine d’Atwood
Une poulie sans masse est attachée au plafond par une tige. Cette poulie tourne sans frottement
autour de son axe. Un fil inextensible et souple, de masse négligeable, attaché à ses deux bouts à
deux masses m1 et m2 , coulisse sans glisser sur cette poulie.
1.
Montrer que la poulie transmet les tensions, c’est-à-dire que les forces exercées par le fil sur
chacune des deux masses sont identiques. On pourra appliquer le théorème du moment cinétique
scalaire au système {poulie, fil}.
2.
En déduire les accélérations des deux masses. Commenter le résultat.
Exercice 8 : Nature de la gravitation (Mines-Ponts MP 2015)
Un aspect fondamental de la gravitation est le principe d'équivalence. Introduit par
GALILÉE au début du XVIIe siècle alors qu'il étudiait la chute des corps, il fut le point de
départ du développement de la théorie de la gravitation. Un peu moins d'un siècle plus
tard. NEWTON fut le premier à décrire l'interaction gravitationnelle par une formule. Il en
déduisit
la
version
la
plus
élémentaire
du
« principe
d'équivalence faible » : la trajectoire d'un corps tombant en chute libre ne dépend ni de sa
structure, ni de sa composition.
Si l'on sait aujourd'hui que la gravitation régit la dynamique des composantes de l'Univers
(planètes, étoiles, galaxies, ...), l'observation récente de l'expansion de l'Univers a conduit à
se poser des questions fondamentales sur les théories de la gravitation classique.
L'introduction dans la théorie cosmologique de l'énergie noire, qui serait la contribution
énergétique
majoritaire
de
l'Univers,
permet
d'expliquer
certaines observations mais sa nature et ses propriétés restent principalement théoriques.
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Certaines extensions de la théorie de la gravitation suggèrent même l'existence d'une
répulsion gravitationnelle entre matière et antimatière, nommée antigravité.
Le problème propose une description de l'expérience d'EÔTVÔS ayant permis, dès la fin
du XIXe siècle, de valider une version réduite du principe d'équivalence avec une grande
précision pour l'époque.
Q 1 — Qu'appelle-t-on « principe d'inertie » en mécanique ? Énoncer le principe
fondamental de la mécanique dans un référentiel galiléen. La grandeur caractéristique du
mobile étudié dans cette expression porte, ici et dans la suite, le nom de masse inerte mi.
Q 2 - Expliciter la force de gravitation entre deux points matériels. On introduira le
paramétrage nécessaire sur un schéma. La grandeur caractéristique du mobile intervenant
dans cette expression porte le nom de masse grave ou masse pesante.
Quantifier les déviations possibles au principe d'équivalence faible suppose que l'on puisse
considérer les masses inertielle et grave (ou pesante) m comme pouvant être différentes.
Les premières mesures précises des écarts relatifs entre masses inertielle et grave, ont été
obtenues par comparaison des périodes de deux pendules simples de masse et de
composition différentes ; cette méthode, d'abord décrite par GALILÉE, a été menée par
NEWTON
(1686)
ou
encore
BESSEL
(1826)
et
a
conduit
à
des
valeurs d'écarts relatifs compris entre 10-3 et 10-5. L'invention du pendule de torsion par
EÔTVÔS autour de 1888, permit d'augmenter fortement la sensibilité.
L'expérience d'EÔTVÔS utilise un pendule de torsion. Dans le dispositif simplifié,
représenté sur la figure suivante, deux sphères appelées S1 et S2, homogènes de nature
différente et de même masse pesante m ont leurs centres d'inertie placés aux extrémités
d'une
barre
rigide,
de
masse
M
et
de
longueur
2L, suspendue en son centre à un fil de quartz très fin, de constante de torsion C. On note
mi1 et mi2 les masses inertielles respectives de S1 et de S2. La barre est libre de tourner
autour de l'axe Oz en tordant plus ou moins le ruban de suspension. On suppose que la
barre reste tout le temps de l'expérience dans le plan orthogonal à l'axe Oz.
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Le dispositif est placé de sorte qu'à l'équilibre, la barre soit normale au plan méridien à la
latitude λ. Sa position est alors repérée par réflexion d'un faisceau lumineux sur un miroir
plan, fixé au milieu de la barre, à l'aide d'une lunette. On note R le référentiel du
laboratoire centré sur O et supposé galiléen dans ce problème
où l'objectif est la
détermination de la constante de torsion C du pendule.
