ELECTROMAGNETISME
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Machines électriques LST GESA Chapitre 1 ELECTROMAGNETISME 1 Questions Comment peut on utiliser l’électricité pour créer un mouvement? Comment peut on utiliser un mouvement mécanique pour créer l’électricité? Quelle est la relation entre l’électricité et le magnétisme? Electromagnétisme 2 1 Introduction • La plus part des générateurs et moteurs utilisent le champ magnétique comme moyen de conversion • Le champ magnétique est produit par le champ magnétique permanent ou un enroulement parcouru par un courant • Comprendre les équations de Maxwell pour maitriser le processus de l’énergie électromagnétique Electromagnétisme 3 1 Introduction Nom de James Clerk Maxwell (1831-1879) Decrit la nature des champs électromagnétiques Ensemble de 4 équations : Lois d’Ampère Lois de Faraday Lois de Gauss (flux) Lois de Gauss (Charge) Electromagnétisme 4 1 Magnétisme Induction magnétique Vecteurs fondamentaux en électromagnétisme: Intensité du champ électrique E unité = volts per metre (V/m = kg m/A/s3) E Densité de flux électrique(déplacement électrique) unité = coulombs par metre carré (C/m2 = A s /m2) D Intensité du champ magnétique unité = ampère par metre (A/m) H Densité de flux magnétique unité = Teslas = webers per mètre carré (T = Wb/ m2 = kg/A/s3) B Electromagnétisme 5 1 Magnétisme Universal constants in electromagnetics: Velocity of an electromagnetic wave (e.g., light) in free space (perfect vacuum) c 3 108 m/s Permeability of free space 0 4 10 7 H/m Permittivity of free space: 0 8.854 10 12 F/m Intrinsic impedance of free space: 0 120 Electromagnétisme 6 1 Magnétisme Constantes U niverselles en électromagnetique: Vitesse du son dans le vide c 3 108 m/s Permeabilité du vide 0 4 10 7 H/m Permittivité du vide: 0 8.854 10 12 F/m Electromagnétisme 7 1 Magnétisme sources Ji, Ki fields E, H • des solutions obtenues • Par hypothèse Solution des Équations de Maxwell’s Quantités Observables Electromagnétisme 8 1 Magnétisme Region 1 n̂ Region 2 Electromagnétisme 9 1 Champs électrique Q1 r12 Q2 F 12 Force due à l’action de Q1 Sur Q2 Vecteur unitaire dans le sens R12 F 12 aˆ R1 2 Q1 Q2 2 4 0 r12 Electromagnétisme 10 1 Champs électrique La force de Q2 sur Q1 est égale en intensité mais opposée à la force de Q1 sur Q2 F 21 F 12 Electromagnétisme 11 1 Champs électrique Considérons un point de charge Q placé à l’origine d’un système gallélien Une charge test Qt placée proche de Q subit une force: F Qt QQt aˆ r 2 40 r r Qt Q Electromagnétisme 12 1 Champs électrique L’existance d’une force sur Qt est attribué à un champ électique produit par Q. Le champ électrique créé par Q en un point de l’espace peut être définit comme la force par unité de charge exercée sur la charge test placé en ce même poin F Qt E lim Qt 0 Q t Electromagnétisme 13 1 Champs électrique Le champ électrique décrit l'effet d'une charge fixe sur les autres charges, très proche de la notion d'un champ de gravité. Les unités de base de champ électrique sont Newtons par Coulomb. En pratique, nous utilisons habituellement volts par mètre. Electromagnétisme 14 1 Champs électrique Pour un point a l’origine, le champ électriqiue est donné par Q Qr E r aˆ r 2 3 40 r 40 r Electromagnétisme 15 1 Champs électrique Pour une charge en un point P’ le champ électrique en P est donné par :r QR E r 40 R 3 P avec R r r r R r r O R r Q Electromagnétisme 16 1 Champs électrique Densité de charge volumique Qencl r V’ Qencl qev r lim V 0 V Electromagnétisme 17 1 Champs électrique r dV’ Qencl V’ r P qev r dv R d E r 3 40 R Electromagnétisme 18 1 Champs électrique Champ électrique du à la densité de charge volumique qev r R 1 E r d v 3 40 V R Electromagnétisme 19 1 Champs électrique En évaluant les intégrales de ligne, il est habituel de prendre le dl dans le sens de la valeur des coordonnées croissantes, de sorte que la manière dont le chemin d'intégration est parcouru est déterminé sans ambiguïté par les limites de l'intégration.b a x 3 5 b Wa b q E aˆ x dx a Electromagnétisme 20 1 Champs électrique Le potentiel électrique est conservatif: La valeur v de l’intégrale dépend uniquement des points d’extrémités et non pas du chemin suivi La valeur de l’intégrale sur un contour fermé est nulle E d l 0 C C Electromagnétisme 21 1 Champs électrique Le travail par unité de charge d’un point a vers b est la différence de potentiel électrostatique b Wa b E d l Vab q a Différence de potentiel électrostatique Unité par Volts. Electromagnétisme 22 1 Potentiel électrostatique b P0 b a a P0 Vab E d l E d l E d