Multiplication et division euclidienne dans N

Multiplication et
division euclidienne dans N
La multiplication : vocabulaire et propriétés
✔
La multiplication est une loi de composition interne dans l'ensemble N : quels que soient les deux entiers naturels a et b, il
existe un entier naturel c défini par :
c = a x b
✔
La multiplication est commutative : a x b = b x a
✔
La multiplication est associative : (a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c
✔
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un, au moins, des facteurs est nul.
Exemple :
Si l'on a (x – 2) (x – 3) = 0
D'où x = 2 ou x = 3
Alors soit x – 2 = 0
ou x – 3 = 0
La multiplication : multiples et diviseurs
✔
Les multiples :

Un nombre entier N est multiple d'un nombre n si et seulement si il existe un entier k tel que N = k x n

Un nombre entier n est un diviseur de N si et seulement si N est un multiple de n
Exemple : On sait que 24 = 6 x 4
On dit alors que 24 est un multiple de 6 ou encore que 24 est un multiple de 4
On dit aussi que 6 et 4 sont des diviseurs de 24

Les nombres 0 et 1 sont deux facteurs particuliers :
−
tout nombre est multiple de 1
−
1 est un diviseur de tout entier naturel
−
0 est un multiple de tout entier naturel : n x 0 = 0 x n = 0
−
0 n'est diviseur d'aucun nombre entier naturel n non nul. Il n'existe pas d'entier naturel k non nul pour lequel on ait
0xk=n

✔
Tout nombre entier naturel n on nul est multiple et diviseur de lui-même : pour tout entier naturel n, on a :
1 x n = n x 1 = n
Les diviseurs :

Les critères de divisibilité vont permettre de reconnaître assez facilement et rapidement si des nombres donnés sont
des multiples de certains nombres couramment rencontrés dans les calculs.

On dit qu'un entier b est divisible par un entier a non nul, si la division euclidienne de b par a tombe juste et donne un
reste égal à 0
Mathématiques – Multiplication et division euclidienne dans N
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
Divisibilité par 2 : si et seulement si, le nombre est pair (son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8)
Exemple : 3 582 est un nombre pair
donc c'est un multiple de 2 : 3 582 = 1 791 x 2
donc il est divisible par 2 : 3 582 = 1 791
2

Divisibilité par 3 : si et seulement si, la somme de ses chiffres est un multiple de 3
Exemple : 3 582 => 3 + 5 + 8 + 2 = 18
On sait que 18 = 3 x 6 et donc que 18 est un multiple de 3
Il en est donc de même pour 3 582, d'où 3 582 = 3 x 1 194

Divisibilité par 4 : si et seulement si, le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même un multiple de 4
Exemple : Soient les nombres 3 582 et 234 654 824
82 n'est pas un multiple de 4 donc 3 582 n'est pas un multiple de 4
24 est un multiple de 4 donc 234 654 824 est un multiple de 4

Divisibilité par 5 : si et seulement si, le chiffre des unités du nombre est 5 ou 0
Exemple : Soient les nombres 3 582 et 3 857 655
3 582 n'est pas un multiple de 5, son chiffre des unités est 2
3 857 655 est divisible par 5 : 3 857 655 = 771 531
5

Divisibilité par 6 : si et seulement si, le nombre est divisible par 2 et par 3
Exemple : 3 582 est un multiple de 6, il est divisible par 2 et par 3 (voir ci-dessus )

Divisibilité par 9 : si et seulement si, la somme de ses chiffres est un multiple de 9
Exemple : 3 582 => 3 + 5 + 8 + 2 = 18
On sait que 18 = 9 x 2 et donc que 18 est un multiple de 9
Il en est donc de même pour 3 582, d'où 3 582 = 9 x 398

Divisibilité par 10 : si et seulement si, le nombre est divisible par 2 et par 5 et donc si il se termine par 0
Exemple : Le nombre 540 est pair, il est donc divisible par 2
Il se termine par 0, il est donc multiple de 5. donc 540 est un multiple de 10

Divisibilité par 11 : si et seulement si, la somme de ses chiffres de rang impair diminuée de la somme de ses chiffres de
rang pair est un multiple de 11
Exemple : Soit les nombres 5 291 et 8 217
Milliers Centaines Dizaines
Rang 4
Rang 3
Rang 2
5
2
9
Unités
Rang 1
1
(1 + 2) – (9 + 5) = -11
-11 est un multiple de 11
Donc 5 291 est un multiple de 11

