Feuille 6 - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne
Faculté des Sciences
2011-2012
L2 Théorie des Graphes
Feuille d'exercices 6.
Exercice 1
Montrer que les graphes suivants sont planaires :
u
v
z
w
y
x
u
a
b
v
w
x
Donner une autre représentation planaire du graphe suivant où la face bordée par
le cycle (e, f, g, e) devient la face extérieure.
a
b
Exercice 2
f
e
g
c
d
Trois villas doivent être reliées au gaz,
à l'électricité et à l'eau. Est-il possible de construire des canalisations alimentant chaque villa
depuis chaque usine de manière à ce que ces canalisations ne se chevauchent pas ?
Exercice 3 (Problème des 3 villas et des 3 usines)
Exercice 4
arêtes.
Montrer que pour tout n ≥ 2, il existe un graphe planaire avec n sommets et 3n − 6
Trouver deux graphes avec la suite de degré (4, 4, 4, 4, 3, 3) :
1) un graphe planaire,
2) un graphe non planaire.
Exercice 5
Exercice 6
1) Quel est le nombre minimal de croisements d'arêtes dans une représentation de
K5 dans le plan ?
2) Même question avec K3,3 ?
3) Même question avec K6 ?
Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1) "Tout graphe planaire a un sommet de degré au plus 4."
2) "Si G est un graphe connexe à n sommets et k arêtes tel que k = 3n − 6, alors G est planaire."
Exercice 7
1
Cet algorithme s'applique aux graphes hamiltoniens.
1ère étape : On considère un graphe hamiltonien qui possède un cycle hamiltonien (x1 , x2 , ...., xn , x1 ).
On dessine le graphe de façon a ce que ce cycle hamiltonien forme un polygone régulier et que
toutes les autres arêtes du graphe soient à l'intérieur du polygone.
2ème étape : On choisit une arête intérieure {xi , xj } : on déplace à l'extérieur du polygone toutes
les arêtes qui croisent {xi , xj }.
Si l'une de celle-ci croise obligatoirement une arête à l'éxtérieur, le graphe n'est pas planaire et
on arête l'algorithme,
sinon, on recommence l'étape 2 avec un autre arête à l'intérieur du polygone.
Exercice 8 (Algorithme de planarité)
Appliquer cet algorithme à K6 et aux graphes suivants.
2
3
1
4
8
5
7
6
1
5
2
6
4
3
Soit G un graphe, on dit que H est une subdivision de G si on obtient H à partir
de G, en ajoutant des sommets de degré 2 sur les arêtes de G.
Parmi les graphes suivants, lesquels sont des subdivisions de K3,3 :
Exercice 9
a
d
a
g
b
c
f
e
h
f
d
d
f
e
g
g
b
c
a
e
h
Exercice 10
c
b
Théorème de Kuratowski : Un graphe G est planaire si et seulement si il ne contient pas de
subdivision de K5 ou de K3,3 .
Utiliser le théorème de Kuratowski pour prouver que les graphes suivants ne sont pas planaires :
2
1
6
p
5
q
2
w
r
10
7
v
s
9
8
u
Exercice 11
t
4
3
On considère le graphe suivant :
7
1
2
6
3
5
4
1) Appliquer l'algorithme de planarité au graphe G ci-dessus. Est-il planaire ?
2) Montrer que K3,3 est une subdivision de G.
3) Quel est le nombre minimal de croisements d'arêtes dans une représentation de G dans le
plan ?
Soit G un graphe planaire (éventuellement multiple). On considère une représentation planaire de G. On appelle dual de G et on note G∗ le graphe donc les sommets sont les
faces de G et tel que toute arête entre deux faces de G correspond à une arête entre les deux
sommets correspondants de G∗ .
1) Donner le graphe dual des graphes planaires suivants :
Exercice 12
a
b
a
d
c
b
c
e
d
2) Trouver un graphe planaire G qui ait deux représentations planaires pour lesquelles les graphes
duaux ne sont pas isomorphes.
3) Montrer qu'un graphe planaire (simple connexe) est biparti ssi son dual G∗ est eulérien.
Dessiner tout d'abord un exemple.
4) Montrer que si G est un graphe planaire dont tous sommets sont de degré pair, alors, dans
3
une représentation plane de G, on n'a besoin que de deux couleurs pour colorer les faces de G
de façon à ce que deux faces voisines aient des couleurs diérentes.
On appelle graphe complétement régulier tout graphe planaire dont les faces ont
toutes le même degré et dont tous les sommets ont tous le même degré. On note r le degré des
sommets et k le degré des faces. Trouver tous les graphes complétement réguliers tels que :
a) r = k = 3 ; b) r = 3 et k = 4.
Exercice 13
Soit G un graphe simple, connexe, planaire, sans triangles (i.e. sans cycles de
longueur 3). On note n le nombre de sommets de G, m son nombre d'arêtes et f son nombre de
faces. On suppose que n ≥ 3.
1. Expliquer pourquoi une face de G est de degré au moins 4.
2. Montrer que m ≥ 2f .
3. Montrer que G contient au plus 2n − 4 arêtes.
Exercice 14
4