l a E dl E dl P0 P0 V b V a b Electromagnétisme 23 1 Potentiel électrostatique P V r E d l P0 reference point Electromagnétisme 24 1 Potentiel électrostatique Electrostatic Potential P V r E d l Electromagnétisme 25 1 Théorème d’Ampère Le courant à travers un conducteur donne naissance à un champ magnétique autour du cable. Mathématiquement : D H J t ou D C Hdl S J S t .dS Electromagnétisme 26 1 Induction Magnétique Electromagnétisme 27 1 Induction Magnétique Electromagnétisme 28 1 Induction Magnétique Electromagnétisme 29 1 Induction Magnétique Electromagnétisme 30 1 Induction Magnétique Electromagnétisme 31 1 Induction Magnétique Electromagnétisme 32 1 Induction Magnétique Electromagnétisme 33 1 Induction Magnétique Electromagnétisme 34 1 Diélectriques Electromagnétisme 35 1 Diélectriques p=Qd + q -q Electromagnétisme 36 1 Diélectriques p=Qd + q -q - Dipôle électrique (microscopique) - Peut-être causé - par la présence d’un champ externe - certaines molécules ont des dipôles permanents - S’il y a présence de dipôles permanents - orientation aléatoire - certains matériaux sont polarisés en tout temps. Electromagnétisme 37 1 Diélectriques La polarisation est le moment dipolaire électrique par unité de volume (c’est une quantité macroscopique) Puisque la polarisation est le plus souvent induite par le champ électrique, on peut écrire: où e est la susceptibilité électrique. La susceptibilité représente la facilité avec laquelle le matériau peut devenir polarisé. La susceptibilité peut dépendre de E (non-linéaire). Electromagnétisme 38 1 Diélectriques Electromagnétisme 39 1 Diélectriques Electromagnétisme 40 1 Diélectriques Electromagnétisme 41 1 Diélectriques Electromagnétisme 42 1 Diélectriques Electromagnétisme 43 1 Diélectriques Electromagnétisme 44 1 Diélectriques Electromagnétisme 45 1 Diélectriques Electromagnétisme 46 1 Diélectriques Electromagnétisme 47 1 Diélectriques Electromagnétisme 48 1 Flux magnétique Electromagnétisme 49 1 Flux magnétique Electromagnétisme 50 1 Flux magnétique Electromagnétisme 51 1 Loi de Faraday Un flux magnétique variable à travers un contour fermé donne naissance à une fém Mathématiquement : E B t E.dl B .dS t ou C S La compréhension du théorème de Faraday est critique pour la maitrise des machines électriques Electromagnétisme 52 1 Théorème de Faraday Electromagnétisme 53 1 Théorème de Faraday Electromagnétisme 54 1 Exemple Comment peut on augmenter la fém induite 1- En augmentant la surface enfermée par l’enroulement 2- Réduisant la résistance de l’enroulement 3- Augmentant le tau de variation du flux magnétique Electromagnétisme 55 1 Actuellement, le flux magnétique peut être constant dans le temps et on peut induire la tension - C’est le changement de flux qui compte Si l’enroulement est stationnaire et le flux magnétique varie dans le temps , e est alors connu comme la fém transformateur Si la bobine est en mouvement et le flux magnétique est constante, alors e est connu comme la fém de mouvement Electromagnétisme 56 1 Un conducteur se déplaçant dans une zone de flux constante aura la tension induite en fonction de cela: e v B.dl C V la vitesse du conducteur Fém de mouvement est due à une force agissant sur les électrons libres dans le conducteur qui les déplace vers un côté ou vers l'autre - Plus d'informations sur cette force plus tard La fém induite total est la somme de la fém de transformateur et fem de mouvement Electromagnétisme 57 1 Une note de côté ... L’unité de B est le : Wb / m 2 Weber: Le weber est le flux magnétique qui, traversant un circuit d'un tour, va produire dans ce circuit une force électromotrice de 1 volt si elle était réduite à zéro avec un tau de 1seconde L'examen des unités de tension à partir : e B d .dS t dt Ce qui donne V Wb / m 2 / s m 2 Vs Wb .HB Wb A Vs A VAs J 2 3 3 2 m m m m m m Electromagnétisme 58 1 Actions magnétiques Electromagnétisme 59 1 Actions magnétiques Electromagnétisme 60 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 61 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 62 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 63 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 64 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 65 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 66 1 Milieux ferromagnétiques • Dans certains matériaux les dipôles magnétiques dans une région peuvent être alignés (domaines magnétiques) • Les domaines sont généralement orientées de manière aléatoire et il n'y a pas de champ magnétique net Electromagnétisme 67 1 Milieux ferromagnétiques • Supposons