TSSPE CHP.02
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Chapitre 2: Nombrespremiers.
I. Nombrespremiers.
1. Définition :Ondit qu’unentier naturelestunnombrepremiers’ilaexactement deux
diviseurs1etluimême.
2. Exemples:2,3,5….
3. Propriété:Toutentiernaturelsupérieurà1,nonpremier,admetau moinsundiviseur
premieràsavoirlepluspetitdiviseurdansIN autreque1.
Preuve:sin>1n’estpaspremierl’ensembledesesdiviseursstrictementsupérieursà
1contientaumoinsunélémentàsavoirn.Iladmetdoncunpluspetitélémentnotép.
pestpremiercars’ilavaitundiviseurd,ddiviseraitnetpneseraitpaslepluspetit!
4. Critère(simple)deprimalité:Soitnunentiernaturelsupérieurouégalà2.Sinn’est
divisibleparaucunentierptelque2 £p £ nalorsnestpremier.
Preuve:sinn’estpaspremieralorsiladmetundiviseurpremierpquiestsonpluspetit
diviseur.Doncn=pqavec1<p £qetp² £pqdoncp² £net2 £p £ n
Parcontrapositionsinn’estdivisibleparaucunnombrepremiertelque2 £p £ n
alorsnestpremier.
5. Théorème:Ilexisteuneinfinitédenombrespremiers.
Preuve:onraisonneparl’absurdeensupposantqueilyaunnombrefinidenombres
premiers:p1,p2,………….pn
Soitalorsn=p1 ´p2,………… ´pn +1
nn’estdivisibleparaucundesnombrespremiersp1,p2,………….pn carlerestedela
divisioneuclidiennedenparpi est1 pourtoutivariantde1àn.
Ornadmetundiviseurpremierquidoncnefaitpaspartiedecettelistecequiprouve
quecetteliste« finie»n’existepas.
II. Décompositionenproduitdenombrespremiers.
1. Théorème: Toutentiernaturelestpremierouproduitdenombrespremiers.
Preuve:n ³2doncnadmetaumoinsundiviseurpremierp1 etn=p1n1
avec1 £n1 <n
Sin1 =1alorsn=p1 etnestpremier
Sinononrecommenceavecn1 =p2n2 etc…
onconstruitainsiunesuited’entiersnaturelsni strictementdécroissante:
1£….<ni <…<n2 <n1 cettesuiteestfinieetledernierentierest1.
2. Exempleetdispositionpratique: 16758
3. Théorème: La décomposition en produit de nombres premiers de tout entier
naturelestUNIQUE.
ADMISpourl’instant.