Feuille d`exercices n˚5 Nombres complexes et trigonométrie (partie 2)

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2013-2014
Mathématiques
Feuille d’exercices n˚5
Nombres complexes et trigonométrie (partie 2)
Exercice 19 (Calcul de quelques valeurs de cosinus et sinus)
h πi
1. Soient θ ∈ 0, . Montrer que :
2
r
s
θ
1 + cos(θ)
θ
θ
2
cos
=
= 1 − cos
.
et
sin
2
2
2
2
θ
Indication : On pourra remarquer que 2 × = θ et appliquer une des formules de duplication pour établir
2
la première identité.
π π π
π
2. Déduire de la question 1 les valeurs de cos
et sin
, puis celles de cos
et sin
.
16
16
8 π π
π
8π et sin
, puis celles de cos
et sin
.
3. Déduire de la question 1 les valeurs de cos
12
12
24
24
Exercice 20 (Linéarisation d’une expression trigonométrique)
1. (a) Soit θ ∈ R. Linéariser cos4 (θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction f : R → R ; x 7→ cos4 (x).
2. (a) Soit θ ∈ R. Linéariser sin6 (θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction g : R → R ; x 7→ sin6 (x).
3. (a) Soit θ ∈ R. Linéariser sin4 (θ) cos3 (θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction h : R → R ; x 7→ sin4 (x) cos3 (x).
Exercice 21 (Calcul de cos( π5 ))
1. Soit θ ∈ R. Montrer que :
sin(5θ) = (16 cos(θ)4 − 12 cos(θ)2 + 1) sin(θ).
Indication : On pourra remarquer que sin(5θ) = Im(ei5θ ) et appliquer la formule de Moivre.
2. Résoudre l’équation 16x4 − 12x2 + 1 = 0 d’inconnue x ∈ R.
π 1 + √5
=
.
3. En déduire que cos
5
4
Indication : On pourra commencer par appliquer la formule obtenue en 1 à un réel θ judicieusement choisi.
Exercice 22 (Calculs de quelques sommes trigonométriques)
Soient t ∈ R et n ∈ N∗ .
n
X
1. Calculer
sin(kt).
k=0
n X
n
2. Calculer
cos(kt).
k
k=0
n X
n
3. Calculer
(−1)k sin(kt).
k
k=0
1
Exercice 23 (Formes exponentielles)
1. Exprimer sous forme exponentielle les nombres complexes suivants.
√
1 − 3i
z1 = −1 + i
;
z2 =
1+i
2
2. Soit (a, b) ∈ ]0, π[ . Exprimer le nombre complexe eia + eib sous forme exponentielle.
Exercice 24 (Calculs de puissances)
√ n
1. Calculer 1 − i 3 pour tout n ∈ N.
Le résultat sera présenté en distinguant plusieurs cas, suivant le reste de la division euclidienne de n par
un entier à déterminer.
√ n
2. Déterminer les entiers naturels n tels que 1 − i 3 ∈ R.
Exercice 25 (Équations du type a cos(x) + b sin(x) = c de paramètre (a, b, c) ∈ R3 , d’inconnue x ∈ R)
1. Soient (a, b) ∈ R2 tels que ab 6= 0 et soit x ∈ R. Justifier qu’il existe r ∈ R>0 et ϕ ∈ R tels que :
a cos(x) + b sin(x) = r cos(x + ϕ).
2. Résoudre l’équation
√
3 cos(x) + sin(x) = 2
d’inconnue x ∈ R.
3. Résoudre l’équation
cos(x) + 2 sin(x) = 3
d’inconnue x ∈ R.
Exercice 26 (Racines carrées d’un nombre complexe non nul)
Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants.
z1 = i
;
z2 = 2i − 3
;
z3 =
√
√
2 + i 6.
Exercice 27 (Équation du second degré à coefficients complexes)
1. Résoudre l’équation
(E1 ) : z 2 + 2z + 3 = 0
d’inconnue z ∈ C.
2. Résoudre l’équation
(E2 ) : z 2 + 2z − i = 0
d’inconnue z ∈ C.
2. Résoudre l’équation
(E3 ) : 2iz 2 + (1 + i)z − 1 = 0
d’inconnue z ∈ C.
3. Soit θ ∈ ]0, π[.
(a) Justifier que l’équation
(E4 ) : z 2 − 2θ+1 cos(θ)z + 22θ = 0
d’inconnue z ∈ C, possède deux solutions distinctes.
(b) Exprimer les deux solutions de (E4 ) sous forme trigonométrique.
→
→
(c) On fixe un repère orthonormé du plan (O; −
u ,−
v ) et on considère les points A et B dont les affixes
sont les solutions de (E). Déterminer θ de manière à ce que OAB soit un triangle équilatéral.
2
Exercice 28 (Racines n-ièmes d’un complexe (n ∈ N≥2 ))
→
→
1. On fixe un repère orthonormé du plan (O; −
u,−
v ). Soit n ∈ N∗ . Pour tout k ∈ N, on note Mk le point du
2iπk
plan d’affixe e n .
(a) Calculer la longueur Mk Mk+1 pour tout k ∈ N.
(b) En déduire une propriété géométrique remarquable des n points du plan dont les affixes sont les
racines n-ièmes de l’unité.
2. Déterminer les racines sixièmes de l’unité et les représenter graphiquement.
3. Déterminer les racines cinquièmes de i et les représenter graphiquement.
4. Déterminer les racines quatrièmes de
i
1+i
et les représenter graphiquement.
Exercice 29 (Relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme de degré 2)
1. Résoudre le système
(S1 ) :


 a+b
=
19
3
ab
=
2
a3 + b 3
(ab)3
=
=
1−i
−i


d’inconnue (a, b) ∈ C2 .
2. Résoudre le système
(S2 ) :
d’inconnue (a, b) ∈ C2 .
Exercice 31 (Exponentielle complexe)
1. Résoudre l’équation
ez = −2
d’inconnue z ∈ C.
2. Résoudre l’équation
e2z + (i − 2)ez − 2i = 0
d’inconnue z ∈ C.
3