que nous appliquons un champ magnétique H à la matière • une densité de flux magnétique est créé à l'intérieur du matériau selon la relation B 0 (H+M ) Electromagnétisme 68 1 Milieux ferromagnétiques • Quand H augmente, une partie des dipôles commencent à s’aligner avec H • densité de flux commence à augmenter à un rythme plus rapide que le champ magnétique appliqué Electromagnétisme 69 1 Milieux ferromagnétiques • Pour une valeur de H tous les domaines magnétiques sont dans la direction de H • Des augmentations supplémentaires de H augmente encore B, mais à un rythme beaucoup plus lent (perméabilité de l'espace libre) Electromagnétisme 70 1 Courbe B-H On suppose que le matériau n est pas aimanté, i=0 B=H=0 Que se passe à B et H lorsque I augmente H augmente (+) H.dl J.dl B augmente (+) D .dS t B=0 H+J Electromagnétisme 71 1 Courbe B-H Si le matériaux n’est pas magnétique, alors, J=0, alors B et H sont linéairement dépendants Pente Electromagnétisme 72 1 Courbe B-H Si les matériaux sont magnétiques, alors J augmente avec H (le matériau devient magnétisée) B augmente avec un rapport plus grand que B=0 H+J Electromagnétisme 73 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 74 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 75 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 76 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 77 1 Milieux magnétiques Electromagnétisme 78 1 Pertes magnétiques Les pertes dans les machiines électriques comprennent aussi les pertes magnétiques 2 types de pertes magnétiques : - Pertes par hystérisis - Pertes par courant de Faucoult Electromagnétisme 79 1 Pertes magnétiques La Durée flux variable dans un circuit magnétique induit une tension dans une bobine, mais aussi dans le matériau qui comprend du circuit magnétique Le courant induit dans le matériau est connu sous le nom de courants de Foucault, et réduit le rendement de la machine - Le courant de Foucault génère un courant de chauffage - Le Flux causée par courant de Foucault s’oppose champ magnétique appliqué, agissant pour démagnétiser le noyau Courant de Foucault Electromagnétisme 80 1 Pertes magnétiques • Les courants de Foucault peuvent être réduites par l'introduction d'un matériau isolant mince dans la direction du courant • Ces tôles sont communs dans les machines Couche isolante Electromagnétisme 81 1 Pertes magnétiques • Les matériaux ferromagnétiques ont une courbe de BH non linéaire • augmentations de flux magnétique due à l'alignement de domaines magnétiques • Trois régions distinctes: linéaire, de coude et de la saturation Permeability est faible dans la région saturée, On évite généralement le fonctionnement ici • La perte d'énergie associée à la forme de la courbe BH Electromagnétisme 82 1 Circuits magnétiques • les équations de Faraday et de Lorentz sont la base de conversion d'énergie électromécanique -Les deux dépendent de flux ou de la densité de flux - Comment ces quantités peuvent être calculées pour un arrangement physique donné? Electromagnétisme 83 1 Circuits magnétiques • On considère le flux magnétique mis en place par une bobine parcouru en courant continu, i • Courant établit un flux dans le noyau • Soit N spires de conducteurs sur la bobine Electromagnétisme 84 1 Circuits magnétiques • Certains flux ne passe pas à travers le noyau - flux de fuite: L - faible par rapport au flux • Fuite flux peut être raisonnablement négligé Electromagnétisme 85 1 Circuits magnétiques Densité de flux magnétique peut ne pas être uniforme dans une section transversale Section f Electromagnétisme 86 1 Circuits magnétiques • courbures de flux se produit dans des espaces d'air • Chute de la densité de Flux (surface transversale augmente) Electromagnétisme 87 1 Circuits magnétiques • flux magnétique circule entièrement dans le matériau magnétique (pas de fuite) • la densité de flux magnétique est uniforme sur toute la section transversale du matériau • déformations à travers entrefers est négligeable Ces hypothèses sont-ils réalistes? Electromagnétisme 88 1 Analyse des circuits magnétiques Electromagnétisme 89 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 90 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 91 1 Circuits magnétiques Au niveau de l’entrefer, les lignes de champ se déforment. On suppose donc que le champ reste dans le prolongement de l’entrefer, c’est à dire que la section de l’entrefer et du circuit magnétique sont les mêmes Electromagnétisme 92 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 93 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 