Les nombres complexes

Les nombres complexes
Forme algébrique
Partie réelle, partie imaginaire
La forme algébrique d’un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels.
Si z = a + ib où a ∈ R et b ∈ R, a est la partie réelle de z, notée Re(z), et b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
La partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe sont des nombres réels.
 La partie imaginaire de 3 + 2i est 2 et n’est pas 2i.
Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.
Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle.
Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires.
Pour tous RÉELS a et b, a + ib = 0 ⇔ a = b = 0.
Pour tous RÉELS a, a′ , b et b′ , a + ib = a′ + ib′ ⇔ a = a′ et b = b′ .
Opérations dans C.
On calcule dans C comme on calcule dans R.
Addition des complexes. Pour tous réels a, b, a′ et b′ , (a + ib) + (a′ + ib′ ) = (a + a′ ) + i(b + b′ ).
Multiplication des complexes. Pour tous réels a, b, a′ et b′ , (a + ib) × (a′ + ib′ ) = (aa′ − bb′ ) + i(ab′ + ba′ ).
En particulier, i2 = −1.
1
a − ib
Inverse d’un complexe non nul. Pour tous réels a et b tels que a + ib ≠ 0,
= 2 2.
a + ib a + b
On obtient l’inverse d’un nombre complexe non nul a + ib (où a et b sont des réels) en multipliant le numérateur et le
1
par a − ib qui est le conjugué du dénominateur.
dénominateur de la fraction
a + ib
Conjugué
Soit z ∈ C. On pose z = a + ib où a et b sont deux réels. Le conjugué de z est z = a − ib.
Pour tout nombre complexe z, z est réel si et seulement si z = z.
Pour tout nombre complexe z, z est imaginaire pur si et seulement si z = −z.
Propriétés de calculs. « Le conjugué marche bien avec tout » :
Pour tous nombres complexes z et z ′ , z + z ′ = z + z ′ .
Pour tous nombres complexes z et z ′ , z × z ′ = z × z ′ .
Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, z n = z n .
1
1
Pour tout nombre complexe non nul z, ( ) = .
z
z
z
z
Pour tout nombre complexe z et tout nombre complexe non nul z ′ , ( ′ ) = ′ .
z
z
1 − 2i − z
1 + 2i − z
+ eiθ (1 + ix)2 (3 − 2i)) =
+ e−iθ (1 − ix)2 (3 + 2i).
2
(1 + iz)
(1 − iz)2
 Attention, le conjugué de z n’est pas −z mais est z.
Exemple. Pour x réel et z complexe, (
Module
Soit z ∈ C. On pose z = a + ib où a et b sont deux réels. Le module de z est ∣z∣ =
√
a2 + b 2 .
Pour tout nombre complexe z = a + ib, a et b réels, zz = ∣z∣2 = a2 + b2 .
1
z
z
Pour tout nombre complexe non nul z, =
.
=
z z × z ∣z∣2
Propriétés de calculs. « Le module marche bien avec la multiplication » :
© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
1
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Pour tous nombres complexes z et z ′ , ∣z × z ′ ∣ = ∣z∣ × ∣z ′ ∣.
Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, ∣z n ∣ = ∣z∣n .
1
1
Pour tout nombre complexe non nul z, ∣ ∣ = .
z
∣z∣
z
∣z∣
Pour tout nombre complexe z et tout nombre complexe non nul z ′ , ∣ ′ ∣ = ′ .
z
∣z ∣
« Le module ne marche pas bien avec l’addition » :
Pour tous nombres complexes z et z ′ , ∣z + z ′ ∣ ⩽ ∣z∣ + ∣z ′ ∣ (inégalité triangulaire).
L’équation du second degré dans C à coefficients réels
Soient a, b et c trois nombres réels tels que a ≠ 0. On pose ∆ = b2 − 4ac et on note δ un nombre complexe tel que
δ 2 = ∆.
On note (E) l’équation az 2 + bz + c = 0, équation d’inconnue complexe z. Dans tous les cas, (E) admet deux solutions
complexes :
z1 =
−b + δ
−b − δ
et z2 =
.
2a
2a
Plus précisément,
Si ∆ > 0,
(E) admet deux solutions réelles distinctes :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
z1 =
et z2 =
.
2a
2a
Si ∆ = 0,
(E) admet une solution réelle double
(ou encore deux solutions confondues) :
b
z1 = z2 = − .
2a
Si ∆ < 0,
(E) admet deux solutions non réelles
conjuguées :
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
z1 =
et z2 =
.
2a
2a
Interprétation géométrique
Affixe d’un point, affixe d’un vecteur. Image ponctuelle, image vectorielle
d’un nombre complexe
+
y
M (z)
→
→
→
Si Ð
u est le vecteur de coordonnées (x, y), l’affixe de Ð
u est le nombre zÐ
u = x + iy.
x
Si z = x + iy où x et y sont deux réels alors
O
Ð
→
u
x
Si M est le point de coordonnées (x, y), l’affixe de M est le nombre zM = x + iy.
y
- l’image ponctuelle de z est le point M (x, y)
→
- l’image vectorielle de z est le vecteur Ð
u (x, y)
+
M4 (−z)
+
Opposé, conjugué d’un nombre complexe
M1 (z)
Le point M2 d’affixe z est le symétrique par rapport à (Ox) du point M1 d’affixe z.
+
M3 (−z)
+
Le point M3 d’affixe −z est le symétrique par rapport à O du point M1 d’affixe z.