Milliers Centaines Dizaines
Rang 4
Rang 3
Rang 2
8
2
1
Unités
Rang 1
7
(7 + 2) – (1 + 8) = 0
0 est un multiple de 11
Donc 8 217 est un multiple de 11
Divisibilité par 12 : si et seulement si, le nombre est divisible par 3 et par 4
Exemple : Soit le nombre 324
On a 3 + 2 + 4 = 9 et 9 est un multiple de 3
24 est un multiple de 4.
Donc 324 est un multiple de 12

Divisibilité par 15 : si et seulement si, le nombre est divisible par 3 et par 5

Divisibilité par 18 : si et seulement si, le nombre est divisible par 2 et par 9

Divisibilité par 22 : si et seulement si, le nombre est divisible par 2 et par 11

Divisibilité par 45 : si et seulement si, le nombre est divisible par 9 et par 5…
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Les nombres premiers
✔
Un entier naturel n est un nombre premier s'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
✔
Le nombre 1 admet comme diviseur 1 et lui-même, c'est-à-dire 1, donc il n'a qu'un seul diviseur. 1 n'est donc pas premier !

Le crible d’Ératosthène :
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
15
16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Les multiples de 5
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Les multiples de 2
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
Les multiples de 3
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
Les multiples de 7
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
Les multiples de 11
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
Les multiples de 13

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
La décomposition en produit de facteurs premiers : Procédé :
1.
Écrire le nombre n en haut de la colonne de gauche, et tester sa divisibilité par 2
1.
si oui, écrire 2 à droite du nombre n et sous le nombre n le facteur, qui multiplié par 2 donne n
2.
si non, tester sa divisibilité par 3, 5, 7, …
2.
Répéter l'opération des test avec le nombre écrit sous n
3.
Et ainsi de suite jusqu'à obtenir 1 dans la colonne de gauche
4.
La décomposition du nombre n est le produit de tous les nombres de la colonne de droite
Exemple : Soit n = 96

96
48
24
12
6
3
1
donc 96 = 25 x 3
La détermination de la liste des diviseurs d'un entier naturel n :
◦
Si un nombre n admet pour décomposition en produit de facteurs premiers a, b, c, c'est-à-dire n = am x bp x cq x …
alors il admet exactement :

2
2
2
2
2
3
(m + 1) (p + 1) (q + 1) …
diviseurs
PPCM (plus petit multiple commun) : Procédé :
1.
Décomposer chacun des nombres sous forme de produit de facteurs premiers.
2.
Écrire le produit comportant comme facteurs chacun des nombres premiers entrant dans l'une ou l'autre des
décompositions.
3.
Affecter chacun des nombres premiers du produit du plus grand exposant dont il est affecté dans l'une ou
l'autre des décompositions.
Exemple : PPCM (60 ; 96)
60 = 22 x 3 x 5
et
96 = 25 x 3
PPCM (60 ; 96) = 25 x 3 x 5
PPCM (60 ; 96) = 480
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Calculs
Calcul automatisé (la mémoire)
✔

Utilise un procédé de calcul toujours identique, qu'il soit écrit (en ligne) ou mental.

Le calcul des multiplications nécessite la mémorisation d'un certain nombre de résultats. Il est au minimum nécessaire de
connaître tout produit de deux nombres écrits avec un chiffre.
C'est ce que l'on appelle connaître « les tables de multiplication », parfois représentées sous la forme d'un tableau

appelé table de Pythagore :
x
1
2 3
4 5
6 7
8 9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
3
6
9
12
15
18
21 24 27
4
4
8
12
16 20 24 28 32 36
5
5
10
15 20 25 30 35 40 45
6
6
12
18 24 30 36 42 48 54
7
7
14
21 28 35 42 49 56 63
8
8
16 24 32 40 48 56 64 72
9
9
18 27 36 45 54 63 72 81
Calcul réfléchi (en ligne)
✔

On appelle ainsi tout procédé de calcul qui ne mobilise que des écritures en ligne.