94 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 95 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 96 1 Circuits magnétiques Ecriture du flux dans le circuit magnétique Le flux est conservatif : il traverse les différentes portions du circuit magnétique dont les caractéristiques dépendent de la géométrie (longueur, section) tel que l’illustre la Figure ci dessous la conservation du flux est traduite par les relations Electromagnétisme 97 1 Circuits magnétiques Analogie électrique Electromagnétisme 98 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 99 1 Circuits magnétiques M1 B M2 Electromagnétisme 100 1 Circuits magnétiques Association de réluctances P 1 1 R Ri Electromagnétisme 101 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 102 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 103 1 Circuits magnétiques Electromagnétisme 104 1 Circuits magnétiques A partir de la théorie des circuits : vL L di dt Auparavant on a montré que pour un circuit AC en état stationnaireVL jLwI Déphasage courant/tension Electromagnétisme 105 1 Circuits magnétiques Soit un courant : i (t ) Im.cos t Le flux sera en phase avec le courant (théorème d’Ampère) NI N (t ) I m cos t Théorème de Faraday d N 2 N2 e N I m sin t I m cos t 90 dt ou d d di di N L e N dt di dt dt I e Electromagnétisme 106 1 Inductances Pourquoi les tensions induites et appliquées sont opposées? • On a di V Ri L dt V e Ri A partir des deux expressions on déduit : di e L dt Electromagnétisme 107 1 Inductances • La réactance inductive XL existe en raison de la loi de Faraday jX L j L • L'opérateur j représente le déphasage de 90 degrés entre courant et la tension induite • ω représente la dépendance de la fréquence • L est une description de la façon dont les lien du courant avec le flux à travers la bobine • Nous examinons ensuite l'inductance Electromagnétisme 108 1 Inductances propres Inductance liée à la fém par la relation : eN d d di di N L dt di dt dt Une bobine avec inductance de 1 H aura 1 volt induite dans si le courant change avec un taux de 1 A / S Si nous connaissons l'inductance, nous ne avons pas besoin de calculer la flux Electromagnétisme 109 1 Inductances mutuelles • Considérons deux bobines enroulées autour d'un noyau commun • Soit 1 le flux qui passe à travers la bobine 1 : - il Comprend le flux de fuite (de 1f) et le flux à travers la noyau qui fait la liaison avec la bobine 2 (21) - Lorsque la bobine 2 ouverte: 1 = 1f + 21 f Circuit ouvert Electromagnétisme 110 1 Inductances mutuelles Tension induite dans la bobine 1 : d1 di1 e1 N1 L1 dt dt L1 l’inductance propre de la bobine 1 Circuit ouvert Electromagnétisme 111 1 Inductances mutuelles Tension induite dans la bobine 2 : e2 N 2 d21 d di di N 2 21 1 M 21 1 dt di1 dt dt M 21 N 2 d21 di1 M21 l’inductance mutuelle de la bobine 1 vers 2 Circuit ouvert Electromagnétisme 112 1 Inductances mutuelles Des expressions similaires peuvent être obtenus dans la bobine 2, si elle est reliée à la source et la bobine 2 est ouverte d 2 di L2 2 dt dt d d di di e1 N1 12 N1 12 2 M 12 2 dt dt dt dt d M 12 N1 12 di2 e2 N 2 Electromagnétisme 113 1 Inductances mutuelles Nous pouvons écrire: M 21M 12 N 2 d21 d N1 12 di1 di2 Soit k1 la fraction du flux de la bobine 1 qui relie la bobine Soit k2 la fraction du flux de la bobine 2 qui relie la bobine Soit e L di dt , on peut écrire M 21M 12 k1k2 N 2 N1 Electromagnétisme 114 1 Inductances mutuelles Si le système est linéaire M 21 M 12 M M l’inductance mutuelle de l’enroulement 1 et 2 Et on peut déduire M k L1 L2 et k k1k2 K coefficient de couplage K=1 : bobines étroitement couplées, pas de fuite K=0 : pas de couplage Electromagnétisme 115 1 Inductances mutuelles Les Points de polarité indiquent de quelle manière les bobines sont enroulées. Si le courant pénètre dans un point, il sort par l’autre point s’il est connecté à un circuit passif. Le circuit équivalent Electromagnétisme 116 1 Inductances mutuelles Deux bobines identiques sont enroulés sur le même noyau magnétique. Un courant varie avec un taux de 2,000 A / S dans la bobine 1 induit une tension de 20 V dans la bobine 2. Quel est l'inductance mutuelle? Electromagnétisme 117 1 Inductances mutuelles Deux bobines identiques sont enroulés sur le même noyau magnétique. Un courant varie avec un taux de 2,000 A / S dans la bobine 1 induit une tension de 20 V dans la bobine 2. Quel est l'inductance mutuelle? di1 e2 M 21 dt M M 21 M 12 e2 20 M 0, 01H di1 2000 dt Electromagnétisme 118 1 Inductances mutuelles Deux bobines identiques sont enroulés sur le même noyau magnétique. Un