On note Jo le moment d'inertie de la barre par rapport à l'axe vertical (Oz) et J le moment
d'inertie du système S = {barre + sphères} par rapport à (Oz). On repère la position de la
barre
à
l'instant
t
par
l'angle
de
torsion
On
θ(t).
fait
tourner
le
système d'un angle θm puis on le lâche sans vitesse initiale. Le fil exerce alors sur la barre
un
couple
de
rappel
dont
le
moment
en
O
a
pour
intensité
M0 = - C(θ(t) - θ0) , l'angle θ0 repère la position de la barre en l'absence de torsion.
1
Q 3 - Montrer que ce couple dérive de l’énergie potentielle
C(θ(t) - θ0)2. Déterminer
2
l'énergie cinétique Ec,S du solide S. En déduire l'expression de l'énergie mécanique de S en
dθ
fonction de C. J, θ, θ0 et θɺ =
.
dt
Q 4 - On fait l'hypothèse que la puissance totale des forces de frottement peut se mettre
sous la forme Pfrot = −αθɺ 2 où α est une constante positive. Etablir l'équation différentielle
vérifiée par θ(t).
Q 5 - On observe des oscillations très faiblement amorties. Quelle est la condition satisfaite
par les constantes J, C et α ? Préciser la forme de la solution sans déterminer l'expression
exacte des deux constantes d'intégration. Quelle est la valeur θ∞ de θ(t) lorsque t → ∞ .
Exprimer la pseudo-période T du mouvement en fonction de la période propre T0 et de la
constante ε =
α
2 JC
l'approximation
≪ 1 . A quelle condition sur ε, l'erreur relative introduite par
T ≃ T0
est-elle
inférieure
à
1%
?
Cette condition sera supposée vérifiée par la suite.
On note J1 les moments d'inertie, considérés égaux, de chacune des deux sphères par
rapport à l'axe vertical passant par leurs centres respectifs. On admettra que si le principe
d'équivalence faible s'applique alors J = Jo + 2J1 + 2mL2. On mesure la période T des
oscillations pour différentes valeurs de la longueur L avec des sphères de masse pesante m
= 0,2 kg. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :
Q 6 — En utilisant les résultats précédents, écrire la relation entre T2, L2, J0, J1 et C. À
partir des résultats de mesure donner une estimation de la valeur de la constante de
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torsion C. Compte-tenu des ordres de grandeurs des différents termes intervenant dans
l'expression de T montrer que l'on peut écrire : m ≈
CT 2
8π 2 L2
Exercice 9 : Expérience de Cavendish
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Mécanique – Deuxième partie
Éléments de réponse
2m
m
g ; N2 = − g .
3
3
Ms + Mu
Ms + Mu
dω α
2 : 1.
+ ω=
. 2. ω ( t ) =
1 − e−t /τ ) . 3.
(
dt
J
J
α
Ms + Mu
ω∞ =
.
α
q q
1
1
3 : 1. p = 0 . 2. Em = m Hv H2 + m Pv P2 + H P .
2
2
4πε0r
1 : N1 = −
4. v Hℓ =
v Pℓ =
q Hq Pm P
= 2 × 105 m s−1 . 5.
2πε0dm H ( m H + m P )
mH
vHℓ = 8 × 105 m s−1 .
mP
4 : 1. L∆ = cste . 2. L∆ =
4πmRs2
4πmRt2
R2
=
. 3. Tnb = t Ts = 2 × 102 s .
5Ts
5Tnb
Rs2
5 : 1. v f = 0 . 2. Wint = −mv02 .
3g
3C
3g
6 : 1. θɺɺ +
θ − sin θ = 0 . 2. ηθe = sin θe . 3. θɺɺ + ( η − 1 ) θ = 0 . 4. η > 1 .
2ℓ
2ℓ
m ℓ2
2
m − m2
m − m1
8π ℓ
5. g =
.7 :
1. T1 = T2 . 2. a1 = 1
; a2 = 2
g
g.
m1 + m2
m1 + m2
3 ( η − 1 )T 2
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