La multiplication est distributive par rapport à l'addition (à la soustraction) :
a x (b + c) = ab + ac
a x (b - c) = ab – ac
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
(a - b) (c - d) = ac - ad - bc + bd
Calcul posé : techniques opératoires
✔
Ce sont des procédés de calcul qui permettent de calculer tout produit avec une mémoire fixe et la plus restreinte

possible.
La technique actuelle : les résultats intermédiaires sont écrits successivement les uns sous les autres, décalés à chaque

fois d'un rang, puisque le premier nombre est un nombre des unités, le deuxième un nombre des dizaines, le troisième un
nombre des centaines.
x
+
+
0
0
0
7
9
8
4
3
5
5
8
0
.
8
4
9
6
.
.
6
= (9 x 3 254)
= (5 x 3 254)
= (2 x 3 254)
Méthode orientale : la multiplication per gelosia : soit le produit 186 x 43

1
2
1 6
6 5
8 4
3 2
2
9 2
2 7
0 8
2 7
3
2
9
6
2
4
2
4 4
1
8 3
8
1. Le premier facteur, 186, comporte trois chiffres, au aura donc trois carrés en longueur.
2. Le deuxième facteur, 43, comporte deux chiffres, on aura donc deux carrés en largeur. On trace les diagonales.
3. On multiplie entre chacun des chiffres : 3 x 6, 3 x 8, 3 x 1, 4 x 6, 4 x 8 et 4 x 1
4. On additionne diagonale par diagonale les chiffres obtenus et on inscrit en regard, à l'extérieur, les chiffres obtenus.
5. Le résultat apparaît donc à l'extérieur des cases, ici 07998 soit 186 x 43 = 7 998
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La division euclidienne
✔
La division euclidienne, est une opération qui, à deux entiers naturels a et b, appelés dividende et diviseur, associe deux
a = b x q + r
entiers q et r, appelés quotient et reste :
, avec r < b
✔
Si a est divisible par b, alors le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
✔
Soit a et b deux entiers naturels, tel que b soit non nul.
Le quotient de la division euclidienne de a par b est l'unique entier q tel que :
✔
Deux entiers naturels a et a' tels que a' < a ont même reste dans la division euclidienne par l'entier naturel non nul b, si et
seulement si leur différence a – a' est divisible par b
✔
Le quotient de la division euclidienne ne change pas quand on multiplie ou divise le dividende et le diviseur par un même
nombre.
Si
a = bq + r
avec r < b
bq ≤ a < b (q + 1)
et si k est un naturel non nul donné, alors :
ka = (kb)q + kr
et kr < kb
PGCD (plus grand diviseur commun)
✔
L'algorithme d'Euclide (méthode 1)

Un algorithme est un procédé de calcul que l'on reproduit à l'identique plusieurs fois de suite.

Procédé : PGCD (45 ; 60)
r
1.
On écrit la division euclidienne de 60 par 45 :
60 45 15
2.
On écrit la division euclidienne du diviseur précédente, 45, par le reste de la division précédente, 15 : 45 = 15 x 3 + 0
45 15
3.
On détermine le PGCD, c'est le dernier reste non nul : le PGCD de 45 et 60 est 15
a
b
✔
0
La décomposition en produit de facteurs premiers (méthode 2)

Procédé : PGCD (45 ; 60)
1.
Écrire la décomposition en produit de facteurs premiers des deux nombres : 45 = 32 x 5
2.
Écrire le produit dont les facteurs sont les nombres premiers communs aux deux décompositions : 3 x 5
3.
Affecter chacun de ces nombres du plus petit exposant dont il est affecté dans l'un ou l'autre des décompositions :
3 x 5 = 15
✔
60 = 45 x 1 + 15
60 = 22 x 3 x 5
d'où le PGCD de 45 et 60 est 15
Les nombres premiers entre eux :

On dit que deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1

Deux nombres premiers entre eux ont 1 pour seul diviseur commun.
Calculs
✔
Calcul réfléchi

Dans les cas simples, le calcul du quotient et du reste d'une division euclidienne peut être mené en ayant recours à la
mémoire du répertoire multiplicatif : table de Pythagore et autres résultats mémorisés.
✔
Technique opératoire posée : la division « en potence »
2 5 8 6
1 8
12
2 5 8 6
-2 4
2 1 5
2 1 5
1 8
- 1 2
6 6
6 6
- 6 0
6
6
Technique la plus courante, mais elle ne constitue pas un
objectif pour l'école élémentaire
Mathématiques – Multiplication et division euclidienne dans N
12
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Objectif de fin de cycle 3 :
Division « en potence » où apparaissent les
calculs intermédiaires
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