courant variant avec un taux de 2,000 A / S dans la bobine 1 induit une tension de 20 V dans la bobine 2. Si L1 = 25mH, avec quel pourcentage du flux mis en place par une bobine 1 la liant avec la bobine 2? L L2 L1 25mH M k L1L2 kL 0, 01 100 40% k 0, 025 Electromagnétisme 119 1 Bobines magnétiquement couplées • Il est possible de connecter les bobines couplées magnétiquement ensemble en série ou en parallèle • Selon la polarité des bobines peuvent être additives ou soustractives Soustractives Additives Electromagnétisme 120 Bobines magnétiquement couplées 1 • Pour les bobines additives di di di M L1 M dt dt dt di di di VL 2 L2 M L2 M dt dt dt di di VLeff VL1 VL 2 L1 L2 2M Leff dt dt VL1 L1 avec Leff L1 L2 2 M Electromagnétisme 121 1 Le circuit ci-dessous fonctionne à 50Hz. L'inductance mutuelle M entre les bobines est de 0,6 H. Calculer I. Electromagnétisme 122 1 Le circuit ci-dessous fonctionne à 50Hz. L'inductance mutuelle M entre les bobines est de 0,6 H. Calculer I. Leff 1 1,5 2 0, 6 3, 7 H jX eff j 3, 7 2 50 j1162 Les inductances mutuelles se rajoutent dans les circuits additifs Z 0,5 j1162 I 0, 238 89,98A Electromagnétisme 123 1 Refaire l’exemple mais avec un circuit soustractif Electromagnétisme 124 1 Refaire l’exemple mais avec un circuit soustractif Leff 1 1,5 2 0, 6 1,3H jX eff j1,3 2 50 j 408, 4 Z 0,5 j 408, 4 I 0, 68 89,93A Electromagnétisme 125 1 EXERCICES Exercice (Série 1) Le circuit magnétique de la Fig. 1.3 consiste en un N-tour d'enroulement sur un noyau magnétique de perméabilité infinie avec deux entrefers parallèles de longueurs e1 et e2 et de surface A1 et A2, respectivement. Trouver l'inductance de l'enroulement la densité de flux dans l’entrefer 1 Bl 1 fente lorsque le bobinage est parcouru par un courant i. Négliger les effets frangeants au niveau de l'entrefer. aire e1 aire e2 Electromagnétisme 126 126 1 SOLUTIONS Solution Le circuit magnétique équivalent de la figure montre que la réluctance totale est égale à la combinaison en parallèle de ces deux réluctances d'entrefer. ainsi: avec e1 e2 e1 e2 Du circuit équivalent, on peut voir que: e1 e1 Electromagnétisme 127 1 INDUCTANCE Le coefficient de mutuelle inductance peut être négatif si le flux lié est opposée à celle créée par le propre courant positif Les deux courants produisent des flux de directions égales Les deux courants produisent des flux de sens opposé Electromagnétisme 128 1 INDUCTANCE Les flux liés dans les deux bobines sont: les deux contributions au flux de fuite total 1 et 2 et peuvent être calculées comme suit: M12 est l'inductance mutuelle entre les bobines 1 et 2; M12I2 est le flux crée par la bobine 2 dans la bobine 1 causé par le ourant I2 L1 est l'inductance propre de la bobine 1; L1I1 est le flux de la bobine 1 due à son propre courant I1 1 L1 I 1 M 12 I 2 2 L 2 I 2 M 21 I 1 M21 est l'inductance mutuelle entre les bobines 2 et 1; M21I1 est le flux crée par la bobine 1 dans la bobine 2 causé par le courant I1 L2 est l'inductance propre de la bobine 2; L2I2 est le flux de la bobine 2 due à son propre courant I2 Electromagnétisme 129 Etude Energétique 1 B + v t t 0 0 W vidt N Ni Hl d idt Ndi dt 0 t et d SdB B B 0 0 B W WV HdB V 0 W AlHdB Vnoyau HdB Electromagnétisme 130 1 Etude Energétique La courbe de première aimantation Comportement du matériau lors des B différents étapes d’aimantation H Electromagnétisme 131 Etude Energétique 1 B W WV HdB V 0 Wv surface B surface du cycle représente les pertes par hystérisis B H H B Whyst HdB 0 W/m 3 / cycle ou J / m 3 Pour les matériaux utilisés dans la fabrication des machines électriques Physt Ch fB n avec 1.5 n 2 Electromagnétisme 132 1 Etude Energétique L’énergie stockée dans la champ magnétique B B B B2 WV HdB dB 2 0 0 Electromagnétisme 133 1 Etude Energétique Dans le cas de circuits magnétiques linéaires avec entrefer, la plupart de l'énergie est stockée dans l'entrefer entrefer entrefer Electromagnétisme 134 1 Etude Energétique l'énergie totale à l'intérieur de circuit magnétique peut être exprimée en fonction de grandeurs V intégrales 1 1 WV BHdV Hdl BdS 20 2l S 1 1 = NI N I 2 2 1 2 = LI 2 Pour les inductances couplées 1 1 2 WV L1 I1 L2 I 22 MI1 I 2 2 2 Electromagnétisme 135 1 Etude Energétique B1 Wm' Wm HdB H1 BdH 0 0 Coénergie Energie B1 B1 Wm Wm' H1 Electromagnétisme H1 136 1 Etude Energétique Energie stockée dans les inductances t t t d WS Pelectrique dt vidt i dt i d dt 0 0 0 0 Pour un circuit linéaire i L Energie stockée 2 WS d L 2L 0 Electromagnétisme 137 1 Etude Energétique dWS , r dt On a aussi Ws d Ws dr dt r dt dWS , r dt v.i F dr