M2 (z)
Le point M4 d’affixe −z est le symétrique par rapport à (Oy) du point M1 d’affixe z.
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Addition dans C
Différence de complexes
z + z′
B(zB )
La différence de deux
complexes est l’affixe
d’un vecteur.
+
z′
zÐ→
= zB − zA .
AB
zB − zA
Ð→
AB
′
→u
Ð
→u +
Ð
Ð
u→′
A(zA )
+
Ð→
AB
Somme de complexes
z
La somme de deux
complexes est l’affixe
de la somme de deux
vecteurs.
→
Ð
u
O
→
→
→
→
zÐ
u +Ð
u ′ = zÐ
u + zÐ
u ′.
O
Multiplication d’un vecteur par un réel. Colinéarité de deux vecteurs
λz
→
Ð
λu
Si λ est un nombre réel,
→
→
zλÐ
u = λzÐ
u
z
→
Ð
u
Milieux. Barycentres
zA + zB
• Soient A et B deux points et I le milieu du segment [AB]. zI =
.
zA + zB + zC 2
• Soit ABC un triangle et G son centre de gravité. zG =
.
3
Module d’un nombre complexe
OM
z∣
=∣
M (z)
+
y
• A(xA , yA ), B(xB , yB ), zA = xA + iyA et zB = xB + iyB .
√
Ð→
AB = ∥AB∥ = ∣zB − zA ∣ = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .
• A, B, C et D sont quatre points d’affixes respectives a, b, c et d (b ≠ a).
x
−z
∣
B
+
AB
B
= ∣z
∣
A
+
O
• x et y sont deux réels, M (x, y) et z = zM = x + iy.
√
ÐÐ→
∣z∣ = OM = ∥OM ∥ = x2 + y 2 .
d−c
CD
∣=
.
b−a
AB
A
Forme trigonométrique
Argument d’un nombre complexe non nul
M (z)
b
Ð
→
v
O
arg(z)
Ð
→
u
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→
→
• Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, Ð
u ,Ð
v ).
z est un complexe non nul d’image ponctuelle notée M .
On appelle argument de z toute mesure en radian de l’angle
ÐÐ→
→
orienté (Ð
u , OM ).
ÐÐ→
→
arg(z) = (Ð
u , OM ) (2π).
• Si θ0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est
l’ensemble des réels de la forme θ0 + 2kπ, k ∈ Z.
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Détermination d’un argument. Si z est un complexe non nul, un argument de z est également un argument de
z
z
z
. Le nombre complexe
est de module 1 et il existe un réel θ tel que
= cos(θ) + i sin(θ). θ est un argument de
∣z∣
∣z∣
∣z∣
z.
√
√
3 1
5π
5π
5π
+ i) = arg (cos ( ) + i sin ( )) =
(2π).
Exemple. arg(− 3 + i) = arg (−
2
2
6
6
6
La notation eiθ
Le calcul (cos(θ) + i sin(θ))(cos(θ′ ) + i sin(θ′ )) = . . . = cos(θ + θ′ ) + i sin(θ + θ′ ) invite à poser
pour tout réel θ, eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
Formulaire.
Pour tous réels θ et θ′ ,
• ∣eiθ ∣ = 1.
• Re(eiθ ) = cos(θ), Im(eiθ ) = sin(θ).
′
′
• eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) .
1
• iθ = e−iθ = eiθ .
e
′
eiθ
• iθ′ = ei(θ−θ ) .
e
n
• Pour tout entier relatif n, (eiθ ) = einθ .
Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ ,
• arg(zz ′) = arg(z) + arg(z ′ ) (2π).
1
• arg ( ) = arg(z) = −arg(z) (2π).
z
z
• arg ( ′ ) = arg(z) − arg(z ′ ) (2π).
z
• Pour tout entier relatif n, arg(z n ) = n arg(z) (2π).
Forme trigonométrique (ou forme exponentielle) des nombres complexes
Tout nombre complexe non nul z s’écrit sous la forme z = reiθ où r est un réel strictement positif et θ est un réel.
Cette écriture est unique en ce sens que :
Pour tous réels strictement positifs r et r′ et tous réels θ et θ′ ,
′
′
reiθ = r′ eiθ ⇔ r = r′ et eiθ = eiθ .
Si z est un complexe non nul, l’écriture z = reiθ s’appelle la forme trigonométrique (ou la forme exponentielle) de z.
Forme trigonométrique d’un complexe non nul z : z = reiθ où r est le module de z et θ est un argument de z.
Le réel θ lui n’est pas unique :
Pour tous réels strictement positifs r et r′ et tous réels θ et θ′ ,
′
re = r′ eiθ ⇔ r = r′ et il existe un entier relatif k tel que θ′ = θ + 2kπ.
iθ
On trouve la forme trigonométrique de z en mettant le module de z en facteur. Par exemple
1−i=
√
√
√
1
1
π
π
2 ( √ − √ i) = 2 (cos (− ) + i sin (− )) = 2e−iπ/4 .
4
4
2
2
 Si r et θ sont des réels quelconques et si z = reiθ , la forme trigonométrique de z n’est pas toujours reiθ .
– si r > 0, la forme trigonométrique de z est reiθ ;
– si r < 0, la forme trigonométrique de z est −rei(θ+π) ;
– si r = 0, z = 0 et la forme trigonométrique de z n’existe pas.
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