Sur la conception des réseaux à composantes unicycliques W. Ben-Ameur1 , M. Hadji2 , et A. Ouorou3 1 2 GET/INT CNRS/Samovar, Institut National des Télécommunications, 9 rue Charles Fourier, 91011 Evry, France [email protected] GET/INT CNRS/Samovar, Institut National des Télécommunications, 9 rue Charles Fourier, 91011 Evry, France [email protected] 3 Orange Labs [email protected] Mots clefs : Graphes unicycliques, Matroïdes, Polyèdres, Optimisation combinatoire, Optimisation de réseaux, Spectres. 1 Introduction Étant donné un graphe pondéré G, nous souhaitons dans un premier temps partitionner les sommets de G en plusieurs composantes connexes unicycliques de coût total minimum. Pour cela, on développe deux algorithmes polynômiaux, le premier se base sur la théorie des matroïdes alors que le deuxième est un algorithme de couplage maximum de poids minimum. On généralise ce problème en y ajoutant différentes contraintes (contraintes de degrés, taille des cycles, contraintes d’appartenance à une même composante connexe, nombre maximum de composantes connexes), et on présentera un algorithme à plans coupants pour le résoudre. Nous esquissons une première étude polyédrale. En seconde partie, nous nous focalisons sur une classe particulière de graphes unicycliques dont on donnera les valeurs extrêmes des spectres du laplacien et de la matrice d’adjacence. 2 Partitionnement en composantes unicycliques Sur un graphe pondéré G = (V, E), on souhaite répartir les sommets en plusieurs composantes unicycliques (contenant exactement un cycle), avec un coût total minimum. On propose alors deux algorithmes polynômiaux, le premier se base sur la théorie des matroïdes. Il est en effet facile de prouver que M = (E, F), où F = {I ⊆ E, I a ses composantes connexes qui contiennent au plus un cycle} est un matroïde. Ceci suggère immédiatement un algorithme glouton qui nous donne la décomposition souhaitée. Ce matroïde est connu dans la littérature sous le nom de matroïde bicirulaire. L’autre approche consiste à construire d’abord un nouveau graphe biparti dont l’enssemble des sommets est l’union de E et V . Les arêtes de ce nouveau graphe, se définissent ainsi : il existe une arête entre le sommet i et le sommet x, si et seulement si i est une extrémité de l’arête x. Le poids de l’arête ix, est le même que celui de l’arête initiale x dans G. Une fois le graphe biparti construit, on calcule un couplage maximum de poids minimum. Le résultat est une décomposition en composantes unicycliques de coût total minimum. On généralise le problème en rajoutant plusieurs types de contraintes : contraintes de degrés (consistant à borner les degrés des sommets), contraintes de taille des cycles (on interdit les cycles de taille inférieure à k), des contraintes d’appartenance ou de séparation d’un couple de sommets de la même composante ainsi qu’une contrainte sur le nombre de composantes connexes. Un algorithme à plans coupants nous permet de résoudre ce problème pour des instances de tailles moyennes. Plusieurs classes d’inégalités valides sont mises en évidence. Des algorithmes de séparation ont été mis en oeuvre pour les séparer. La séparation de l’une de ces classes se fait par le biais de la minimisation d’une fonction sous-modulaire. 3 Spectres d’une classe de graphes unicycliques Un graphe G = (V, E) est unicyclique s’il est connexe et son nombre d’arêtes est égal à son nombre de sommets. On désigne par A la matrice d’adjacence du graphe G, et par L = D − A la matrice du laplacien, où D est la matrice diagonale des degrés des sommets de G. On s’intéresse à une classe de graphes unicycliques qu’on note par G(q, n1 , n2 ), où q est la taille du cycle du graphe, chaque sommet du cycle étant lié à exactement n1 sommets en dehors du cycle, et chaque sommet adjacent au cycle est lié à exactement n2 sommets pendants. On donne les valeurs exactes des valeurs propres extrêmes associées aux deux matrices A et L, et cela dans deux cas différents, lorsque n2 = 0, et puis lorsque n2 6= 0. Ces valeurs peuvent servir dans le contexte d’un algorithme à plans coupants dont l’objectif serait de construire des réseaux de coût minimum ayant la forme de G(q, n1 , n2 ).