dt di dr =L .i F dt dt En comparant on trouve : dWS F dr Electromagnétisme 138 1 Etude Energétique L’énergie et la coénergy peuvent être utilisées pour calculer la force / couple agissant sur les pièces en mouvement à l'aide du principe des travaux virtuels Mouvement linéaire : Force Wm W 'm F x x Mouvement rotationnel : Couple Wm W 'm C Electromagnétisme 139 1 Aimants permanents Le flux magnétique statique peut être créé par: - enroulements parcourus par un courant d'excitation continu(DC) - aimants permanents Les aimants permanents sont généralement plus compact que les enroulements et leur utilisation ne créent pas de pertes par effet Joule Dans un circuit magnétique, il est nécessaire de trouver le point de fonctionnement (Hm, Bm) de l'aimant et son volume pour obtenir un flux donné Electromagnétisme 140 Aimants permanents 1 calcul du flux créé par un aimant permanent Aimant permanent la Théorème d’Ampère Ha Ba H mlm H ele H FelFe 0 0 He Be entrefer Conservationd e flux m Se ; le Bm S m Be Se Comme première approximation, le champ magnétique dans le fer peut être approximé par 0. B H Fe Fe Fe 0 Fe 1 Electromagnétisme 141 1 Aimants permanents Dans l’entrefer : He Be 0 Be Bm S m .le 0 H mlm le H mlm 0 0 .Se L’équation de la droite de charge La pente : tg lm S e Bm 0 .H m le .S m Bm l S m e 0 H m le .Sm Le point d'intersection de cette droite avec la courbe de désaimantation du matériau a aimant définit le point de fonctionnement Electromagnétisme 142 1 Aimants permanents lm Se Bm 0 .H m le .S m Hr HC Electromagnétisme 143 1 Aimants permanents En pratique, le flux utile dans l'entrefer principal ne représente qu'une fraction du flux créé par l'aimant. Le reste passe entre les pièces polaires, sous forme de flux de fuites. On prend en compte ces fuites en écrivant l‘équation de conservation du flux sous la forme : Bm S m Be Se est le coefficient de fuite du circuit magnétique. Ce coefficient est souvent de l'ordre de 2 a 5, ce qui signifie que le flux réellement utilisé n'est que la moitie ou le cinquième du flux créé par l'aimant. Electromagnétisme 144 1 Aimants permanents Fonctionnements statique et dynamique d'un aimant permanent B Droite de charge pente 1 Fonctionnements dynamiques possibles d'un aimant B Br Droite de charge P Br P Q HC 0 HC 0 Dans le cas d'un circuit à géométrie variable Electromagnétisme 145 1 Aimants permanents H mlm H ele 0 H mlm H ele Le signe – reveèle que le champ d'excitation est négatif dans l'aimant: c'est un champ démagnétisant (seule la partie H < 0 du cycle du matériau dur est utile). H mlm H ele Bm 0 H m Se lm / Smle tg Bm Selm / S mle 0 H m est fonction des dimensions relatives de l'aimant et de l'entrefer. Electromagnétisme 146 1 Aimants permanents Or, dans le système idéalisé considéré ici, le champ H a l'extérieur de l'aimant n'a une valeur non nulle que dans l'entrefer Le produit (BH) des modules des champs B et H dans 1'aimant est appelé produit énergétique. B B Br 0 H Br Point de fonctionnement correspondant au (BH)max dans un matériau a aimant idéal Pm 45° 0 HC Electromagnétisme 147 1 Aimants permanents B Br 0 H le point de fonctionnement Pm, pour lequel (BH) = (BH)max, correspond au milieu de ce segment c'est-a-dire à B.H max Br B 0 H 2 2 22 Br Br Br qui est l'air du rectangle 4 0 20 40 tracé à partir de Pm Electromagnétisme 148 Aimants permanents 1 Bm l H m lm H C lm m m H c lm Rmm Fm m Sm m Sm - m B Rm Br H mlm lm Bm HC Hm + F - m H + Electromagnétisme 149 1 Aimants permanents Le rapport de la fmm dans l'aimant et l'entrefer est égale à -1: le champ magnétique de l'aimant permanent Hm a un signe opposé par rapport à H La densité de flux magnétique est inversement proportionnelle à la longueur de l'entrefer Pour augmenter la densité de flux magnétique dans l’entrefer, des valeurs élevées du champ coercitif et de l'épaisseur de l'aimant sont indispensables Electromagnétisme 150 1 Aimants permanents Be Se H ele Be2Ve Vm S mlm . Bm H m 0 H m .Bm le volume de l'aimant permanent Afin de réduire le volume de l'aimant, le produit Hm ⋅ Bm doit être maximisée Electromagnétisme 151 151 1 Aimants permanents le point de l'exploitation maximale du matériau est celui où Hm ⋅ Bm est maximale Cst Point de fonctionnement maximal Electromagnétisme 152 1 CIRCUITS MAGNETIQUES AVEC AIMANT PERMANENT Electromagnétisme 153 1 CIRCUITS MAGNETIQUES AVEC AIMANT PERMANENT Circuit magnétiq ue Entrefer Aimant permanent Donc une aimantation permanente est équivalent à une source de fmm de valeur F0 en série avec une reluctance interne ℜm Différence de potentiel magnétique à