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TS SPE CHP.02 Chapitre 2 : Nombres premiers. I. Nombres premiers. 1. Définition : On dit qu’un entier naturel est un nombre premier s’il a exactement deux diviseurs 1 et lui­même. 2. Exemples : 2, 3, 5 …. 3. Propriété : Tout entier naturel supérieur à 1, non premier, admet au moins un diviseur premier à savoir le plus petit diviseur dans IN autre que 1. Preuve : si n > 1 n’est pas premier l’ensemble de ses diviseurs strictement supérieurs à 1 contient au moins un élément à savoir n. Il admet donc un plus petit élément noté p. p est premier car s’il avait un diviseur d, d diviserait n et p ne serait pas le plus petit ! 4. Critère (simple) de primalité : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si n n’est divisible par aucun entier p tel que 2 £ p £ n alors n est premier. Preuve : si n n’est pas premier alors il admet un diviseur premier p qui est son plus petit diviseur. Donc n = pq avec 1 < p £ q et p² £ pq donc p² £ n et 2 £ p £ n Par contraposition si n n’est divisible par aucun nombre premier tel que 2 £ p £ n alors n est premier. 5. Théorème : Il existe une infinité de nombres premiers. Preuve : on raisonne par l’absurde en supposant que il y a un nombre fini de nombres premiers : p1, p2,………….pn Soit alors n = p1 ´ p2,………… ´ pn + 1 n n’est divisible par aucun des nombres premiers p1, p2,………….pn car le reste de la division euclidienne de n par pi est 1 pour tout i variant de 1 à n. Or n admet un diviseur premier qui donc ne fait pas partie de cette liste ce qui prouve que cette liste « finie » n’existe pas. II. Décomposition en produit de nombres premiers. 1. Théorème : Tout entier naturel est premier ou produit de nombres premiers. Preuve : n ³ 2 donc n admet au moins un diviseur premier p1 et n = p1n1 avec 1 £ n1 < n Si n1 = 1 alors n = p1 et n est premier Sinon on recommence avec n1 = p2n2 etc… on construit ainsi une suite d’entiers naturels ni strictement décroissante : 1 £ ….< ni < … < n2 < n1 cette suite est finie et le dernier entier est 1. 2. Exemple et disposition pratique : 16 758 3. Théorème : La décomposition en produit de nombres premiers de tout entier naturel est UNIQUE. ADMIS pour l’instant.
Page 1 sur 3 TS SPE CHP.02 4. Condition de divisibilité : Soit a et b deux entiers naturels au moins égaux à 2 décomposés en produit de nombres premiers. b divise a si et seulement si tout facteur premier figurant dans la décomposition de b figure aussi dans celle de a avec un exposant supérieur ou égal à celui qu’il a dans la décomposition de b. b 2 b
Preuve : b divise a donc a = bq = p1b ´ p 2 ´ ...... ´ p r r ´ q ce qui prouve le résultat grâce à l’unicité de la décomposition 1 b 2 b
Réciproquement si b = p1 b ´ p 2 ´ ...... ´ p r r 1 a 2 a
et a = p1 a ´ p 2 ´ ...... ´ p k k avec k ³ r et b £ ai pour 1 £ i £ r alors il est aisé de justifier que b divise a. 1 III. PPCM de deux entiers. 1. Théorème et définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. L’ensemble des multiples communs à a et b strictement positifs admet un plus petit élément appelé PPCM de a et b. Preuve : L’ensemble des multiples communs strictement positifs à a et b n’est pas vide : il contient ab et c’est une partie de IN. Donc il admet un plus petit élément. 2. Théorème : Les multiples communs à deux entiers naturels non nuls sont les multiples de leur PPCM. Preuve : Soit m = PPCM (a ;b). Un multiple de m sera un multiple de a et un multiple de b. Réciproquement soit M un multiple commun à a et à b. Divisons M par m : M = mq + r avec 0 £ r < m a et b divisent m et a et b divisent M donc a et b divisent M – mq donc divisent r donc r est multiple commun à a et b avec 0 £ r < m donc r = 0 et M = mq donc M est un multiple de m. 3. Propriété : Soit a, b et k trois entiers naturels non nuls. PPCM (ka, kb) = k PPCM (a ;b) Preuve : On note m = PPCM(a ;b) il existe p Î IN tel que m= pa et p’ Î IN tel que m = p’b Donc km = kpa et km = kp’b ainsi k PPCM (a ;b) est un multiple commun strictement positif de ka et kb. Donc PPCM (ka ;kb) £ k PPCM (a ;b) Notons M = PPCM (ka ;kb) il existe q Î IN tel que M = qka et il existe q’ Î IN tel M M M que M = q’kb donc a divise et b divise ainsi est un multiple commun à a et b k k k M donc ³ m donc PPCM (ka ;kb) ³ k PPCM (a ;b) d’où l’égalité demandée.
k
Page 2 sur 3 TS SPE CHP.02 4. Extension à Z Z . Si a et b sont deux entiers relatifs non nuls, on pose : PPCM (a ; b) = PPCM( ½ a ½ ; ½ b ½) La propriété vue en 3. s’écrit alors : si a, b et k trois entiers relatifs non nuls. PPCM (ka, kb) = ½ k ½ ´ PPCM (a ;b) IV Utilisation de la décomposition en produit de nombres premiers. 1. Théorème : Soit a et b deux entiers naturels supérieurs à 1. On les décompose en produit de nombres premiers. Le PGCD de a et de b est alors égal au produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions affecté chacun du plus petit exposant figurant dans l’une ou l’autre décomposition Preuve : a 2 a
d 2 d
b 2 b
a = p1 a ´ p 2 ´ ...... ´ p n n et b = p1 b ´ p 2 ´ ...... ´ p n n en notant pi , pour i variant de 1 à n, les nombres premiers figurant dans l’une au moins des décompositions. Les ai pour i entier variant de 1 à n, sont des entiers naturels éventuellement nuls et les
bi pour i entier variant de 1 à n, sont des entiers naturels éventuellement nuls Un diviseur commun d aura donc aura donc une décomposition de la forme : 1 1 d = p1 d ´ p 2 ´ ...... ´ p n n avec di £ ai pour tout entier i variant de 1 à n car d divise a et avec di £ bi pour tout entier i variant de 1 à n car d divise b. Notons gi = min (ai ; bi) pour tout entier i variant de 1 à n. On a donc di £ gi pour tout entier i variant de 1 à n. Le PGCD est alors obtenu en prenant di = gi pour tout entier i variant de 1 à n. Exemple : 1 2. Théorème : Soit a et b deux entiers naturels supérieurs à 1. On les décompose en produit de nombres premiers. Le PPCM de a et de b est alors égal au produit des facteurs premier s communs ou non communs aux deux décompositions affecté chacun du plus grand exposant figurant dans l’une ou l’autre décomposition. Preuve : identique à la précédente en notant Gi = max (ai ; bi) pour tout entier i variant de 1 à n. G 2 G
Le PPCM est égal à : p1 G ´ p 2 ´ ...... ´ p n n Exemple : 1 3. Théorème : Soit a et b deux entiers naturels supérieurs à 0. PGCD (a ; b) ´ PPCM (a ; b) = a ´ b Preuve : en utilisant les notations précédentes il est évident que !
Gi + gi = ai + bi pour tout entier i variant de 1 à n. L’exposant de pi dans le produit PGCD ´ PPCM est donc ai + bi pour tout entier i variant de 1 à n c’est également celui de pi dans le produit ab. Remarque : a et b premiers entre eux Û PPCM ( a ; b) = ab
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