l’entrefer Electromagnétisme 154 1 . e m Br .lm H c .lm F0 m S m , lm F0 S A + entrefer VAB N Rm Re Donc une aimantation permanente est équivalent à une source de fmm de B valeur F0 en série avec une reluctance interne ℜm VAB e . F0 m . Différence de potentiel magnétique à l’entrefer Electromagnétisme 155 CIRCUITS MAGNETIQUES AVEC AIMANT PERMANENT 1 En utilisant des caractéristiques de Alnico 5 , trouver le volume magnétique minimum requis pour atteindre une densité de flux dans l'entrefer de valeur 0,8 T Sm , lm S N Alnico e 0.2cm Se 2cm 2 Electromagnétisme 156 1 CIRCUITS MAGNETIQUES AVEC AIMANT PERMANENT Le volume le plus faible de l'aimant sera atteint lorsque l'aimant fonctionne à son point de produit énergétique maximum. A ce point de fonctionnement, Bm = 1,0 T et Hm -40 kA / m. Be 0.8 2 . 2 1 6 S m Se cm 1.0 B m H B lm e e e e Hm 0 H m 0.8 0.2 4 10 7 40 103 3.18cm Ainsi, le volume minimum de l'aimant est égale à: Vm S mlm 1.6 3.18 5.09cm3 Electromagnétisme 157 1 ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE Les matériaux ferromagnétiques sont utilisés pour façonner le chemin de flux magnétique en raison des valeurs élevées de la perméabilité, en première approximation, les circuits magnétiques peuvent être considérés comme des tubes de flux Les circuits magnétiques sont généralement non linéaires Electromagnétisme 158 1 ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE La performance de la plupart des dispositifs électromécaniques d'énergie de conversion construits de structures de déformation non rigide est généralement déterminée par la force nette, ou le couple, agissant sur l'élément mobile Il est rarement nécessaire de calculer les détails de la contribution de la force interne Diverses techniques ont évolué pour calculer les forces nettes d'intérêt dans le processus électromécanique-conversion d'énergie. Bien entendu dans ce procédé de l'énergie sera utilisée et est basée sur le principe de conservation de l'énergie Electromagnétisme 159 1 ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE L'interaction entre les bornes électriques et mécaniques, à savoir la conversion d'énergie électromécanique, se produit par l'intermédiaire de l'énergie stockée magnétique. Le principe de la conservation de l'énergie appliquée à des systèmes isolés avec des limites clairement identifiables, nous permet de garder une trace de l'énergie d'une manière simple: le flux net d'énergie dans le système à travers sa frontière est égal à la somme du taux de temps de changement de l'énergie emmagasinée dans le système. Electromagnétisme 160 1 Exercice 1 Ce rotor présente deux bobines, il est placé dans un champ magnétique uniforme de grandeur B0. Les côtés de la bobine sont de rayon R et sont uniformément espacées autour de la surface du rotor. La première bobine est parcourue par un Courant entrant Courant entrant courant I1 et le second I2. En supposant que le rotor est de 0,3 m de long, R=0,13 m et B0 = 0.85T, trouver le couple en fonction de d'un rotor de (a) Courant sortant Courant sortant I1 = 0A et I2 = 5A, (b) I1 = 5A et I2 = 0A, (c) I1 = I2 = 8A Electromagnétisme 161 1 Solution pour un fil parcouru par un courant I entrant dans le papier, la force dans la direction est donnée par Et pour le fil 2 (2eme fil de la spire) avec un courant dans le sens opposé SOLUTION Le couple est la somme des moments des forces produit par chaque fil Pour les deux fils : Electromagnétisme 162 1 Exercice 2 La structure magnétique d'une machine synchrone est rapportée ici . En supposant que le rotor et le stator ont une perméabilité infinie, calculer l'énergie magnétique stockée. Données: I = 10A, N = 1000 tours, g = 1 cm, Ag = 2000cm2. Electromagnétisme 163 1 Solution Calcul de l’inductance Notez qu'il existe deux entrefers en série, de 2g de longueur totale, et que, par symétrie, la densité de flux dans chacun est égal. la perméabilité de fer ici est supposée infinie, sa reluctance est négligeable Ainsi = = Electromagnétisme 164 1 Exercice 3 Une bobine a une inductance déduite expérimentalement par la relation avec L0 = 30mH, x0 = 0.87mm, et x est le déplacement d'un élément mobile. Sa résistance d'enroulement est mesurée et égale à 110mΩ. Le déplacement x est maintenu constant à 0,90 mm, et le courant est augmenté de 0 à 6A. Trouver l'énergie stockée magnétique résultant dans l'inductance. Le courant est ensuite maintenue constante au 6A, et le déplacement est augmentée de 1,8 mm. Trouver le changement correspondant dans l'énergie stockée magnétique. Electromagnétisme 165 1 Solution Pour Et ainsi pour x=1.8mm Et ainsi pour Ainsi Electromagnétisme 166 1 Exercice 4 Comme représenté sur la figure un électro-aimant à N spires (N = 450) doit être utilisé pour soulever une plaque de fer de masse M. La rugosité de la surface du fer est telle que lorsque le fer et l'électro-aimant sont en contact, il y a une épaisseur minimale de l’entrefer gmin = 0,18 mm de chaque coté. La surface de la section transversale de l’électroaimant Ac = 32cm2 et la résistance de la bobine est 2.8Ω. Calculer la tension minimale à appliquer à la bobine pour soulever une masse de 95 kg. Electromagnétisme 167 1 Solution L’inductance de la bobine est égale à appliquée par l’électroaimant = ainsi la force de = 2 Le signe moins indique que la force agit dans le sens pour réduire l’épaisseur de l’entrefer et soulever ainsi la partie mobile. La force nécessaire est égale à 931N. Ainsi pour un entrefer minimal de gmin et pour un cournant i et Electromagnétisme 168 1 Exercice 5 Les deux enroulement du circuit magnétique considéré ici comporte un enroulement sur une culasse fixe et un deuxième enroulement sur un élément mobile. L'élément mobile est contraint à un mouvement tel que les longueurs des deux entrefers restent égaux 1- Trouver l’inductances propres des enroulements 1 et 2 2- Calculer l’inductance mutuelle 3- Calculer la coénergie 4- Trouver l’expression de la force exercée sur la partie mobile en fonction des courants des enroulements Electromagnétisme 169 Exercice 5 1 1- 2- 3- 4- Electromagnétisme 170 1 Soit un barreau cylindrique constitué d’un matériau ferromagnétique de résistivité , soumis à un champ sinusoïdal de fréquence f. Les dimensions, illustrées sur la figure ci contre, sont telles qu’on peut considérer . a L Déterminer, par unité de volume, les pertes par courant de Foucault de ce matériau, en fonction de et de a, ainsi que la fréquence et de la valeur crête de l’induction B sinusoidal dr L r a Electromagnétisme 171 1 Exercice 2 Un circuit magnétique est alimenté par un courant supposé parfaitement sinusoïdal de fréquence f. Les pertes actives totales dans le fer sont supposées proportionnelles au carré de l’induction et ont pour valeur p 60.B W , B étant la valeur efficace de l’induction. D’autre part, le flux de fuite est évalué à 8% du flux principal créé dans le fer , et la résistance totale du fil est de 5 . Déterminer la reluctance du circuit magnétique puis l’inductance principale L Déterminer la fém induite associée si on veut obtenir une induction efficace de 1,2T dans le fer. En déduire la résistance équivalente aux pertes fer, puis les éléments de la branche magnétisante illustrant le bilan énergétique du noyau Quelle tension d’entrée doit on alors appliquer au circuit magnétique pour maintenir une induction à 1,2T Quelle est la nouvelle tension à appliquer si cette fois le courant est continu. Conclusion ? On donne : Nombre de spires : n=250, Longueur moyenne du circuit magnétique : lm 50cm 2 Section du fer : ,S 20cm Perméabilité relative du fer : r 500 2 Electromagnétisme 172 1 PRINCIPES DE FONCTIONNEMENT D'UN AIMANT PERMANENT La mise en service d'un aimant permanent se fait par I'intermediaire d'un circuit magnetique. Schematiquement un tel circuit est compose de deux parties : - une partie, faite d'un materiau ferromagnetique doux (en general a base de fer), qui canalise le flux (pieces polaires). - une partie logée entre les pièces polaires, faite de vide, d'air, d'eau ou de toute autre substance non magnétique, qui constitue les entrefers. L'entrefer principal est une espace ou est généré le flux utile. B Br HC H Electromagnétisme 173 1 PRINCIPES DE FONCTIONNEMENT D'UN AIMANT PERMANENT La ligne de champ moyenne se divise en trois parties. Sa longueur totale I est: I - la + If + le, En fonctionnement normal, l’aimant génère une induction magnétique, dont le flux m est canalisé par le circuit. L'intensité de mest constante le long de la boucle fermée (loi de conservation du flux). Dans chacun des éléments du circuit, on peut écrire : la m Ba Sa (dans l'aimant de section Sa) m B f S f (dans les pièces polaires de section Sf) Ha Ba m Be Se (au sein de l'entrefer, de section Se). He Th. D’Ampère H ala H f I f H ele 0 m Be Electromagnétisme 174 1 PRINCIPES DE FONCTIONNEMENT D'UN AIMANT PERMANENT Si le circuit n’est pas saturé, r est très élevée et Hf peut être négligé ainsi : H ala H ele 0 Soit : H ele H ala Le signe - revèle que le champ d'excitation est négatif dans l'aimant: c'est un champ démagnetisant (seule la partie H < 0 du cycle du matériau dur est utile). Electromagnétisme 175
